【摘 要】 針對高中數(shù)學(xué)概念的抽象性，教師通過深度教學(xué)，促使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，牢固掌握概念，靈活運用概念，指引學(xué)生從“淺層學(xué)習(xí)”走向“深度學(xué)習(xí)”.以滬教版新教材“事件的獨立性”為例，闡述基于深度學(xué)習(xí)如何優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué).

【關(guān)鍵詞】 深度學(xué)習(xí);概念教學(xué);事件的獨立性

1 深度學(xué)習(xí)對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反應(yīng)形式，是數(shù)學(xué)知識的“細(xì)胞”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確提出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）;提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）[1].章建躍指出：數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是概念教學(xué)，讓學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題的習(xí)慣;加強概念的聯(lián)系性，使學(xué)生學(xué)會從概念的聯(lián)系中尋找解題方法[2]. 因此概念教學(xué)是學(xué)生落實“四基”，提高“四能”的基礎(chǔ)，是提升數(shù)學(xué)思想、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、落實核心素養(yǎng)的基石.

“深度學(xué)習(xí)”是指“學(xué)習(xí)者能動地參與教學(xué)的總稱”，即通過學(xué)習(xí)者能動地學(xué)習(xí)，培育囊括了認(rèn)知性、倫理性、社會性能力，以及教養(yǎng)、知識、體驗在內(nèi)的通用能力[3].針對高中大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的抽象性，教師通過深度教學(xué)，促使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，牢固掌握概念，靈活運用概念，進(jìn)而學(xué)生的學(xué)習(xí)從“淺層學(xué)習(xí)”走向“深度學(xué)習(xí)”.通過教師深度教學(xué)，學(xué)生深度參與課堂活動，使學(xué)生將既有知識與經(jīng)驗鏈接起來.關(guān)注邏輯與推理，發(fā)展批判性思維，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，促進(jìn)核心素養(yǎng)的落實.

基于高中數(shù)學(xué)概念的抽象性，教師需要深度研究課標(biāo)、教材與學(xué)情，創(chuàng)設(shè)合適的情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握概念的本質(zhì).以下是筆者整理的概念教學(xué)設(shè)計的一般流程圖（見圖1），可以為一線教師的實踐探索提供有價值的、可參考借鑒的范式.

2 借助情景教學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)

在理論的指導(dǎo)下，結(jié)合教學(xué)實踐，以滬教版新教材中“事件的獨立性”為例，闡述如何借助情景優(yōu)化概念教學(xué)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).2.1 教材及學(xué)情分析

本節(jié)課是滬教版新教材必修三“概率初步”中“隨機(jī)事件的獨立性”的第二課時，主要內(nèi)容是事件的獨立性.本章是概率的初步，借助實際情景，讓學(xué)生深刻理解如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界.本節(jié)課在學(xué)生掌握了隨機(jī)現(xiàn)象與樣本空間、古典概率、頻率與概率的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷用集合語言表示事件的過程，進(jìn)一步研究事件的獨立性，將直覺與理論緊密結(jié)合，逐步理解概率的思想，重視對概率空間的認(rèn)識，重視數(shù)學(xué)模型的建立.依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，遵循從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，借助古典概型定義下的概率，得到相互獨立的兩個事件的概率與交事件概率間的關(guān)系，并為后面條件概率和二項分布的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課的授課對象是高二美術(shù)班學(xué)生，他們大部分學(xué)習(xí)積極努力、態(tài)度端正、想象力豐富，但是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，思維方式較固定，對概率的學(xué)習(xí)有畏懼感，這些都可能對本節(jié)課的教學(xué)產(chǎn)生影響. 2.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解事件獨立的定義，并能運用兩個事件相互獨立的充要條件判斷兩個事件是否獨立;

（2）掌握隨機(jī)事件獨立的性質(zhì)，會利用事件的獨立性解決較復(fù)雜的概率問題，感受事件的獨立性在實際生活中的應(yīng)用;

（3）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，滲透分類思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納的能力，提升分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2.3 教學(xué)過程2.3.1 情景建模 復(fù)習(xí)舊知問題1 拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，用A，B分別表示事件“甲正面朝上”與“乙正面朝上”，試判斷：1.事件A與B獨立嗎？2.試求甲乙都是正面朝上的概率.

師：我準(zhǔn)備了兩枚硬幣，現(xiàn)在請同學(xué)甲、乙分別拋擲這兩枚硬幣，感受事件A與B獨立嗎？

生1：通過兩位同學(xué)的演示，可直觀感知事件A與B獨立.

生2：從概率的角度來看，通過兩個事件獨立的定義去判斷，若P（A∩B）=P（A）P（B），則事件A與B相互獨立.P（A）=12，P（B）=12，而P（A∩B）=14，所以事件A與B相互獨立.師：大家能否回憶一下我們上節(jié)課所學(xué)的獨立隨機(jī)事件的定義？

生3：兩個事件A與B相互獨立是指它們同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生概率的乘積，即P（A∩B）=P（A）P（B）.

師：判斷兩個事件獨立的充要條件是什么？

生4：事件A與B（相互）獨立P（A∩B）=P（A）P（B）.

師：回憶如果事件A與B獨立，則事件與B什么關(guān)系？事件A與呢？事件與呢？

生5：如果事件A與B相互獨立，則事件與B相互獨立;同理可知事件A與相互獨立，事件與相互也獨立.

問題2 如果A，B是獨立事件，，分別是A，B的對立事件，那么以下等式不一定成立的是（? ）.

A.P（A∩B）=P（A）P（B）B.P（∩B）=P（）P（B）

C.P（A∪B）=P（A）+P（B）D.P（∩）=[1-P（A）][1-P（B）]

生6：如果事件A與B獨立，則事件與B獨立;事件A與獨立，事件與也獨立，利用兩個事件獨立的充要條件即可判斷選項A，B，D正確，而選項C是兩個事件互斥的性質(zhì).設(shè)計意圖 通過熟悉的獨立隨機(jī)事件，直觀感知事件A與B是獨立的，而需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛?，必須通過事件獨立的定義，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.教師引導(dǎo)，學(xué)生復(fù)習(xí)回憶上節(jié)課所學(xué)的知識，并通過問題1、2讓學(xué)生加深理解兩個事件獨立的充要條件、對立事件的性質(zhì)、互斥事件的性質(zhì)、事件獨立性的性質(zhì).滲透類比思想，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.3.2 概念辨析 深度研究

例1 判斷下列事件A與B是否相互獨立？

（1）從一副去掉大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌，用A，B分別表示事件“取得的牌面數(shù)是10”與“取得的牌的花色是紅桃”;

生7：該題無法直觀感知兩個事件是否相互獨立，只能嚴(yán)格依據(jù)事件獨立性的充要條件去判斷.P（A）=452=113，P（B）=1352=14，而P（A∩B）=152，所以A，B相互獨立.

（2）擲一顆骰子，用A，B分別表示事件“結(jié)果是偶數(shù)”“結(jié)果是奇數(shù)”;

生8：事件A與B不可能同時發(fā)生，P（A∩B）=0，而P（A）=12，P（B）=12，因此P（A∩B）≠P（A）P（B），所以A與B不獨立.

問題3 P（A∩B）=0，事件A與B是什么關(guān)系？互斥事件與對立事件一樣嗎？互斥事件與獨立事件一樣嗎？

生9：P（A∩B）=0，所以事件A與B是互斥的.該問題中的事件A與B不僅是互斥事件還是對立事件.互斥事件與對立事件、互斥事件與獨立事件是完全不同的概念.

問題4 互斥事件與獨立事件在哪些方面不同？

生10：從定義來看：互斥事件是兩個不可能同時發(fā)生的事件，而獨立事件是指事件A是否發(fā)生不受事件B的影響;從性質(zhì)來看：事件A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），事件A與B相互獨立，則P（A∩B）=P（A）P（B）.

（3）擲一顆骰子，事件A表示“結(jié)果是2”，事件B表示“結(jié)果是有理數(shù)”;

生11：P（A）=16，P（B）=1，P（A∩B）=16，則P（A∩B）=P（A）P（B），所以A，B相互獨立.問題5 P（B）=1，事件B是什么事件？

眾生：事件B為必然事件.

（4）擲一顆骰子，事件A表示“結(jié)果是奇數(shù)”，事件B表示“結(jié)果是虛數(shù)”.

生12：P（A）=12，P（B）=0，P（A∩B）=0，則P（A∩B）=P（A）P（B），所以A，B相互獨立.

問題6 P（B）=0，事件B是什么事件？

眾生：事件B為不可能事件.

問題7 依據(jù)上面的兩題，能否猜想出必然事件和不可能事件與其他事件的關(guān)系？

生13：必然事件Ω和不可能事件與任何事件都是相互獨立的.設(shè)事件A為任意事件，因為Ω∩A=A，P（Ω）=1，所以P（Ω∩A）=P（A）=1·P（A）=P（Ω）P（A），即事件A與Ω獨立，同理可知不可能事件與任何事件也獨立.

問題8 你能舉出生活中有關(guān)事件相互獨立的例子嗎？

眾生討論，選代表回答.

代表1：學(xué)生甲與學(xué)生乙能否考上大學(xué)相互獨立;考生的英語成績與數(shù)學(xué)成績相互獨立;學(xué)生甲與乙是否遲到相互獨立等.設(shè)計意圖 借助生活中的例子，加強概率與實際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價現(xiàn)實中的事件是否相互獨立，設(shè)計一連串層層遞進(jìn)的問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與參與度.問題8讓學(xué)生舉出生活中獨立性的例子，體會獨立性的意義，培養(yǎng)實事求是的科學(xué)態(tài)度，同時增加學(xué)生間的交流合作，感受團(tuán)隊合作的重要性，讓學(xué)生真正參與到課堂中.2.3.3 概念深化類比推廣

問題9 甲、乙兩名同學(xué)同時做同一個實驗，甲成功的概率為0.8，乙成功的概率為0.9，甲和乙之間互不影響，求兩人都成功的概率.

問題10 甲、乙、丙三名同學(xué)同時做同一個實驗，甲成功的概率為0.8，乙成功的概率為0.9，丙成功的概率為0.7，甲、乙、丙之間互不影響. 請嘗試猜想三人都成功的概率.

生14：猜想甲、乙、丙三人都成功的概率是0.504.

探究1：兩個事件A與B相互獨立，則P（A∩B）=P（A）P（B）;如果三個事件A，B，C相互獨立，P（A），P（B），P（C）與P（A∩B∩C）是否有關(guān)系？如果三個事件A，B，C兩兩獨立，P（A），P（B），P（C）與P（A∩B∩C）是否有關(guān)系？

生15：類比事件A與B相互獨立P（A∩B）=P（A）P（B），可知如果三個事件A，B，C相互獨立，P（A∩B）=P（A）P（B），P（A∩C）=P（A）P（C），P（B∩C）=P（B）P（C），P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C）.

生16：三個事件兩兩獨立，不一定有P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C）.

師：兩位同學(xué)回答的非常棒，設(shè)樣本空間Ω={1，2，3，4}含有等可能的樣本點，A={1，2}，B={1，3}，C={1，4}，我們?nèi)菀椎玫絇（A∩B）=P（A）P（B），P（A∩C）=P（A）P（C），P（B∩C）=P（B）P（C），但P（A∩B∩C）≠P（A）P（B）P（C）.

探究2：如果n個事件A1，A2…An相互獨立，P（A1），P（A2）…P（An）與P（A1∩A2…∩An）是否有關(guān)系？

生17：類比推廣，如果n個事件A1，A2，…，An（n≥3）相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的乘積，即P（A1∩A2…∩An）=P（A1）P（A2）…P（An），且上式中任何一個或幾個事件Ai換成其對立事件Ai后等式仍然成立.

設(shè)計意圖 借助熟悉的學(xué)習(xí)生活中的問題，讓學(xué)生更加直觀感知獨立性在現(xiàn)實中的應(yīng)用.由兩個事件的獨立性，大膽猜想三個事件相互獨立，會有怎樣的結(jié)論，更進(jìn)一步猜想，如果n個事件相互獨立，會有怎樣的結(jié)論.通過具體的例子讓學(xué)生感知三個事件兩兩獨立與三個事件相互獨立是完全不同的，鼓勵學(xué)生大膽想象，積極主動發(fā)言，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力、語言表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維，同時滲透類比、特殊到一般的思想，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).2.3.4 概念應(yīng)用明確外延

例2 甲、乙兩人的罰球投中率分別是p與q，兩人各投籃一次，求：

（1）都投中的概率;（2）都沒投中的概率;（3）至少一人投中的概率;（4）至多一人投中的概率.

師：設(shè)事件A為甲命中，事件B為乙命中，事件C為都命中，事件D為都沒命中，事件E為至少一人命中，事件F為至多一人命中，則

生18：P（C）=P（A）P（B）=pq，P（D）=P（）P（）=（1-p）（1-q）;

問題11 事件E包括哪些樣本點？事件F包括哪些樣本點？

生19：事件E=（∩B）∪（A∩）∪（A∩B），事件F=（∩B）∪

（A∩）∪（∩），而且這些事件互斥，所以滿足概率的加法公式.

生20：P（E）=P（∩B）+P（A∩）+P（A∩B）=（1-p）q+p（1-q）+pq.

P（F）=P（∩B）+P（A∩）+P（∩）=（1-p）q+p（1-q）+（1-p）（1-q）.

師：還有其他的解法嗎？大家有不同的做法可以通過投影展示出來.

生21（展示）：正難則反，所以可以用事件E，F(xiàn)的對立事件去求解，

=∩，=A∩B.

P（E）=1-P（∩）=1-P（）P（）=1-（1-P）（1-q）;

P（F）=1-P（A∩B）=1-P（A）P（B）=1-pq.

生22（展示）：老師，我還有一種解法，因為“至少一人投中”，所以E=A∪B，“A，B兩個事件至少有一個發(fā)生”的否定是“A與B都沒發(fā)生”，即A∪B=∩.

P（E）=P（A∪B）=1-P（A∪B）=1-P（A∩B）=1-（1-P）（1-q）.

師：這位同學(xué)的想法非常好，本章通過集合的觀點定義了隨機(jī)事件，將事件與集合相對應(yīng)，借助已有的集合知識和語言，有利于同學(xué)們對概率的理解和掌握.在集合學(xué)習(xí)時，我們介紹過摩根定律，即A∪B=∩，A∩B=∪，這個定律同樣適用于概率論的學(xué)習(xí).因為事件的關(guān)系就是樣本空間相應(yīng)子集的關(guān)系，事件的運算就是相應(yīng)子集的運算，兩者是相互對應(yīng)的.

例3 A，B兩人下棋，每局兩人獲勝的可能性一樣.某一天兩人要進(jìn)行一場三局兩勝的比賽，最終勝者獲得100元獎金.第一局比賽A勝，后因為有其它要事而終止比賽.試問：怎么分100元獎金才公平？

師：大家討論一下如何分配獎金比較公平？歷史上許多的數(shù)學(xué)家都考慮過這個問題，比如費馬、帕斯卡等，并由此開啟了概率論的研究.

代表2：直觀感覺應(yīng)該按四六分，因為感覺三七分不公平.

代表3：按最終獲勝的可能性大小比例分配.

師：我們從概率的角度研究怎么分獎金公平？看哪位代表回答的正確.

代表4：將每次比賽A獲勝記作事件A，B獲勝記作事件B，假設(shè)比賽可以繼續(xù)進(jìn)行，該試驗的樣本空間通過枚舉法列出：Ω={AAA，AAB，ABA，ABB}，按照古典概型的概率計算公式可知，A最終獲勝的概率為34，B最終獲勝的概率為14，因此A，B兩人應(yīng)該按3∶1來分.

代表5：在實際比賽中，如果A再贏一局，比賽結(jié)束.如果第二局A輸，再比第三局，這就不是古典概率模型，但由于比賽各局的勝負(fù)之間是獨立的，所以可以借助事件的獨立性解決.設(shè)A表示事件“A最終獲勝”，A1表示事件“接下去第一局A勝”;A2表示事件“接下去第二局A勝”，A=A1∪A1∩A2，所以P（A）=P（A1）+PA1∩A2=12+12×12=34.因此A，B兩人應(yīng)該按3∶1來分.

設(shè)計意圖 通過綜合性題目，鞏固學(xué)生對事件獨立性概念的理解.例2中“至多至少問題”，需要學(xué)生有分類意識，同時讓學(xué)生深刻體會正難則反，利用對立事件的計算公式求解，為求解較復(fù)雜概率問題提供一個范例.例3解決本章第一節(jié)提出的兩位法國數(shù)學(xué)家對賭徒提出的分獎金問題的討論，是概率論的起源，滲透數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)生通過自己的討論，總結(jié)不是古典概型問題如何借助事件的獨立性去解決.例題的學(xué)習(xí)滲透了分類的思想、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

2.3.5 課堂練習(xí)檢測概念擲黑、白兩顆骰子.

（1）若用A，B分別表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”與“白色骰子的點數(shù)是1”，驗證A，B是獨立的;

（2）若用A，B分別表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”與“兩顆骰子中至少有一顆的點數(shù)是1”，驗證A，B不是獨立的.

設(shè)計意圖 考查在科學(xué)的情境下，學(xué)生能否正確判斷事件的獨立性，及時檢測數(shù)學(xué)概念的掌握情況，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).2.3.6 深度小結(jié)評價學(xué)習(xí)

本節(jié)課學(xué)到了哪些知識？用到了哪些數(shù)學(xué)思想？提升了哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng)？

生23：知識：事件A與B相互獨立P（A∩B）=P（A）P（B）;如果事件A與B相互獨立，則事件與B相互獨立，事件A與相互獨立，事件與也相互獨立.

思想方法：特殊到一般的思想、分類思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想等.

核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等.

設(shè)計意圖 學(xué)生獨立總結(jié)有利于檢測是否掌握了本節(jié)的知識，是否理解本節(jié)課所用到的數(shù)學(xué)思想方法，有利于對本節(jié)知識的整體理解，提升學(xué)生歸納總結(jié)的能力，讓學(xué)生在做中學(xué).

3 總結(jié)與反思

針對抽象的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，教師設(shè)置基于學(xué)情和教材的問題串啟發(fā)學(xué)生獨立思考、合作學(xué)習(xí)并深入探究，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展過程.讓知識由靜態(tài)轉(zhuǎn)化成動態(tài)，由孤立轉(zhuǎn)化成系統(tǒng)，激活學(xué)生對知識的深入理解和深度記憶，激發(fā)其深度學(xué)習(xí)的興趣，最終提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng). 通過實踐與研究提煉出概念教學(xué)的范式（見圖2）.

參考文獻(xiàn)

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[4] 潘超.數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)須“五理解”——以人教版“一次函數(shù)”為例[J].數(shù)學(xué)通報，2021，60（04）：2529.

作者簡介 徐利花（1986—），女，山西大同人，碩士研究生，中教一級;主要研究數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué).