陸婭君 袁濤 張和平

【摘 要】 “閱讀材料”是開展探究性學(xué)習(xí)的重要素材，文章基于“雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”內(nèi)容開展教學(xué)并作出反思：將“閱讀材料”融入課堂教學(xué)中，有利于數(shù)學(xué)思想方法的滲透、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和探究問題的能力.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教科書;閱讀材料;雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，教學(xué)活動(dòng)不應(yīng)只限于講授和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式[1].教材中的“閱讀材料”體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的彈性，符合不同層次學(xué)生的發(fā)展，幫助學(xué)生掌握正文的內(nèi)容，并能促使學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和探究問題的能力.數(shù)學(xué)教材中“閱讀材料”不應(yīng)該是被教學(xué)遺忘的角落，而應(yīng)該成為教學(xué)改革的試驗(yàn)田[2].但在實(shí)際教學(xué)中，由于其不屬于考試范圍，大部分教師把它們當(dāng)作學(xué)生課外學(xué)習(xí)的內(nèi)容，不予以重視，忽略了“閱讀材料”的教學(xué)價(jià)值和育人功能.本文以新人教A版高中數(shù)學(xué)教科書“閱讀材料”中“雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”為例，談?wù)剬?duì)閱讀材料的使用與思考.

1 案例分析

1.1 依托教材，創(chuàng)設(shè)情境

床頭燈是利用燈泡照射，通過反射鏡反射而散發(fā)出光的一種裝置.燈罩不需要連接電源，上面裝有能旋轉(zhuǎn)的反射鏡，反射鏡的形狀是雙曲面，利用這樣的裝置就能散發(fā)出光了（如圖1）.通過燈泡所在位置的縱截面，可以得到圖1的縱截面圖，如圖2所示.

師：利用床頭燈照射的原理是什么？

生：因?yàn)榍嫘偷姆瓷溏R將光線散發(fā)出去了.

師：這個(gè)反射鏡的軸截面是一個(gè)怎樣的圖形？燈泡應(yīng)該位于哪個(gè)特殊的位置？

生：可能是雙曲線的一支，燈泡位于雙曲線的焦點(diǎn)處.

設(shè)計(jì)意圖 依托“床頭燈照射”創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生分析其工作原理，進(jìn)而抽象出雙曲線模型，教師再結(jié)合雙曲線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行提問，將生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生直觀感受雙曲線中光波的反射規(guī)律與焦點(diǎn)有關(guān)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)的感知能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

1.2 閱讀發(fā)現(xiàn)，直觀驗(yàn)證

問題1 光的反射現(xiàn)象如果與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)，那么應(yīng)該遵循怎樣的反射規(guī)律？

在物理學(xué)中，焦點(diǎn)可以理解成是光線聚集的點(diǎn).把床頭燈裝置中反射鏡的軸截面抽象成雙曲線的一支，把燈泡抽象成雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，把光線抽象成直線，得到圖3.開啟燈泡電源時(shí)，床頭燈散發(fā)出了一束光線，實(shí)際上是由燈泡發(fā)出的.但從視覺效果上看，每一條光線就好像是從燈泡后面某個(gè)虛擬位置（即虛光源處）直接發(fā)出的，可以初步判定虛光源一定位于光線的反向延長線上.作出光線的反向延長線，得到虛光源F1，F(xiàn)1和燈泡所在位置F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，如圖4所示.圖4直觀地反映了光在雙曲線內(nèi)的反射規(guī)律：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣.

問題2 反射鏡面與雙曲線會(huì)有怎樣的位置關(guān)系？

由物理學(xué)的相關(guān)知識(shí)可得，反射鏡面與雙曲線的位置關(guān)系是相切的.

問題3 如何直觀地驗(yàn)證雙曲線中光的反射規(guī)律？

可以用幾何畫板直觀驗(yàn)證：首先找到雙曲線的一條切線，作為反射鏡面;連接點(diǎn)F2和切點(diǎn)P，F(xiàn)2P就可以作為一條入射光線;作出反射鏡面的法線PH之后，就需要觀察反射光線PM的反向延長線是否經(jīng)過點(diǎn)F1，如圖5所示.圖5???????? 圖6

問題4 用幾何畫板直觀演示當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MPH和F2PH會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？如圖6所示.MPH=F2PH時(shí)，也就說明反射光線的反向延長線經(jīng)過點(diǎn)F1.改變雙曲線的形狀，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角仍然相等.設(shè)計(jì)意圖 根據(jù)生活現(xiàn)象猜想出光在雙曲線內(nèi)的反射規(guī)律，再用幾何畫板直觀驗(yàn)證，嘗試建立文字與圖形的聯(lián)系，促使學(xué)生透過現(xiàn)象看數(shù)學(xué)本質(zhì).經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)抽象的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).

1.3 通過證明，深度探究

師：利用幾何畫板初步驗(yàn)證了光在雙曲線內(nèi)的反射規(guī)律，如何從數(shù)學(xué)的角度證明？

活動(dòng)：已知圓F1和定點(diǎn)F2（定點(diǎn)F2不在圓F1上），在圓F1上隨機(jī)取一點(diǎn)A，如圖7所示.如何通過紙片對(duì)折的方式來做出線段AF2的垂直平分線？

只需要讓點(diǎn)A和點(diǎn)F2重合即可，即對(duì)折兩個(gè)點(diǎn)，由此便得到一條折痕，將折痕用筆畫上顏色，如圖8所示.

一直重復(fù)此操作過程，將點(diǎn)A繞圓周一圈，你有什么發(fā)現(xiàn)？如圖9所示.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生動(dòng)手操作折紙活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、自主探究的能力;使學(xué)生在操作、觀察、猜想的過程中，逐漸領(lǐng)悟折痕所在直線與雙曲線的位置關(guān)系，自主構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu).通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象的過程，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象產(chǎn)生個(gè)性化的理解，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

師：折痕所在直線與雙曲線具有怎樣的位置關(guān)系？

通過折紙活動(dòng)發(fā)現(xiàn)折痕所在直線與雙曲線相切.

師：如果折痕所在直線l與雙曲線相切，那么直線l會(huì)作為一個(gè)什么圖形出現(xiàn)？

直線l會(huì)作為反射鏡面出現(xiàn)，但通過折紙活動(dòng)和幾何畫板的驗(yàn)證得到的“相切”是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，需要進(jìn)一步證明.

問題1 已知雙曲線的左焦點(diǎn)F1與圓的圓心重合，雙曲線的長軸長與圓的半徑相等即2a（a>0），點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，如何證明折痕所在直線l與雙曲線相切？

首先證明點(diǎn)P在雙曲線上.如圖10所示，直線PF1與l相交于點(diǎn)P;因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AF2的垂直平分線上，所以連接PF2，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PA|=|PF2|;根據(jù)等量替換可得：|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PA|=|AF1|=2a，又因?yàn)殡p曲線的長軸長為2a，所以點(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn).

師：點(diǎn)P既是雙曲線上的點(diǎn)，同時(shí)也處于線段AF2的垂直平分線上，那么也只能說明點(diǎn)P是直線l與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)一定是切點(diǎn)嗎？相交和相切最主要的區(qū)別是什么？

相交和相切最主要的區(qū)別是交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.如果要驗(yàn)證相切的情況，就需要驗(yàn)證點(diǎn)P是直線l與雙曲線唯一的交點(diǎn).

師：如何證明一個(gè)點(diǎn)的唯一性？

如圖11所示，在直線l上任取一個(gè)不與點(diǎn)P重合的點(diǎn)N.點(diǎn)N在線段AF2的垂直平分線上，所以滿足|NA|=|NF2|.因?yàn)辄c(diǎn)N與點(diǎn)P并不重合，故而點(diǎn)N、點(diǎn)F1、點(diǎn)A可構(gòu)成一個(gè)三角形，由三角形的性質(zhì)可得：|NF1|-|NA|<|AF1|.由等量替換即得|NF1|-|NF2|=|NF1|-|NA|<|AF1|=2a，據(jù)此可說明點(diǎn)N到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值小于2a，即點(diǎn)N在雙曲線外部.因此，直線l上有且只有一個(gè)點(diǎn)P在雙曲線上，所以直線l與雙曲線相切，點(diǎn)P是切點(diǎn).

問題2 已知雙曲線的左焦點(diǎn)F1與圓的圓心重合，雙曲線的長軸長與圓的半徑相等即2a（a>0），如圖12所示，求證：∠MPH=∠F2PH.圖12

因?yàn)橹本€l是線段AF2的垂直平分線，所以|CA|=|CF2|，∠ACP=∠F2CP=90°，|PC|=|PC|，據(jù)此可得△CAP≌△CF2P（SAS），即∠APC=∠F2PC.因?yàn)椤螦PC=∠MPD，由等量替換可得：∠F2PC=∠MPD.因?yàn)镻H⊥l，所以∠DPH=∠CPH，即可得∠MPH=∠F2PH.

據(jù)此可得雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣.設(shè)計(jì)意圖 利用幾何畫板與折紙活動(dòng)驗(yàn)證雙曲線的光學(xué)性質(zhì)還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，需從數(shù)學(xué)的角度證明折痕所在直線與雙曲線相切、∠MPH=∠F2PH，從而抽象出雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)的特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).借助圖形進(jìn)行證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

1.4 鞏固拓展，體驗(yàn)價(jià)值

問題1 在問題情境中，利用床頭燈散發(fā)出光時(shí)，為什么要將反射鏡設(shè)計(jì)成雙曲面的形狀？燈泡應(yīng)該位于哪個(gè)位置？為什么？

問題2 在反射式天文望遠(yuǎn)鏡的內(nèi)部，為什么要將副鏡設(shè)計(jì)成雙曲面的形狀？主焦點(diǎn)和成像焦點(diǎn)應(yīng)該位于哪個(gè)位置？為什么？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)情境內(nèi)容再次提問，幫助學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)，更加清晰地認(rèn)識(shí)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)在床頭燈中應(yīng)用的具體原理.通過相似問題，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固雙曲線的相關(guān)知識(shí)，感受“雙曲線的光學(xué)性質(zhì)”在生活中的廣泛應(yīng)用，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

2 對(duì)“閱讀材料”的思考

2.1 對(duì)案例的總結(jié)與反思

依托教材中“閱讀材料”并結(jié)合生活現(xiàn)象創(chuàng)設(shè)情境，由此引入課題和提出相關(guān)的探究問題，接著利用折紙活動(dòng)和幾何畫板驗(yàn)證雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng);再用數(shù)學(xué)方法證明性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)論證過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng);最后讓學(xué)生理解雙曲線的光學(xué)性質(zhì)在某些裝置中的應(yīng)用原理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).2.2 滲透數(shù)學(xué)思想方法

“閱讀材料”蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如“探究函數(shù)y=x+1x的圖象與性質(zhì)”中介紹了如何根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)圖象以及根據(jù)函數(shù)圖象探究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，其中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想;“集合中元素的個(gè)數(shù)”中介紹了根據(jù)具體實(shí)例的計(jì)算思路進(jìn)而推導(dǎo)出任意兩個(gè)有限集合的并集中元素個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想.教師應(yīng)當(dāng)深入剖析“閱讀材料”所蘊(yùn)含的思想方法，并合理運(yùn)用其進(jìn)行教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.2.3 培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

教材中“閱讀材料”的內(nèi)容與社會(huì)生活、科技生產(chǎn)等有著緊密的聯(lián)系.在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察生活，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).如“統(tǒng)計(jì)學(xué)在軍事中的應(yīng)用”讓學(xué)生了解到利用樣本估計(jì)總體能推斷出在二戰(zhàn)時(shí)期德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)目;“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”還介紹了手電筒發(fā)光和電影放映機(jī)的工作原理，感悟生活處處皆數(shù)學(xué).

2.4 培養(yǎng)探究問題能力

“閱讀材料”設(shè)置了“信息技術(shù)應(yīng)用”專題，其目的是希望教師嘗試?yán)镁W(wǎng)絡(luò)資源開展基于信息技術(shù)的教學(xué).在運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件探究問題的過程中，學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、獨(dú)立驗(yàn)證等過程，能培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力.如“概率分布圖及概率計(jì)算”“探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”“利用信息技術(shù)制作三角函數(shù)表”等，都是可以借助信息技術(shù)進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的素材.

教材中“閱讀材料”蘊(yùn)含著豐富的教育功能，教師應(yīng)當(dāng)主動(dòng)挖掘這些資源，進(jìn)行再創(chuàng)造、再組織，應(yīng)用到課堂教學(xué)中，讓學(xué)生在此過程中感受數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：8283.

[2] 宋磊.重視教材閱讀材料 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——閱讀材料“橢圓的一種應(yīng)用”引發(fā)的探究課[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（10）：2124.

作者簡(jiǎn)介 陸婭君（1997—），女，貴州遵義人，貴州師范大學(xué)碩士研究生;主要研究數(shù)學(xué)教育.袁濤（1994—），男，貴州遵義人，貴州師范大學(xué)碩士研究生;主要研究數(shù)學(xué)教育.

張和平（1974—），男，貴州從江人，博士，凱里學(xué)院理學(xué)院教授;主要研究數(shù)學(xué)教育與測(cè)量.