徐瑞，潘三博

（上海電機(jī)學(xué)院電氣學(xué)院，上海 200000）

逆變器控制方法中研究最多的課題之一就是電流控制。在過去的幾十年里，有兩種傳統(tǒng)控制方法得到了廣泛的研究，分別是滯環(huán)控制和基于脈沖寬度調(diào)制（pulse width modulation，PWM）的線性控制方法。

滯環(huán)電流控制的基本思路是每當(dāng)電流達(dá)到邊界條件時(shí)，可改變逆變器的開關(guān)狀態(tài)來確保電流處于滯環(huán)帶內(nèi)部[1]。這種方法在概念上比較簡單，但存在諧振問題[2]。對于基于PWM的線性控制，這種控制方案的性能取決于控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)和參考電流頻率[3]。雖然比例積分（proportional integral，PI）控制器可能確保連續(xù)參考信號的穩(wěn)態(tài)誤差為0，但存在明顯誤差。隨著參考電流頻率增高，誤差隨之增大。

隨著對更高效率功率變換器的追求，近幾年模型預(yù)測控制（model predictive control，MPC）在電力電子領(lǐng)域取得快速發(fā)展。在電力電子領(lǐng)域，最直接有效同時(shí)容易應(yīng)用的預(yù)測控制器就是使用單步預(yù)測，調(diào)節(jié)多個(gè)變量跟蹤其各自的參考值[4]。直接MPC參考跟蹤的優(yōu)化問題跟蹤是基于整數(shù)決策變量的。這意味著當(dāng)預(yù)測長度延長時(shí)，可能的解決方案的數(shù)量會(huì)成倍增加，難以計(jì)算[5-7]。通常認(rèn)為單步預(yù)測可以滿足大部分需求，這種觀念源于多步預(yù)測導(dǎo)致潛在解的組合數(shù)量巨大。而逆變器驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)多步預(yù)測會(huì)帶來很客觀的性能提升?？赏ㄟ^降低開關(guān)頻率或總需求失真（total demand distortion，TDD），或同時(shí)降低兩者來提升逆變器的穩(wěn)態(tài)性能[8-10]。

本文提出了一種控制策略，改進(jìn)多步長MPC由于成倍增加的解決方案的數(shù)量造成的計(jì)算困難問題，從而實(shí)現(xiàn)對逆變器的多步長預(yù)測控制，提升逆變器的工作效率及穩(wěn)定性。

1 設(shè)計(jì)方案

控制策略在直接模型預(yù)測控制的基礎(chǔ)上，將控制器模型的優(yōu)化問題以向量的形式重新構(gòu)造并將其表示為一個(gè)整數(shù)二次規(guī)劃。由于三相逆變器電壓電平數(shù)量有限，整數(shù)搜索空間減小。在初步優(yōu)化的基礎(chǔ)上，本控制方法通過對基于分支定界技術(shù)的球形解碼算法的改進(jìn)，進(jìn)一步縮小解決方案的數(shù)量，最終對優(yōu)化問題進(jìn)行求解，尋找最佳的切換序列。

1.1 控制器目標(biāo)

本文以感應(yīng)電機(jī)作為負(fù)載的三相逆變器電路示意圖如圖1所示。

圖1 三相逆變器電路示意圖Fig.1 The schematic of three-phase inverter circuit

式中：usα,usβ為定子電壓在α，β軸的分量。

定子電流isα，isβ和轉(zhuǎn)子磁鏈Ψrα，Ψrβ作為狀態(tài)變量。轉(zhuǎn)子的角速度被視為一個(gè)（相對緩慢變化的）變量。

電流控制器的目標(biāo)是通過改變?nèi)嗄孀兤鞯拈_關(guān)位置調(diào)節(jié)定子電流，使之隨參考值的變化而變化。實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)的控制基本原理如圖2所示。

圖2 控制原理圖Fig.2 Control schematic diagram

1.2 控制器模型

對預(yù)測模型的推導(dǎo)，可以很方便地引入狀態(tài)矢量驅(qū)動(dòng)模型，即

定子電流作為系統(tǒng)輸出矢量，即

而三相開關(guān)位置u構(gòu)成輸入矢量，由控制器提供。通過以上參數(shù)，可以得到狀態(tài)方程：

式中：τr，τs分別為轉(zhuǎn)子、定子時(shí)間常數(shù)；Xls，Xlr，Xm分別為定子、轉(zhuǎn)子和互感電抗。

2 優(yōu)化問題

2.1 代價(jià)函數(shù)

一般通過代價(jià)函數(shù)的最小化，得到合適的開關(guān)切換序列。

代價(jià)函數(shù)J表示如下：

式中：k為時(shí)間步長；Np為預(yù)測時(shí)間步長；λμ為權(quán)重系數(shù)；Q為參考值與反饋值間產(chǎn)生的誤差形成的懲罰矩陣。

式（6）中，第二部分表示對開關(guān)變化的限制。開關(guān)只能在上一個(gè)周期中上升或下降一個(gè)單位，因此||Δu(l)≤1，它表示了三相逆變器系統(tǒng)中三相橋臂a，b，c的開關(guān)位置。

由式（6）可知，代價(jià)函數(shù)由輸出跟蹤誤差和系統(tǒng)的開關(guān)量兩部分組成。前者對應(yīng)于負(fù)載電流的總需量畸變，后者表現(xiàn)為開關(guān)頻率。一般情況下，為了降低高階系統(tǒng)中負(fù)載電流的脈動(dòng)，將會(huì)增加跟蹤誤差的權(quán)重，而相應(yīng)的減少逆變器電流和電容電壓權(quán)重。輸出跟蹤誤差和開關(guān)量都包含在代價(jià)函數(shù)中，兩者之間的權(quán)衡問題通過對權(quán)重系數(shù)λμ的改變進(jìn)行調(diào)整。

式中：U(k)表示預(yù)測控制器所需要決定的三相逆變器的橋臂開關(guān)狀態(tài)位置的順序。

式（7）代表控制器給出的三相逆變器的開關(guān)切換序列?；趨⒖几櫟闹苯覯PC的優(yōu)化問題可以被描述為

式中：I4為四階單位矩陣；Ts為周期系數(shù)；U為逆變器開關(guān)切換序列集合。

2.2 整數(shù)二次規(guī)劃

以向量形式重新構(gòu)造優(yōu)化問題（11），并將其表示為一個(gè)整數(shù)二次規(guī)劃。由于逆變器電壓電平數(shù)量有限，整數(shù)搜索空間減小。

綜上，MPC與跟蹤參考值的問題現(xiàn)在可以描述為整數(shù)二次規(guī)劃。最佳的切換序列，通過最小化的代價(jià)函數(shù)式（23）、約束式（12）和式（13）得到：

3 球形解碼算法求解優(yōu)化

3.1 改進(jìn)的球形解碼算法

該算法的基本思想是迭代考慮候選序列[11]，即U(k)∈ U，球面半徑ρ(k)＞ 0，集中在

滿足開關(guān)約束式（13）。

用于球形解碼的一個(gè)關(guān)鍵特性，由于Z是三角形的，所以識別滿足式（25）的候選序列非常簡單[12]。由于Z是下三角，式（25）可以改寫為

式（25）的解集可以通過以下方式找到：要確定U(k)，該算法需要在時(shí)間步長k中使用的半徑初始值設(shè)為ρ(k)。一方面，半徑ρ(k)應(yīng)盡可能小，使我們能夠盡可能多地消除許多候選切換序列。另一方面，ρ(k)不能太小，以確保解決方案集不是空的。應(yīng)選擇初始半徑為基礎(chǔ)。

切換序列Uini（k）表達(dá)式如下所示：

被猜測的切換序列Uini（k）通過將上一周期的最優(yōu)切換序列向后移動(dòng)一個(gè)周期并以最后的開關(guān)狀態(tài)得到。因此，Uini（k）是滿足目標(biāo)條件的解決方案。

ρ(k)給出的初始值設(shè)置為

在每一個(gè)時(shí)間步長k，控制器首先使用當(dāng)前狀態(tài)x(k)、參考值Y*(k)、以前的開關(guān)位置u(k-1)和以前的Uopt(k-1)，(k)計(jì)算Uini（k），ρ(k)，見式（27）和式（28）。

算法的流程圖如圖3所示，其中v(i,1:i)為U的第i行，1到i列的元素組成的行矩陣；u1:i為u(k)的第1到i行組成的列矩陣。由圖3可以看出，從第一個(gè)分量開始，通過考慮集合U中允許的單項(xiàng)開關(guān)位置，逐個(gè)分量的構(gòu)建開關(guān)序列U（k）。如果關(guān)聯(lián)的平方距離小于當(dāng)前的ρ2(k)值，那么繼續(xù)下一個(gè)分量。一旦到達(dá)最后一個(gè)分量即U3Np(k)，意味著 U（k）是全維的，那么 U（k）就是候選解。如果U（k）滿足切換約束，并且距離小于當(dāng)前最優(yōu)值，則更新現(xiàn)有最優(yōu)解Uopt(k)和半徑ρ(k)。

圖3 球形解碼算法流程圖Fig.3 Flow chart of spherical decoding algorithm

3.2 改進(jìn)球形解碼算法中搜索樹的遍歷

令預(yù)測步長Np=2，分析該算法的工作過程。該算法的優(yōu)化問題是找到可能的逆變器開關(guān)切換序列U中的集合長度為3Np的最優(yōu)切換序列Uopt(k)。

集合U是跨越深度為3Np的樹，每個(gè)節(jié)點(diǎn)后連接了三個(gè)子節(jié)點(diǎn)。等級i上的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)于關(guān)于U中的第i個(gè)元素進(jìn)行的切換決策。具體來說，從級別i的結(jié)點(diǎn)開始的分支與ui有關(guān)。依次訪問從根節(jié)點(diǎn)到樹葉之一的樹對應(yīng)于唯一的開關(guān)切換序列。

當(dāng)設(shè)置的預(yù)測步長為Np=2的情況下，在圖4中展示了搜索樹的搜索過程。從i=1處的根節(jié)點(diǎn)開始，算法評估u1∈U。選擇u1=-1超過球體的半徑，并且對u1=-1開始的子樹進(jìn)行修剪。u1=0的選擇在球體內(nèi)部，從該位置繼續(xù)向下一樹枝進(jìn)行搜索，算法進(jìn)行到級別2，而并不去對u1=1的分支進(jìn)行探索，即將該分支修剪舍棄。算法的探索方向在途中用箭頭表示。

圖4 預(yù)測范圍為2的球形解碼算法對搜索樹遍歷可視化Fig.4 The sphere decoding algorithm with a prediction range of 2 visualizes the search tree traversal

在對六個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行依次探索之后，得到了第一個(gè)可用的逆變器開關(guān)候選序列U=[0 0-1 0 0 0]T，該開關(guān)位置的候選序列來自于試探性的開關(guān)位置u（k）=[0 0-1]T和u（k+1）=[0 0 0]T。該候選序列中對應(yīng)的元素所對應(yīng)的葉子節(jié)點(diǎn)用圓形表示。如圖4右半部分所示，在進(jìn)行下一次的節(jié)點(diǎn)搜索之前，球體的半徑已經(jīng)被減小，球體縮進(jìn)。再到目前為止訪問的節(jié)點(diǎn)上搜索剩余節(jié)點(diǎn)所代表的開關(guān)切換序列，同時(shí)，在搜索樹中沿著樹枝的方向朝著樹的根節(jié)點(diǎn)繼續(xù)探索。由于算法的嚴(yán)格球面搜索和深度的搜索過程，在探索最小節(jié)點(diǎn)數(shù)之后的大部分情況下，找到了最優(yōu)的切換序列。

3.3 搜索樹中探索節(jié)點(diǎn)數(shù)量分析

在多個(gè)不同的基本周期中，記錄算法在每個(gè)時(shí)間周期中需要調(diào)查的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。表1為以平均和最大的節(jié)點(diǎn)數(shù)作為預(yù)測范圍的函數(shù)。

表1 在搜索樹中探索的節(jié)點(diǎn)數(shù)量Tab.1 The number of nodes explored in the search tree

圖5為在預(yù)測步長為10時(shí)，每個(gè)周期中改進(jìn)算法在工作過程中所需要探測的平均節(jié)點(diǎn)數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖。由圖5可知，直方圖的高度絕大多數(shù)分布在概率30%以下。對于本算法，在80%的情況下，對于尋找最佳切換序列的優(yōu)化問題可以通過只對一個(gè)候選序列進(jìn)行搜索來解決。

圖5 節(jié)點(diǎn)數(shù)目分布圖Fig.5 The distribution diagram of the number of nodes

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

4.1 權(quán)重系數(shù)的選擇

為了說明權(quán)重系數(shù)λμ對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的影響，將控制策略的預(yù)測步長固定為5，改變權(quán)重系數(shù)的值，得到相應(yīng)的諧波失真情況及開關(guān)頻率變化情況如圖6、圖7所示，對應(yīng)λμ的增加，代價(jià)函數(shù)中開關(guān)頻率所占的權(quán)重增加，從而降低開關(guān)頻率，但相應(yīng)的，總諧波失真和跟蹤誤差會(huì)增大。從圖6、圖7中可以看出，當(dāng)10-2≤λμ≤1時(shí)，改變?chǔ)甩讨悼梢云鸬狡胶忾_關(guān)損耗和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的作用。因此，權(quán)衡兩種因素，最終選取λμ=0.15。

圖6 總諧波失真隨權(quán)重系數(shù)的變化Fig.6 Change of total harmonic distortion with weight coefficient

4.2 基于改進(jìn)球形解碼算法模型預(yù)測控制的逆變器系統(tǒng)仿真

為了驗(yàn)證上述理論分析的合理性與可行性，在Matlab/Simulink上進(jìn)行仿真驗(yàn)證。主要仿真參數(shù)如下所示：直流電源電壓U=715 V，參考電流幅值I=280 A，參考電流頻率100π rad/s，求解器類型為固定步長，求解器為ode5，固定步長范圍1e-6，采樣周期Ts=25e-6 s。

為了證明多步長預(yù)測帶來的優(yōu)越性能，設(shè)預(yù)測步長N=4并保持不變。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 交流側(cè)三相電流Fig.8 Three-phase currents on the AC side

圖9 開關(guān)狀態(tài)Fig.9 Switch status

交流測單相電流如圖8所示?？梢钥闯鲭娏鞑ㄐ纹交娏鞯母櫨容^高。

圖9為開關(guān)狀態(tài)，可以看出不存在重復(fù)的開關(guān)模式，因此電流諧波在不同次數(shù)下都比較平坦。

4.3 仿真結(jié)果及分析

圖10為N=1時(shí)傳統(tǒng)模型預(yù)測控制下的逆變器系統(tǒng)負(fù)載電流的FFT分析結(jié)果，THD為5.20%。圖11為N=4時(shí)改進(jìn)球形解碼算法模型預(yù)測控制下逆變器系統(tǒng)負(fù)載電流的FFT分析結(jié)果，THD為2.34%，較傳統(tǒng)模型預(yù)測控制減小2.86%，降低了電流的畸變程度。

圖10 傳統(tǒng)模型預(yù)測控制負(fù)載電流頻譜分析Fig.10 Load current spectrum analysis of traditional model predictive control

圖11 改進(jìn)模型預(yù)測控制負(fù)載電流頻譜分析Fig.11 Load current spectrum analysis of improved model predictive control

新型控制系統(tǒng)的Bode圖如圖12所示，在0～400 Hz之間曲線擬合度精度很高，因此在中低頻階段會(huì)有較好的零相移、單位增益特性，而在高頻段，幅值補(bǔ)償快速下降到-28 dB以下維持系統(tǒng)穩(wěn)定。證明了球形解碼算法的穩(wěn)定性，能夠?qū)崿F(xiàn)對電流參考值的準(zhǔn)確跟蹤，實(shí)現(xiàn)逆變的效果。

圖12 系統(tǒng)Bode圖Fig.12 Bode diagram of the system

基于球形解碼算法的多步長模型預(yù)測控制與傳統(tǒng)模型預(yù)測控制在不同預(yù)測步長下的計(jì)算時(shí)間比較如圖13所示。隨著預(yù)測步長的增加，基于球形解碼算法的模型預(yù)測控制的計(jì)算優(yōu)勢越發(fā)明顯，計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)模型預(yù)測控制。

圖13 2種控制方法在不同預(yù)測步長中的計(jì)算時(shí)間比較Fig.13 Comparison of calculation time with two kind of control method in different prediction steps

因此該算法應(yīng)用于MPC中，帶來計(jì)算優(yōu)勢的同時(shí)并不以犧牲最優(yōu)為代價(jià)。該控制策略在極大地降低計(jì)算量的同時(shí)依舊擁有直接MPC的精確跟蹤參考值，有效解決諧振問題等優(yōu)點(diǎn)。

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在上述仿真的基礎(chǔ)上搭建逆變器系統(tǒng)平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，給定放電功率165 kW，示波器測量實(shí)際功率：168.7 kW，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖14、圖15所示。

圖14 直流側(cè)電流電壓Fig.14 DC side current and voltage

圖15 交流側(cè)單相電流和三相電壓Fig.15 Single-phase current and three-phase voltage on the AC side

直流側(cè)電壓電流如圖14所示，直流側(cè)電壓715 V，直流側(cè)電流236 A。交流側(cè)電流、電壓如圖15所示。交流側(cè)三相電壓227 V，A相電流有效值190 A，交流側(cè)電壓、電流呈現(xiàn)良好的正弦波形，達(dá)到預(yù)期效果。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于改進(jìn)球形解碼算法的逆變器MPC控制策略。該策略在直接模型預(yù)測控制的基礎(chǔ)上，通過基于分支定界技術(shù)的改進(jìn)球形解碼算法，縮小解決方案的數(shù)量，最終對優(yōu)化問題進(jìn)行求解，尋找最佳切換序列，實(shí)現(xiàn)對逆變器控制。

1）本文采用整數(shù)二次規(guī)劃對三相逆變器系統(tǒng)進(jìn)行建模，將球形解碼算法應(yīng)用到模型中，縮小開關(guān)序列集合，在得到最優(yōu)切換序列過程中縮短計(jì)算時(shí)間，減小計(jì)算復(fù)雜度。

2）本文提出的改進(jìn)球形解碼算法模型預(yù)測控制與傳統(tǒng)模型預(yù)測控制相比可以將THD降低2.86%，降低電流畸變率，提升逆變器的穩(wěn)態(tài)性能和工作效率。