潘玲，馮倩，張鵬 ，沈冰，周健，陳冉，趙勁帥

（1.國網(wǎng)上海市電力公司電力科學研究院，上海 200437；2.四川大學電氣工程學院，四川 成都 610065）

近年來，城市電網(wǎng)的電力電子化率逐步提升，加劇了諧波源的復雜性與多樣性，諧波污染變得愈加嚴重[1]。對于電網(wǎng)中諧波電壓含量較高的母線，有必要準確量化系統(tǒng)側(cè)與用戶側(cè)的諧波發(fā)射水平，進而追溯主導諧波源，指導諧波治理。

計算諧波阻抗是評估諧波發(fā)射水平的關鍵，現(xiàn)有計算方法的原理主要基于兩點假設：1）背景諧波相對穩(wěn)定；2）用戶側(cè)諧波阻抗遠大于系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗，從而可將其忽略，只需計算系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗即可完成諧波發(fā)射水平評估[2-7]。例如，波動量法[2-3]與一系列回歸法[4-5]在背景諧波波動較小時具有較好的計算精度，但當背景諧波波動劇烈時計算誤差顯著增大。獨立隨機矢量協(xié)方差法[6]基于用戶側(cè)諧波阻抗遠大于系統(tǒng)側(cè)的前提，認為公共線路上流過的諧波電流與背景諧波弱相關，可在一定程度上抑制背景諧波波動對計算的影響，但當所需前提不成立時計算精度較低。此外，快速獨立分量分析（fast independent component analysis，F(xiàn)astICA）[7-10]法理論上只需利用兩側(cè)諧波源信號快變分量的獨立性即可重構(gòu)源信號，進而求解諧波阻抗，具有較強的抗背景諧波波動的能力。但在實際應用中，當兩側(cè)諧波阻抗幅值較接近時，其計算誤差較大。

通常而言，現(xiàn)有方法所需的上述兩點假設對傳統(tǒng)非線性用戶成立，但隨著城市電網(wǎng)電力電子化率以及電纜化率的不斷提升，一方面，系統(tǒng)側(cè)包含大量的非線性用戶諧波源，加劇了背景諧波的不穩(wěn)定性；另一方面，電纜的對地電容較大，可能與電網(wǎng)中其他感性元件發(fā)生感容耦合，使得在某些頻次下，系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗增大，且不再遠小于用戶側(cè)諧波阻抗[11-12]。從而，現(xiàn)有方法所需假設不再成立，需尋求新的求解方法。

除此之外，現(xiàn)有方法大多只能計算系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗，但在城市電網(wǎng)中，考慮到系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗受高電纜化率影響而在某些頻次下增大，公共連接點（point of common coupling，PCC）兩側(cè)諧波阻抗可能較為接近，需同時計算系統(tǒng)側(cè)與用戶側(cè)諧波阻抗才能量化諧波發(fā)射水平，從而為評估工作帶來新的挑戰(zhàn)。

盡管FastICA算法理論上可計算PCC點兩側(cè)的諧波阻抗，但在高電纜化率城市電網(wǎng)的上述工況中，計算誤差較大。為此，本文結(jié)合中心極限定理分析現(xiàn)有FastICA算法誤差來源，進而將其與新興的盲源分離技術稀疏成分分析法（sparse component analysis，SCA）[13-14]相結(jié)合，提出改進FastICA算法。該算法以“全局-局部-全局”作為源信號的分離思路，在FastICA分離所得信號附近進行局部搜索，引入稀疏篩選與綜合負熵篩選機制，得到與真實源信號吻合的局部信號，進而求取兩側(cè)諧波阻抗，并評估諧波發(fā)射水平。當背景諧波較大且兩側(cè)諧波阻抗接近時，所提改進FastICA算法均能準確評估諧波發(fā)射水平。仿真與實際工程案例驗證了該方法的有效性。

1 諧波發(fā)射水平評估模型

對于城市電網(wǎng)中諧波電壓含量較高的母線，將電網(wǎng)分為系統(tǒng)側(cè)與用戶側(cè)，其諾頓等效模型如圖1所示。

圖1 諧波發(fā)射水平分析原理圖Fig.1 The model of harmonic emission level

根據(jù)疊加原理有：

用戶側(cè)與系統(tǒng)側(cè)諧波電壓發(fā)射水平分別為

對于傳統(tǒng)非線性用戶的工況，由于兩側(cè)諧波阻抗?jié)M足|Zc|＞＞ |Zs|，從而近似有Zs/Zc≈ 0，因此式（2）中可化解為

即只需求解系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗Zs即可量化諧波發(fā)射水平。但在高電纜化率城市電網(wǎng)中，隨著電纜與感性元件之間發(fā)生感容耦合，Zs在某些頻次下可能增大，導致|Zc|＞＞|Zs|不再成立，需要同時計算Zs與Zc方可量化諧波發(fā)射水平。

為準確計算PCC點兩側(cè)諧波阻抗，本文提出一種改進的FastICA算法，具體計算方法見第2節(jié)部分。

2 改進FastICA算法

2.1 傳統(tǒng)FastICA算法分析

根據(jù)中心極限定理，獨立隨機信號線性組合后高斯性將增強。以此為基礎，F(xiàn)astICA算法考慮各源信號間的獨立性，通過對觀測信號X施加線性變換WTX，求取能使WTX非高斯性最大的W，此時WTX即為分離出的源信號。非高斯性可由峭度、負熵等指標度量，其中負熵因其穩(wěn)健性應用更廣[8]。

本文對基于最大負熵的FastICA算法進行研究，負熵近似計算式為

式中：s與sGauss均具有零均值與單位方差，且sGauss為高斯隨機信號；E{.}表示求期望；G{.}為非平方的非線性函數(shù)。

由式（4）可知，J（s）越大，信號 s的非高斯性越強。

FastICA算法要求各源信號之間相互獨立。這一點可通過提取各諧波源信號的快變分量來實現(xiàn)。快變分量可通過計算各信號的波動量來提取，進而有 ΔI?s與 ΔI?c近似獨立，且源信號實、虛部的波動量也近似獨立[7-8]。將 [ΔU?pccΔI?pcc]T與[ΔI?sΔI?c]T的實、虛部解耦如下：

式中：ΔUpcc-x，ΔUpcc-y，ΔIpcc-x與ΔIpcc-y分別為ΔU?pcc與ΔI?pcc的實、虛部；ΔIc-x，ΔIc-y，ΔIs-x，ΔIs-y分別為ΔI?s與ΔI?c的實、虛部。anp（n，p=1，2，3，4）為混合系數(shù)，其取值只與兩側(cè)諧波阻抗有關。

令 X=[ΔUpcc-xΔUpcc-yΔIpcc-xΔIpcc-y]T，S=[ΔIc-xΔIc-yΔIs-xΔIs-y]T，可由式（5）得到其對應的盲源分離模型矩陣形式如下：

FastICA算法以負熵最大為目標，先對X進行中心化、白化預處理[8-10]，再逐行優(yōu)化解混矩陣W，將源信號從觀測信號中逐個分離出來，得到諧波源近似信號 Y=[Yc-xYc-yYs-xYs-y]T，對應于[ΔIc-xΔIc-yΔIs-xΔIs-y]T，但對應順序未知。從而有X=A?Y，由矩陣變換有：

式中：Zs-x，Zc-x分別為 Zs與Zc的實部。

至此，通過FastICA算法可分別求得Zc與Zs。

當Zc與Zs幅值滿足|Zc|＞＞ |Zs|時，F(xiàn)astICA算法可準確計算較小一側(cè)諧波阻抗Zs；但當Zc與Zs幅值較接近時，如在高電纜化率城市電網(wǎng)中某些頻次下，則求得兩側(cè)諧波阻抗誤差均較大。

由于FastICA算法以各分離信號的負熵最大為優(yōu)化目標，因而可從以下兩點討論其計算誤差來源。

1）欠優(yōu)化。分離所得源信號Y的非高斯性比真實源信號S的非高斯性小，即優(yōu)化不夠徹底，導致計算誤差較大。

2）過度優(yōu)化。理論上，當隨機信號個數(shù)趨于無窮時中心極限定理才嚴格成立，但實際中源信號個數(shù)通常較少，如本文源信號數(shù)為4。少量源信號通過線性組合后，高斯性通常仍會上升，但也不排除下降的可能。FastICA以負熵最大建立目標函數(shù)，有時會出現(xiàn)過度優(yōu)化，即分離所得源信號的負熵值比真實源信號的更大。

本文模型中源信號的維度較大，中心極限定理絕大多數(shù)時候成立，因而FastICA誤差多數(shù)來自欠優(yōu)化，少數(shù)來自過度優(yōu)化。

為了在高比例直流城市電網(wǎng)下能準確地計算兩側(cè)的諧波阻抗，本文針對以上兩點，通過稀疏篩選與綜合負熵篩選對傳統(tǒng)FastICA算法進行改良。

2.2 稀疏分量法

當FastICA算法分離信號誤差較大時，真實源信號S與求得源信號Y并非完全吻合，而是在Y附近，但與Y存在一定差異。為此，本文將SCA與FastICA結(jié)合，采用“全局-局部-全局”的思路，先由FastICA分離出源信號的全局近似值；再由SCA構(gòu)造稀疏篩選判據(jù)，在分離所得源信號附近局部搜索，找出可能與真實源信號吻合的局部信號；最后重構(gòu)局部信號對應的全局信號，并采用綜合負熵篩選求得諧波阻抗。SCA算法原理如下。

SCA利用信號的稀疏性提取源信號。當源信號S稀疏時，其值在多數(shù)時候為零，少數(shù)時候非零，可認為混合信號X在各時刻最多由其中一個源信號生成，此時X線性聚類，由聚類直線斜率可求混合矩陣[15-16]。

實際應用中，通常源信號S并非稀疏信號，需通過稀疏字典D將其轉(zhuǎn)換到稀疏域下，得到稀疏化后的源信號S（D-1）T。對式（6），將源信號S的稀疏字典D同時對S以及混合信號X進行變換，有：

由此可見，該變換不會改變混合矩陣A。

在FastICA分離出的源信號Y附近進行局部搜索，搜索到的局部信號y對應于真實源信號S的3行，以y對應[ΔIc-xΔIc-yΔIs-x]T為例進行介紹。對第i組局部信號yi，通過KSVD算法[17]可根據(jù)所需稀疏度（稀疏化后信號非零元素個數(shù)）求取其稀疏字典D，并將D作用于對應時刻的混合信號X。由式（10）可知，此時D等同于作用在真實源信號S上。

若yi與對應時刻S吻合，則S也能被稀疏化，對應X（D-1）T僅由一個源信號產(chǎn)生，稱該局部采樣點為單源點；反之若yi與S不吻合，則對應X（D-1）T由各源信號共同產(chǎn)生，稱該局部采樣點為多源點[18]。

1）單源點。此時yi與對應時段的S吻合，設定稀疏度為1且信號非零值位于同一時刻，通過yi的稀疏字典D可將 [ΔIc-xΔIc-yΔIs-x]T稀疏化。在yi值為零的采樣點，X（D-1）T僅由稀疏變換后的ΔIs-y產(chǎn)生，從而對單源點有

式中：下標“sparse”表示通過D進行稀疏變換后得到的信號。

進而可得：可見經(jīng)過稀疏變換后，X（D-1）T線性聚類，由聚類直線斜率可求得A中某列各元素之間的比例關系。

2）多源點。此時yi與對應時刻S不吻合，通過yi的稀疏字典D無法將S稀疏化，X（D-1）T仍由多個源信號共同產(chǎn)生。僅當下式成立時X（D-1）T才能線性聚類，而大多數(shù)局部信號不滿足該條件[19]：

因而可將X（D-1）T線性聚類作為搜索到的第i組局部信號yi與對應時刻真實源信號S吻合的必要條件。由此推導出評估yi與S吻合度的稀疏篩選判據(jù)：

式中：Re（.）與Im（.）分別表示取實、虛部；ε為稀疏篩選設定的閾值；j，k=1，2，3，4，且j≠k；m為局部信號yi被稀疏化后，其值為零的采樣點位置。

通過聚類直線斜率可求混合矩陣A中某一列中各元素之間相互比例關系。進而結(jié)合式（8）、式（9）與式（12）可計算對應側(cè)諧波阻抗。

在FastICA分離出的源信號Y附近進行局部搜索時，若局部信號長度 Llocal＜5，則式（14）恒成立，稀疏篩選判據(jù)失效，因而要求Llocal≥5。但Llocal較大會增加局部搜索的負擔，本文取Llocal=5。此時搜索空間維度為15，通過進一步對信號進行降維變換可將搜索空間維度降至6。將式（14）作為目標函數(shù)，上述搜索過程可通過在Y附近進行窮舉搜索完成。

2.3 綜合負熵篩選

稀疏篩選判據(jù)是局部信號yi與對應時刻真實源信號S吻合的必要條件。在大量滿足式（14）的局部信號yi中，既存在與S高度吻合的信號，也存在因式（13）而使X（D-1）T誤線性聚類的信號。因而需對稀疏篩選后得到的各組局部信號yi進行二次篩選。

從信號的非高斯性入手研究篩選方法。Fast-ICA的誤差來自對信號非高斯性的欠優(yōu)化或過度優(yōu)化。由于中心極限定理近似成立，實際中以欠優(yōu)化為主，而過度優(yōu)化情況較少。即使出現(xiàn)過度優(yōu)化，往往也只發(fā)生在某個源信號上，此時其余源信號仍處于欠優(yōu)化狀態(tài)。

當分離所得信號誤差較大時，一般存在兩種現(xiàn)象：1）分離出的各信號非高斯性均較弱；2）分離出的信號中某信號非高斯性較強，其余信號非高斯性較弱。而對于真實源信號，各信號均具有較強非高斯性。

對某局部信號yi，可由式（8）、式（9）與式（12）計算其對應側(cè)的諧波阻抗，進而由下式重構(gòu)其對應的全局信號：

令稀疏篩選后第i組局部信號對應全局信號實虛部的負熵分別為 Jx，i與 Jy，i，通過下式可將 Jx，i歸一化為 J＇x，i。Jy，i歸一化方式同理。

式中：Jx，min，Jx，max分別為稀疏篩選后各組局部信號對應全局信號實部負熵的最小值與最大值。

稀疏篩選后，通過綜合負熵篩選最終可找到與真實源信號高度吻合的局部信號，并避免欠優(yōu)化與過度優(yōu)化。進而可求取諧波阻抗，評估諧波發(fā)射水平。

改進FastICA評估諧波發(fā)射水平的原理及流程如圖2所示。

圖2 改進FastICA評估諧波發(fā)射水平原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of improved FastICA evaluating harmonic emission level

3 仿真分析

3.1 各算法誤差對比

對圖1所示諾頓等效電路設置仿真數(shù)據(jù)，并由式（1）生成PCC點諧波數(shù)據(jù)。具體仿真參數(shù)設置如下：1）諧波電流源：I?c幅值為 100 A，相角為-30°。I?s幅值為I?c的k倍，相角為30°，考慮到城市電網(wǎng)高電力電子化率下，PCC點背景諧波可能較大，本文取 k=0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，1.6。I?c和 I?s的幅值與相角均加上10%的正弦波動與±5%的隨機擾動。2）諧波阻抗：考慮城市電網(wǎng)高電纜化率下，電纜與感性元件發(fā)生感容耦合可能導致Zs增大且不再遠小于Zc，設Zs=5+15j Ω，Zc=8+23j Ω，并對Zs，Zc的實、虛部分別疊加±10%的正弦波動。

按上述設置生成15 000個仿真數(shù)據(jù)，為保障單次計算中諧波阻抗近似恒定不變，每150個數(shù)據(jù)為一段進行一次計算。采用4種方法（方法1：二元回歸法；方法2：獨立隨機矢量協(xié)方差法；方法3：傳統(tǒng)FastICA；方法4：改進FastICA）計算Zs。由于現(xiàn)有方法大多只能計算系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗，對用戶側(cè)諧波阻抗，僅對比傳統(tǒng)FastICA算法與改進FastICA算法。

上述4種方法對應的計算誤差如圖3所示。由圖3可見，即使背景諧波波動很小，方法1、方法2求得Zs的誤差仍較大，這是因為他們的基本假設|Zc|＞＞|Zs|不滿足。此外，隨著背景諧波的增大，其誤差迅速大幅上升，說明這兩種方法受背景諧波波動的影響較大。方法3相比于方法1、方法2具有較強的抗背景諧波波動能力，但由于|Zs|與|Zc|較接近，求得諧波阻抗誤差仍較大。且隨著背景諧波波動增大，Zs誤差增大，而隨著背景諧波波動減小，Zc誤差增大，即更難求準諧波源波動較大側(cè)對應諧波阻抗。

圖3 各方法求得Zs與Zc平均誤差Fig.3 Average error of Zsand Zccalculated by each method

相比之下，改進FastICA算法通過稀疏篩選找出與真實諧波源信號高度吻合的局部信號，再由綜合負熵篩選避免了對負熵的欠優(yōu)化。求得兩側(cè)諧波阻抗的精度高，可進一步用于評估諧波發(fā)射水平。

3.2 FastICA誤差分析與篩選機制合理性研究

前文分析FastICA算法的誤差來自對負熵的欠優(yōu)化或過度優(yōu)化，下面對此驗證，并分析所提篩選機制的合理性。

以k=1（背景諧波較大）以及k=0.1（背景諧波較?。槔瑢τ贔astICA算法分離所得的信號Y，以及真實源信號S，通過對比他們的負熵分析誤差來源。先由式（17）將Y與S化為零均值單位方差的信號。進而令Y與S的負熵分別為J（Y）與J（S），通過計算J（Y）-J（S）可對比兩者負熵大小。獨立運行FastICA算法200次，對比結(jié)果如表1與圖4、圖5所示。

表1 FastICA誤差原因分析（k=1|k=0.1）Tab.1 Analysis for the error of FastICA（k=1|k=0.1）

圖4 S與Y負熵對比（k=1）Fig.4 Negative entropy contrast：J（S）vs J（Y）（k=1）

圖5 S與Y負熵對比（k=0.1）Fig.5 Negative entropy contrast：J（S）vs J（Y）（k=0.1）

由表1與圖4、圖5可看出，F(xiàn)astICA分離所得各源信號以欠優(yōu)化為主，偶爾出現(xiàn)過度優(yōu)化，且某側(cè)諧波源實、虛部同時被過度優(yōu)化的概率極低。原因在于，中心極限定理在該模型中近似成立，當計算存在較大誤差時，真實源信號的非高斯性通常強于分離所得信號。此外，當k=0.1時，背景諧波很穩(wěn)定，此時理論上求得Zs精度較高。由圖5可見，相比于圖4，Ys-x與Ys-y欠優(yōu)化的頻次明顯下降，準確優(yōu)化頻次增多。此外由表1可見，相比于k=1的情況，k=0.1時Ys-x與Ys-y同時欠優(yōu)化概率也有所下降。進而說明尋優(yōu)過程中對信號實、虛部同時欠優(yōu)化是導致計算誤差的主要原因。

本文將傳統(tǒng)FastICA算法改良，對各局部信號及其對應全局信號引入稀疏篩選與綜合負熵篩選。一方面，篩出的信號具有較大的綜合負熵，可避免欠優(yōu)化；另一方面，當分離所得信號實、虛部分別出現(xiàn)欠優(yōu)化與過度優(yōu)化時，對應綜合負熵往往并非最大，且由于中心極限定理近似成立使得信號實、虛部同時被過度優(yōu)化的概率極低，從而該篩選機制也能避免過度優(yōu)化。

4 實際工程案例分析

以我國某城市電網(wǎng)中某一工業(yè)用戶為例進行分析。該城市電網(wǎng)的電纜化率較高，在部分區(qū)域甚至高達90%以上。電纜與系統(tǒng)中感性元件發(fā)生感容耦合，導致系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗在某些頻次下增大。此外，該工業(yè)用戶中裝有大量的變頻器，用于廠區(qū)內(nèi)馬達設備的變頻啟動與調(diào)速。同時也裝有大量UPS電源，以保障各設備的正常運行。變頻器與UPS電源在工作過程中會產(chǎn)生大量諧波，劣化PCC點電能質(zhì)量。通過評估該工業(yè)用戶在PCC點的諧波發(fā)射水平，有助于量化其諧波責任，進而指導諧波治理方案的制定。

將該工業(yè)用戶與電網(wǎng)相連的35 kV母線作為PCC點，采集電壓、電流數(shù)據(jù)，得到各次諧波值。其中5次諧波電壓、電流30分鐘數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6 PCC點測得5次諧波電壓電流Fig.6 The 5th harmonic voltages and currents at PCC

將圖6測量數(shù)據(jù)均分為10個時段，每時段長3 min，采用4種算法分別計算系統(tǒng)側(cè)與用戶側(cè)5次諧波阻抗，計算結(jié)果如圖7所示。由圖7可見，傳統(tǒng)算法求得兩側(cè)諧波阻抗在短時間內(nèi)存在較大的波動，這與實際工程情況并不相符。相比之下，所提改進FastICA算法求得結(jié)果較穩(wěn)定，從而間接說明所提方法計算結(jié)果更為可信。此外，由計算結(jié)果可看出，求得系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗并非遠小于用戶側(cè)阻抗，這是由于高電纜化率下電纜與感性元件發(fā)生感容耦合所致。該工況下，傳統(tǒng)方法所需假設不再滿足，故計算結(jié)果精度低，波動性大。進而，基于求得的阻抗，可計算系統(tǒng)側(cè)與用戶側(cè)在PCC處的諧波電壓發(fā)射水平分別為98.32 V與127.51 V。

圖7 各方法由實測數(shù)據(jù)求得Zs與ZcFig.7 Zsand Zccalculated by each method according to the measured data

5 結(jié)論

本文針對高電纜化率城市電網(wǎng)中非線性用戶的諧波發(fā)射水平評估進行研究，分析了該問題的難點并提出解決方法，具體結(jié)論如下：

1）考慮城市電網(wǎng)高電纜化率以及高電力電子化率，傳統(tǒng)諧波發(fā)射水平評估方法所需假設不再成立。提出一種改進的FastICA算法。

2）結(jié)合中心極限定理，分析了現(xiàn)有FastICA算法計算精度的主要影響因素，論證其計算誤差主要來自對負熵的欠優(yōu)化或過度優(yōu)化。

3）針對FastICA計算誤差來源，引入稀疏篩選與綜合負熵篩選機制對算法進行改良。改進FastICA可準確計算高電纜化率城市電網(wǎng)中系統(tǒng)側(cè)與用戶側(cè)的諧波阻抗。

此外，在所提算法的局部搜索過程中，如何進一步提高搜索效率是接下來的研究方向。