黎德祥，陸佳瑜，葛文慶，李波，譚草

（山東理工大學交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049）

隨著伺服技術(shù)的高速發(fā)展[1]，傳統(tǒng)帶減速機構(gòu)的伺服系統(tǒng)因傳動結(jié)構(gòu)復雜等原因很難滿足越來越高的性能要求，而直驅(qū)伺服系統(tǒng)在這方面具有明顯優(yōu)勢，近年來在軍事、航空航天、汽車及現(xiàn)代機床等領(lǐng)域得到了較快的發(fā)展[2-3]。然而，現(xiàn)代工業(yè)過程的日益復雜，對控制要求也逐漸提高（如準確性、穩(wěn)定性、快速性等）[4-5]。

從控制算法的角度看，傳統(tǒng)的PID控制、解耦控制和極點配置等方法以及現(xiàn)代控制算法如自適應控制、魯棒控制、預見控制和滑模變結(jié)構(gòu)控制等方法都在執(zhí)行器控制領(lǐng)域中不斷地得到應用[6-10]，但是其控制參數(shù)通常是依據(jù)專家經(jīng)驗，經(jīng)過反復試湊和修正才能最終確定和匹配系統(tǒng)的控制參數(shù)，導致產(chǎn)品的研制周期長，研制成本高[11]。近年來，粒子群算法[12]（particle swarm algorithm，PSA）、遺傳算法[13]（genetic algorithm，GA）、蟻群算法[14]（ant algorithm，AA）等智能優(yōu)化算法被用于控制參數(shù)優(yōu)化設計，并取得了良好的效果。但是，由于伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性、信號跟隨特性和調(diào)節(jié)時間等控制目標存在相互排斥及制約的關(guān)系，即便采用成熟的單目標優(yōu)化算法進行優(yōu)化，往往也很難得到理想的解決方案[15]。因此，國內(nèi)外一些專家學者對于使用多目標優(yōu)化方法優(yōu)化調(diào)整控制參數(shù)進行了一定的探索和嘗試[16]。然而，盡管人們對優(yōu)化控制器中控制參數(shù)做了大量研究，但傳統(tǒng)的設計中大多數(shù)在優(yōu)化過程中針對控制器工作時的特性只考慮單個響應特性，并沒有在線反饋各種運動狀態(tài)對控制器的影響，不能實現(xiàn)對控制器控制參數(shù)的全面優(yōu)化設計，并不能從根本上提高其性能要求；同時，對于多目標問題，大多數(shù)在求解出Pareto集后，開始人工篩選“最佳值”而沒有考慮控制參數(shù)對控制系統(tǒng)性能的影響，這會導致主觀因素較大，與最佳取值之間存在一定的誤差。

本文基于魯棒控制建立了電磁直線執(zhí)行器的控制模型，以電磁直線執(zhí)行器系統(tǒng)誤差積分準則（integral of time-multiplied absolute value of error，ITAE）、正弦信號跟蹤下的相移量、階躍信號下的超調(diào)量作為優(yōu)化目標，采用一種高斯自懲罰法與非線性動態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)相結(jié)合的多目標粒子群優(yōu)化（multi-objective particle swarm optimization，MOPSO）方法，求解Pareto前沿，最后結(jié)合控制參數(shù)對控制系統(tǒng)性能的影響選擇最終控制參數(shù)最優(yōu)解，并通過試驗對控制模型進行了驗證。本分析方法可應用于其他伺服系統(tǒng)控制器的控制參數(shù)設計優(yōu)化研究中，提高控制參數(shù)調(diào)節(jié)的效率，節(jié)約研發(fā)成本，具有一定的工程應用價值。

1 電磁直線執(zhí)行器結(jié)構(gòu)與模型

1.1 結(jié)構(gòu)與數(shù)學模型

本文采用的研究對象為一種高功率密度電磁直線執(zhí)行器，為上下對稱的圓筒形結(jié)構(gòu)，由外磁軛、內(nèi)磁軛、永磁體、線圈和線圈骨架等部件組成[4]，如圖1所示。執(zhí)行器采用Halbach永磁陣列提高驅(qū)動能力，相鄰線圈電流方向相反以減小電樞反應，具有功率密度高、響應迅速等優(yōu)勢。

圖1 電磁直線執(zhí)行器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure schematic of electromagnetic linear actuator

電磁直線執(zhí)行器是一個機械、電路和磁路的多場耦合系統(tǒng)[17]，電路子系統(tǒng)、磁路子系統(tǒng)以及機械子系統(tǒng)構(gòu)成的方程組如下：

式中：U為電源電壓；ke為反電動勢系數(shù)；v為線圈運動速度；R為線圈電阻；i為線圈電流；L為線圈電感；km為電磁力系數(shù)；M為運動部件的質(zhì)量；x為運動部件的位移；Ff為摩擦力；Fe為電磁力。

文獻[18]給出了一種LuGre動態(tài)摩擦力模型，其數(shù)學表達式如下：

式中：σ0為剛度系數(shù)；σ1為微觀阻尼系數(shù)；z為接觸表面剛毛平均變形量；σ2為粘滯摩擦系數(shù)；vs為Stibeck速度；g（v）為正定函數(shù)，用來描述Stibeck現(xiàn)象；Fc為庫倫摩擦力；Fs為靜摩擦力。

由于電磁直線執(zhí)行器電感很小，為簡化模型可忽略不計，把式（1）、式（2）結(jié)合起來，可得到整個控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程組：

式中：u為電壓；x1為運動部件的位移；x2為運動部件的速度。

1.2 魯棒控制系統(tǒng)設計

魯棒控制器包含線性增益和魯棒反饋項兩部分，其控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 魯棒控制系統(tǒng)框圖Fig.2 The block diagram of robust control system

定義電磁直線執(zhí)行器的一個類滑模變量p和輸出跟蹤誤差e=x1-xd。其中xd為電磁直線執(zhí)行器的參考位移，并且有：

式中：us1為比例反饋項；ks1為線性增益；ε0為任意小的常數(shù)；us2為用來減弱模型不確定影響的魯棒項；ks2為一足夠大的非線性增益；h0，h1為滿足以下條件的任意光滑邊界函數(shù)：

式中：||||2為歐幾里得數(shù)。

2 控制參數(shù)多目標優(yōu)化

2.1 設計目標函數(shù)

本文對魯棒控制器的控制參數(shù)進行優(yōu)化。一方面要求控制器以最小代價的損失實現(xiàn)控制目的，以提高控制器的準確性；另一方面要求控制器對電磁直線執(zhí)行器具有反應迅速和實時跟蹤，以提高控制器的快速性；同時要求系統(tǒng)在固有飽和特性的作用下穩(wěn)定，以提高控制器的穩(wěn)定性。綜合考慮上升時間和誤差等約束條件，本文的設計目標維數(shù)n=3，選取設計目標函數(shù)如下：

1）ITAE準則。用JITAE表示時間與誤差絕對值乘積的積分，它反映控制系統(tǒng)在轉(zhuǎn)換狀態(tài)時，以最小代價的損失實現(xiàn)控制目的，具體表達式為[21]

式中：t為時間；e（t）為位移的誤差。

2）相移量最小化。正弦信號跟蹤下系統(tǒng)的相移反映系統(tǒng)輸出跟隨輸入的特性，相移小，則系統(tǒng)響應就快。所以，通常采用相移量來衡量系統(tǒng)響應的實時性和快速性，具體表達式為[22]

式中：S為相移量；Ncom為FFT序列中輸入信號頻率分量的下標；fin為控制輸入信號的頻率；fsam為控制系統(tǒng)周期；N為采樣時間；x（t）為控制輸入信號；y（t）為控制輸出信號；按周期采樣后，x（t）信號變?yōu)?xn，y（t）信號變?yōu)?yn。

3）超調(diào)量最小化。階躍信號下系統(tǒng)的超調(diào)量反映了系統(tǒng)輸出信號的特性，超調(diào)小，輸出信號的峰值就小，系統(tǒng)就越穩(wěn)定。超調(diào)量σ具體表達式為

為滿足控制器達到最佳的性能，在優(yōu)化過程以“小JITAE，小S，小σ”為原則進行優(yōu)化算法中粒子的取舍。

2.2 設計變量及約束條件

根據(jù)電磁直線執(zhí)行器魯棒控制系統(tǒng)的性能指標要求以及調(diào)節(jié)經(jīng)驗，選擇控制器參數(shù)作為優(yōu)化變量以及約束條件如下。

設計變量為

如上所述，本文設計變量維數(shù)m=3，約束條件為

2.3 多目標粒子群優(yōu)化算法

在傳統(tǒng)的粒子群算法（PSO）中，粒子的位置和速度按照下面的公式更新[23-24]，即

式中：Vid（n）為第n個粒子的當前速度；ω為慣性系數(shù)，一般取值ω∈[0.4，1.0]；c1，c2為學習因子，一般取c1，c2∈[0，2]；r1，r2為 2個隨機數(shù)，一般取r1，r2∈[0，1]；Pid（n）為粒子本身目前搜索到的最佳位置；Gid（n）為整個粒子群目前搜索到的最佳位置；Xid（n）為粒子的當前位置。

PSO算法有著良好的多峰全局尋優(yōu)能力，被廣泛應用在多目標優(yōu)化中，但是PSO算法有著收斂速度不足和搜索精度低的缺點。為提高整體算法的全局搜索能力和局部改良能力，本文采用一種基于高斯懲罰函數(shù)的多目標隨機粒子群優(yōu)化算法。采用高斯罰函數(shù)法對不滿足約束條件的點給予懲罰，使目標函數(shù)值保持在可行域內(nèi)；同時利用非線性動態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)公式調(diào)整粒子的動態(tài)慣性權(quán)重。

算法中，高斯罰函數(shù)及引入罰函數(shù)后無功優(yōu)化目標函數(shù)的數(shù)學模型表達式為[25]

式中：φ（·）為高斯罰函數(shù)；F（·）為無功優(yōu)化目標函數(shù)；f（·）為F（·）的初始狀態(tài)；xi為第i個離散變量；λ為懲罰因子；bi為領(lǐng)域中心；ci為領(lǐng)域因子。由式（18）可知函數(shù)值隨著矢量 x=（x1，x2，...，xn）T離中心 b=（b1，b2，...，bn）T的距離增加迅速下降為零。在x=b的一個鄰域內(nèi)，F(xiàn)（x）的函數(shù)性質(zhì)與f（x）相差較大，而在離x=b較遠的區(qū)域，F(xiàn)（x）與f（x）基本重合。

非線性動態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)公式為[26]

式中：f為當前粒子適應值；favg為當前所有粒子的平均適應值；fmin為當前所有粒子最小適應值；wmax為粒子群最大權(quán)重值；wmin為粒子群最小權(quán)重值。

本文基于高斯自懲罰法與非線性動態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)相結(jié)合的MOPSO優(yōu)化方法具體的優(yōu)化步驟如圖3所示。

圖3 基于粒子群算法的多目標優(yōu)化流程圖Fig.3 Flow chart of multi-objective optimization algorithm based on particle swarm optimization

2.4 優(yōu)化結(jié)果

2.4.1 目標函數(shù)

采用多目標粒子群優(yōu)化算法對目標函數(shù)進行多目標尋優(yōu)，經(jīng)過29次優(yōu)化迭代，得出可行優(yōu)化解集如圖4所示，其中，實心點為系統(tǒng)推薦的Parteo最優(yōu)解，空心點為可行解。

圖4 多目標優(yōu)化解集Fig.4 Multi-objective optimization solution set

從圖4可知，優(yōu)化設計中系統(tǒng)ITAE準則、正弦信號跟蹤下的相移量、階躍信號下的超調(diào)量存在相互排斥及制約的關(guān)系，不能同時達到最優(yōu)，所以需要根據(jù)實際和設計需求選擇合適的優(yōu)化解。

2.4.2 控制參數(shù)影響分析

圖5為控制參數(shù)與控制系統(tǒng)性能的相關(guān)系數(shù)矩陣示意圖。

圖5 控制參數(shù)與控制系統(tǒng)性能的相關(guān)系數(shù)矩陣示意圖Fig.5 Schematic of correlation coefficient matrix between control parameters and control system performance

從圖5可知，S與ks1正相關(guān)度最大，ks1對σ也有明顯影響；σ與ks2的正相關(guān)度最大，ks2對S也有明顯影響；S與k1負相關(guān)度最大，σ與k1的負相關(guān)度最大；JITAE與ks2的正相關(guān)度最大，與k1的負相關(guān)度最大。k1，ks1，ks2對 σ，JITAE和 S 均有一定影響。k1，ks1，ks2為魯棒控制中的三個關(guān)鍵控制參數(shù)，這與實際控制規(guī)律吻合。

通過以上對控制參數(shù)進行優(yōu)化，求解Pareto前沿，最后結(jié)合控制參數(shù)對控制系統(tǒng)性能的影響選擇最終控制參數(shù)最優(yōu)解，最終選擇控制器主要參數(shù)為：k1為 974.5，ks1為 14 280 000，ks2為4 956 000。

3 試驗驗證與分析

3.1 試驗設備

為驗證提出算法對電磁直線執(zhí)行器的有效性，搭建了如圖6所示的試驗平臺，通過基于DSP2812的控制器實現(xiàn)控制算法，控制器集成了電流傳感器與H橋驅(qū)動模塊，執(zhí)行器的位移由激光位移傳感器實時檢測并顯示在上位機中。被控的電磁直線執(zhí)行器工作行程為20 mm，線圈256匝，電阻為1.18 Ω，動質(zhì)量為0.250 kg。

圖6 試驗平臺Fig.6 Experimental setup

3.2 不同輸入下性能分析

為驗證優(yōu)化后控制參數(shù)對控制性能的影響，根據(jù)優(yōu)化所得魯棒控制的控制參數(shù)，對優(yōu)化前后電磁直線執(zhí)行器的階躍響應進行對比分析。在不同時間段設置不同期望位移，電磁直線執(zhí)行器階躍響應如圖7所示。

圖7 不同目標位移階躍響應優(yōu)化前后曲線對比Fig.7 Comparison of curves before and after the step response optimization for different targets

由圖7可知，優(yōu)化前后的魯棒控制都能實現(xiàn)系統(tǒng)對位置階躍信號的跟蹤，穩(wěn)態(tài)誤差趨于0；第一階段，優(yōu)化后電磁直線執(zhí)行器達到98.0%參考位置的時間為17.7 ms，相比與優(yōu)化前提升了28.6%；第二階段，優(yōu)化后電磁直線執(zhí)行器達到98.0%參考位置的時間為14.6 ms，相比與優(yōu)化前提升了38.4%，在保障穩(wěn)態(tài)精度前提下，優(yōu)化后的魯棒控制的響應速度更快。階躍信號中的JITAE由 1.7×10-6下降為 1.3×10-6，下降了約 23.5%；超調(diào)量σ由優(yōu)化前的12.4%下降到了0.6%，下降了約95.2%?？梢钥闯觯捎枚嗄繕肆Ｗ尤簝?yōu)化方法對本文魯棒控制的控制參數(shù)的優(yōu)化，有效降低了階躍信號中的JITAE，同時顯著降低了超調(diào)量σ。

為驗證優(yōu)化前后魯棒控制的軌跡跟蹤性能，對優(yōu)化前后電磁直線執(zhí)行器的正弦響應進行對比分析如圖8所示。設置期望位移xd=7sin（2πt）mm，由圖8可知整個跟蹤過程中，優(yōu)化前的魯棒控制最大誤差為0.17 mm，優(yōu)化后的魯棒控制最大誤差為0.08 mm，降低了52.9%，優(yōu)化后的魯棒控制的跟蹤誤差，顯著小于優(yōu)化前魯棒控制下的跟蹤誤差。正弦信號中的JITAE由 4.8×10-5下降為 8.7×10-6，下降了約 81.9%；相移量S由優(yōu)化前的3.5×10-3rad下降到了7.10×10-4rad，下降了約79.7%。對比可知優(yōu)化后的魯棒控制不僅能夠提高系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能，而且能夠以更高的精度跟蹤連續(xù)位置指令，實現(xiàn)平穩(wěn)跟蹤。

圖8 正弦軌跡跟蹤優(yōu)化前后曲線對比Fig.8 Comparison of curves before and after sine trajectory tracking optimization

為驗證優(yōu)化后控制器跟蹤斜坡信號效果，對優(yōu)化前后電磁直線執(zhí)行器的斜坡信號進行對比分析。圖9為斜坡信號斜率xd=0.3 m/s，電磁直線執(zhí)行器優(yōu)化前后位移對比曲線。由圖9可知，優(yōu)化前的魯棒控制最大誤差和電磁直線執(zhí)行器與目標位移進入同步的時間為分別為0.50 mm和38.2 ms；優(yōu)化后的魯棒控制最大誤差和進入同步的時間為分別為0.32 mm和15.1 ms；最大誤差相比于優(yōu)化前降低了36.0%，進入同步的時間相對于優(yōu)化前提高了60.5%。斜坡信號中的JITAE由3.37×10-8下降為 3.44×10-9，下降了約 89.79%；超調(diào)量σ由優(yōu)化前的19.1%下降到了13.4%，下降了約29.8%。可以看出，采用多目標粒子群優(yōu)化方法對本文魯棒控制的控制參數(shù)的優(yōu)化，有效降低了斜坡信號中的JITAE和超調(diào)量σ，提高了控制器的穩(wěn)定性。

圖9 斜坡跟蹤優(yōu)化前后對比Fig.9 Comparison before and after slope tracking optimization

4 結(jié)論

提出一種以系統(tǒng)控制器參數(shù)為優(yōu)化變量，優(yōu)化目標同時包括靜態(tài)性能指標與動態(tài)性能指標：系統(tǒng)ITAE準則，正弦信號跟蹤下的相移量，階躍信號下的超調(diào)量；采用MOPSO對控制參數(shù)進行優(yōu)化；求解Pareto前沿；利用pearson相關(guān)系數(shù)分析法控制參數(shù)與控制系統(tǒng)性能的相關(guān)系數(shù)矩陣；最后結(jié)合相關(guān)系數(shù)矩陣選擇最終控制參數(shù)最優(yōu)解，可提高控制參數(shù)調(diào)節(jié)的效率，降低控制器設計開發(fā)時間，具有一定的工程應用價值。

通過對優(yōu)化后的控制參數(shù)進行試驗驗證，電磁直線執(zhí)行器控制系統(tǒng)中JITAE下降了約79.9%；階躍信號下超調(diào)量σ下降了約95.2%；正弦跟蹤下相移量S下降了約79.7%。試驗結(jié)果表明，優(yōu)化后的控制參數(shù)能充分利用控制器的魯棒性，提高電磁直線執(zhí)行器動態(tài)響應特性，較好的滿足控制要求，驗證了優(yōu)化的有效性與適應性。