張繼榮，張 天

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710121)

最小均方(Least Mean Square，LMS)算法基于最速下降算法的理念，以瞬時誤差的平方代替了均方誤差，通過最小均方算法可以尋找到濾波器權(quán)向量最優(yōu)解，可以使濾波器的輸出值與輸入值的差值接近于0，因此，LMS算法常常被應(yīng)用在信號處理和自適應(yīng)信號研究等領(lǐng)域[1]。其還可以被應(yīng)用在系統(tǒng)辨識和建模、自適應(yīng)信道均衡、回波消除、線性預(yù)測編碼以及自適應(yīng)波束形成等領(lǐng)域。LMS算法具有復(fù)雜度低、原理簡單、參數(shù)少和跟蹤性能好等優(yōu)點，成為一種應(yīng)用范圍較廣的自適應(yīng)濾波算法[2]。

步長參數(shù)對于LMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差都有著直接的影響[3-5]。經(jīng)典LMS算法采用固定的步長參數(shù)，不能滿足不同迭代時期對于收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的需求，精度以及收斂速度較低，無法滿足實際應(yīng)用領(lǐng)域的要求。因此，研究者提出了基于雙曲正弦函數(shù)[6]、對數(shù)函數(shù)[7]、正態(tài)分布曲線[8]的變步長LMS算法。但是這些算法初始步長值都不夠大，導(dǎo)致相較于經(jīng)典LMS算法，收斂速度并沒有顯著提高，穩(wěn)態(tài)誤差沒有顯著降低。

具體而言，在誤差逐漸接近于0的過程中，文獻(xiàn)[6]中的步長參數(shù)模型底部變化太緩慢，在誤差信號還沒有到0時，步長值已經(jīng)為0，會造成較大的穩(wěn)態(tài)誤差[9]。文獻(xiàn)[8]相較于文獻(xiàn)[7]的初始步長值有所增長，但是在誤差逐漸接近于0的過程中，兩種算法中的步長參數(shù)模型底部均變化太快，無法找到最佳步長值，從而無法通過對最優(yōu)步長值進(jìn)行計算得到最優(yōu)權(quán)向量[10]。

針對上述問題，為了使得步長參數(shù)模型的初始步長取值較大，在誤差趨于0時步長參數(shù)值較小且變化緩慢，擬設(shè)計一種新的變步長LMS算法，所提算法在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上對步長參數(shù)模型加以改進(jìn)，建立一種新的步長參數(shù)與誤差的非線性關(guān)系模型。相較于對比文獻(xiàn)中的算法，以期使所提算法更加全面地滿足步長調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)中的要求，進(jìn)而使得所提算法的收斂速度更快、穩(wěn)態(tài)誤差更小。

1 LMS自適應(yīng)濾波算法

1.1 LMS自適應(yīng)濾波算法的原理

將LMS算法應(yīng)用在濾波器上的結(jié)構(gòu)中，其包含兩個主要的部分，第一個部分是LMS算法的部分，另一個部分是常用的濾波器結(jié)構(gòu)即橫向有限沖擊響應(yīng)(Finite Impulse Response，F(xiàn)IR)結(jié)構(gòu)，假設(shè)n時刻的輸入信號向量表達(dá)式為

X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]

(1)

其中，M表示濾波器的階數(shù)，是一個固定值，其根據(jù)實際需求而定。

濾波器的權(quán)向量的表達(dá)式為

W(n)=[w0(n),…,wi(n),wM-1(n)]T

其中，i是濾波器權(quán)向量的下標(biāo)，既表示此時的wi(n)為第幾個濾波器權(quán)向量，其取值范圍為0至M-1，與式(1)中的分量一一對應(yīng)，如w0(n)表示的是x(n)所對應(yīng)的權(quán)向量。實際輸出信號的表達(dá)式為

n時刻期望信號與算法實際輸出信號之間的差值表示為

e(n)=d(n)-XT(n)W(n)

其中，d(n)為期望信號，誤差信號e(n)進(jìn)入LMS算法的函數(shù)模型中，通過該函數(shù)模型控制著LMS算法的步長參數(shù)，隨著每一次迭代權(quán)系數(shù)向量W(n)發(fā)生改變，最終W(n)趨近于其最優(yōu)解，從而使實際輸出信號y(n)與期望信號d(n)的差值接近于0。

LMS自適應(yīng)濾波器原理如圖1所示，其中，x(n)、x(n-1)、…、x(n-M+1)為輸入信號，Z-1表示輸入之間的關(guān)系，W0(n)、W1(n)、…、WM-1(n)為與輸入信號對應(yīng)的權(quán)系數(shù)向量，∑為求和符號。

圖1 LMS自適應(yīng)濾波器原理

固定步長LMS算法的具體步驟如下。

步驟1初始化參數(shù)。將自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù)的初始值W(0)設(shè)置為0，將自適應(yīng)濾波器的階數(shù)設(shè)置為M，選擇合適的變化的步長值μ，為了使算法收斂，步長μ的取值應(yīng)該大于0且小于1/λmax[11]，λmax表示輸入信號X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T的自相關(guān)矩陣的最大特征值。

步驟2計算濾波器的實際輸出信號為

y(n)=WT(n)X(n)

步驟3計算自適應(yīng)濾波器的誤差為

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-WT(n)X(n)

步驟4更新濾波器權(quán)系數(shù)的值為

W(n+1)=W(n)+μX(n)e(n)

重復(fù)上述步驟2-步驟4，直到濾波器權(quán)系數(shù)逼近最佳濾波為止。

算法中的步長參數(shù)μ對于算法的收斂速度、時變系統(tǒng)的跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)誤差這些特征起到關(guān)鍵的影響作用[12]，較小的步長參數(shù)值μ會獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差從而提高算法的精度，同時也會獲得較小的收斂速度，使算法收斂的很慢，對于時變系統(tǒng)來說較小的步長參數(shù)μ也會導(dǎo)致跟蹤速度的減小。而較大的步長參數(shù)μ會帶來較大的收斂速度，使得算法收斂的很快，同時對于時變系統(tǒng)來說，會提高其跟蹤速度，但是會帶來較大的穩(wěn)態(tài)誤差，降低算法的精度[13-15]。因此，需要根據(jù)實際應(yīng)用場景，選取合適的步長參數(shù)值。

1.2 現(xiàn)有變步長LMS算法

為了兼顧算法的精度和收斂速度，需要根據(jù)算法所處的迭代時期的狀態(tài)動態(tài)地調(diào)節(jié)步長參數(shù)μ的取值[15]。在算法初始階段誤差較大時或者發(fā)生時變誤差突然增大時，自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù)與最優(yōu)權(quán)系數(shù)相差較遠(yuǎn)，此時首要任務(wù)應(yīng)該是先提升收斂速度，因此，應(yīng)該在初始階段選取較大的步長。隨著算法進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)階段，此時的首要任務(wù)是提升算法的精度且收斂速度的要求并不緊迫，應(yīng)該選取較小且變化較慢的步長值，使穩(wěn)態(tài)誤差降低以確保穩(wěn)態(tài)誤差在很小的范圍內(nèi)波動。步長調(diào)整的原則為在誤差值較大時，步長值應(yīng)該盡可能的大，并且步長值隨著誤差值的減小而減小，當(dāng)誤差值接近于零時，步長值應(yīng)變化緩慢。目前較為常用的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法有以下幾種。

1)基于對數(shù)函數(shù)的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法。根據(jù)上述動態(tài)選擇步長參數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)，文獻(xiàn)[7]提出了一種形式較為簡單、計算復(fù)雜度低的基于對數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法，其將對數(shù)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖冏鳛椴介L參數(shù)模型決定步長參數(shù)值μ的變化，使得步長參數(shù)μ的值隨著誤差e(n)的改變而發(fā)生動態(tài)的改變，步長調(diào)整公式為

μ(n)=σlog[ρ|e(n)|v]

(2)

其中：參數(shù)σ的作用是控制步長參數(shù)模型的取值范圍；參數(shù)ρ的作用是控制步長參數(shù)模型的形狀；參數(shù)ν的作用是控制步長參數(shù)模型鄰近誤差為0的區(qū)域的變化速率。經(jīng)過試驗分析，σ取值為0.02，ρ取值為1 000，ν取值為2時算法的效果最好[7]。

2)基于正態(tài)分布函數(shù)的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法。文獻(xiàn)[8]是在基于sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法的基礎(chǔ)上提出的，其步長參數(shù)調(diào)整公式為

μ(n)=c{1-exp[-a|e(n)|b]}

(3)

其中：參數(shù)a控制步長參數(shù)模型收斂至其最大取值的速度；參數(shù)b控制步長參數(shù)模型底部的形狀，也就是進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時期的步長參數(shù)模型的變化趨勢；參數(shù)c控制步長參數(shù)模型的最大取值。經(jīng)過實驗分析，a取值為5，b取值為1，c取值為0.12時，文獻(xiàn)[8]中的算法效果最好[8]。

相較于式(2)，其步長參數(shù)的初始值得到了一定程度的提高，但當(dāng)誤差趨于0時，其對于步長參數(shù)變化速度的調(diào)整效果并不明顯，仍然會造成較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

文獻(xiàn)[8]中的算法在迭代的初始階段對步長參數(shù)的取值的確做出了改進(jìn)，使步長參數(shù)的取值明顯比文獻(xiàn)[7]中的大，但是在算法進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段后，步長參數(shù)的取值并沒有一個很明顯的減小趨勢且取值較大變化較快，這可能會導(dǎo)致算法具有較大的震蕩，從而影響算法的精度值。具體步長參數(shù)模型對比情況圖如圖2所示。

圖2 文獻(xiàn)[7-8]的步長參數(shù)模型對比情況

由圖2可以看出，文獻(xiàn)[7]中的步長參數(shù)模型在誤差接近于0時，相較于文獻(xiàn)[8]其值明顯變小且變化速率明顯變慢了，但是其初始步長參數(shù)值太小且在誤差還未到0時，其步長參數(shù)的值已經(jīng)為0，這可能會導(dǎo)致自適應(yīng)濾波器找不到最優(yōu)權(quán)系數(shù)。

2 新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法

為了使LMS自適應(yīng)濾波算法在收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)跟蹤性能這幾個重要的算法特征上得到更好的效果，在設(shè)計步長參數(shù)模型時，要全面地滿足其變化的規(guī)律，而不是像文獻(xiàn)[7-8]只滿足變化規(guī)律中的一點?；诖?，在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種新的步長參數(shù)變化模型，新的步長參數(shù)與誤差之間的函數(shù)表達(dá)式為

(4)

其中：參數(shù)γ的取值對于步長參數(shù)的取值范圍有明顯的影響；參數(shù)τ對步長參數(shù)取值的范圍和形狀也就是變化趨勢都有一定的影響，進(jìn)而有可能降低算法的收斂速度以及精度。

改進(jìn)的步長參數(shù)模型與文獻(xiàn)[7-8]中的步長參數(shù)模型對比圖如圖3所示。由圖3可以看出，改進(jìn)后的步長參數(shù)模型更加全面地滿足了步長調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)，在算法初始階段或發(fā)生時變誤差值較大時具有較大的步長值，在算法進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段能保證步長值較小且變化緩慢，在誤差值接近于0時步長值也接近于0。相較于文獻(xiàn)[7-8]中的初始步長值更大，并克服了文獻(xiàn)[8]在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段步長值仍然較大且變化趨勢較快的缺陷，同時克服了文獻(xiàn)[7]誤差還未到0時步長參值已為0的缺陷。

圖3 文獻(xiàn)[7-8]及改進(jìn)算法步長參數(shù)模型對比情況

改進(jìn)后的LMS自適應(yīng)濾波算法迭代步驟如下。

步驟1初始化參數(shù)。將自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù)的初始值W(0)設(shè)置為0，將自適應(yīng)濾波器的階數(shù)設(shè)置為M，選擇合適的變化的步長值μ，為了使算法收斂，步長μ的取值應(yīng)該大于0且小于1/λmax，λmax表示輸入信號X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T的自相關(guān)矩陣的最大特征值。

步驟2計算濾波器的實際輸出信號。其計算公式為

y(n)=WT(n)×X(n)

步驟3計算自適應(yīng)濾波器的誤差。其計算公式為

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-WT(n)×X(n)

步驟4更新步長參數(shù)。步長參數(shù)更新公式為

步驟5更新濾波器權(quán)系數(shù)的值。其計算公式為

W(n+1)=W(n)+μ(n)e(n)X(n)

重復(fù)步驟2-步驟5，直到濾波器權(quán)系數(shù)逼近最佳濾波為止，其中，誤差值與0的差值越小表示濾波器權(quán)系數(shù)越逼近于最佳濾波，通常設(shè)置一個與誤差對應(yīng)的閾值確定何時誤差與0接近。

3 仿真結(jié)果分析

3.1 改進(jìn)算法的參數(shù)分析

在式(4)中有兩個重要的參數(shù)γ和τ。通過γ及τ的不同取值所得到的步長參數(shù)模型分析這兩個參數(shù)對于步長參數(shù)取值變化的影響。

當(dāng)誤差的值增加到1.2時，8組分析數(shù)據(jù)所對應(yīng)的步長值如表1所示。

表1 誤差為1.2時γ、τ不同取值情況下的步長值

τ取值為1，即觀察步長值與γ的關(guān)系時，γ分別取值為1.1、0.9、0.8、0.7時，式(4)步長參數(shù)與誤差之間的模型圖如圖4所示。

圖4 參數(shù)γ變化時的步長函數(shù)模型圖

通過圖4可以看出，當(dāng)τ取值為1時，4種不同取值的γ所得到的步長參數(shù)模型都滿足步長參數(shù)調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)，且最大步長都沒有超出步長的上限取值1。隨著γ的值增大，步長參數(shù)的取值范圍明顯得到了增強(qiáng)，在γ取值為1.1、0.9、0.8時步長參數(shù)模型的形狀基本上沒有太大的改變，算法在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段后期步長的取值和變化的緩慢程度相差不多，此時可以認(rèn)為γ主要影響的是步長參數(shù)模型的取值范圍，因此γ取值越大模型的性能越好。但是當(dāng)γ取值為1.1時，其步長隨著誤差變大增長的趨勢過強(qiáng)，如表1所示，在誤差取值大于1時，其步長參數(shù)模型的最大值突破步長上限的取值1，γ的取值應(yīng)該小于1.1。同時步長初始值也不宜過小，當(dāng)γ取值為0.7時，其初始步長值小于文獻(xiàn)[8-9]在相同誤差條件下的初始步長值，因此，γ取0.9時最合適。

當(dāng)γ取值為1，即觀察步長值與τ的關(guān)系時，τ分別取值為0.9、0.8、0.7、0.4時，式(4)步長參數(shù)與誤差之間的模型圖如圖5所示。通過圖5可以看出，當(dāng)γ取值為1時，隨著τ取值的增加，步長參數(shù)模型中的取值范圍有所增加，但是在誤差逐漸減小為0的過程中，誤差值則是增大且變化也是增快的，可見τ不僅對步長參數(shù)模型取值范圍有影響，也同樣影響著步長參數(shù)模型的形狀。當(dāng)τ取0.4時，步長參數(shù)模型在誤差較大時步長取值很小且在誤差為0.2時，其步長值已經(jīng)接近于0。當(dāng)τ取0.9和0.8時，在誤差取值大于1時，其步長參數(shù)模型的最大值突破步長上限的取值1，如表1所示，τ取0.7時最合適，既可以在誤差較大時取得較合適的大步長，也可以在誤差趨近于0時步長取值較小且緩慢減小。

圖5 參數(shù)τ對于步長參數(shù)模型的影響

結(jié)合圖4和圖5的分析可得，γ取0.9、τ取0.7時改進(jìn)的變步長LMS自適應(yīng)濾波器算法的步長參數(shù)模型最好。

3.2 仿真實驗條件

仿真實驗條件設(shè)置是在Matlab2016a仿真環(huán)境下，設(shè)置濾波器的階數(shù)為2，橫向FIR濾波器的初始系數(shù)為W=[0.8 0.5]，標(biāo)記第500個采樣點為系統(tǒng)發(fā)生時變的時刻，并且在時變發(fā)生時系統(tǒng)的權(quán)系數(shù)取值為W=[0.4 0.2]。輸入均值為0、方差為1的高斯白噪聲，噪聲v(n)是與輸入信號x(n)不相關(guān)的高斯白噪聲。步長參數(shù)模型分別采用式(2)-式(4)，并分別進(jìn)行200次獨(dú)立的仿真實驗，每次實驗的采樣點為1 000，求其均方誤差值。其中式(2)中σ取值為0.02，ρ取值為1 000，ν取值為2；式(3)中a取值為5，b取值為1，c取值為0.12；式(4)中γ取0.9，τ取0.7。

3.3 仿真結(jié)果分析

所提算法與文獻(xiàn)[7-8]中的算法在系統(tǒng)未發(fā)生時變時的仿真結(jié)果如圖6所示，相同的實驗條件下，文獻(xiàn)[7]中的算法在執(zhí)行到第250步時得到了收斂，文獻(xiàn)[8]中算法在第110步得到了收斂，而改進(jìn)后的算法在第50步就已經(jīng)得到了收斂，通過收斂所需的迭代次數(shù)可以明顯得出所提算法比文獻(xiàn)[7-8]中的算法的收斂速度要快得多，并且所提算法的收斂值為-22 dB，文獻(xiàn)[7]中的算法的收斂值為-17 dB，文獻(xiàn)[8]中的算法的收斂值為-19 dB，通過收斂值可以看出改進(jìn)后的算法在精度這一特征值上得到了顯著的提升效果，分別提高了3 dB和5 dB。

圖6 改進(jìn)算法與文獻(xiàn)[7-8]的收斂速度對比

所提算法與文獻(xiàn)[7-8]中的算法在跟蹤性能方面的對比如圖7所示，相同的實驗條件，當(dāng)算法在第500步發(fā)生時變時，所提算法在第550步時就可以準(zhǔn)確地跟蹤時變后的未知系統(tǒng)，而文獻(xiàn)[7]中的算法在時變后的200步才準(zhǔn)確地跟蹤到了時變后的未知系統(tǒng)，文獻(xiàn)[8]則是在時變后的100步跟蹤到了時變后的未知系統(tǒng)，顯然所提算法的跟蹤性能得到了明顯的提高，且其收斂精度也比文獻(xiàn)[7]中的算法提升了4 dB左右，比文獻(xiàn)[8]中的算法提升了2 dB左右。

圖7 改進(jìn)的算法與文獻(xiàn)[7-8]的跟蹤性能對比

綜上所述，通過所提算法與文獻(xiàn)[7-8]中的算法在同樣實驗條件下得到的仿真圖對比得出，所提算法在衡量LMS自適應(yīng)濾波算法的3個特征值收斂速度、收斂精度和跟蹤性能等方面都得到了更好的效果。

所提出的步長參數(shù)模型不僅在誤差較大時取得較大的值，而且在誤差趨近于0時步長參數(shù)值較小且變化緩慢，因此，所提算法的仿真結(jié)果比其他兩種算法收斂速度更快，收斂精度更高。這樣既可以在誤差較大時提高收斂速度，又可以在誤差較小時降低穩(wěn)態(tài)誤差，避免產(chǎn)生不必要的震蕩，影響算法的精度。

4 結(jié)語

提出了一種新的變步長LMS算法，相比現(xiàn)有變步長LMS自適應(yīng)濾波算法在步長參數(shù)的選擇上更好地權(quán)衡了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差這一對矛盾，更全面地滿足了步長調(diào)整的準(zhǔn)則。在誤差較大時能夠取得更大的步長參數(shù)值，且在誤差趨近于0時能夠取得較小且變化緩慢的步長值。通過仿真比較可得，所提算法與已有算法相比在收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤性能等3個方面都得到了更好、更優(yōu)的效果。