沈岳夫

[摘? 要] 旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，以其為基礎(chǔ)命制的綜合題一般會(huì)以壓軸題的形式出現(xiàn)，此類(lèi)問(wèn)題具有圖形復(fù)雜、形式多樣、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn). 因此，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行剖析和方法總結(jié)就顯得格外重要. 文章以兩類(lèi)旋轉(zhuǎn)綜合題為例展開(kāi)探索，借助“旋轉(zhuǎn)”本質(zhì)，通過(guò)合理的構(gòu)圖，化無(wú)序?yàn)橛行?、化隱為顯，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 旋轉(zhuǎn)問(wèn)題;挖掘模型;中考試題

綜觀2020年各地的中考試卷，有兩類(lèi)旋轉(zhuǎn)型的中考題引起筆者的注意，這些試題雖然以熟悉的幾何圖形為背景，但思維含量高、難度大，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，涉及的知識(shí)面廣，成為整卷的拉分題. 那么如何化解，如何識(shí)別隱藏的模型，如何化陌生為熟悉等，筆者特以兩類(lèi)有代表性的中考試題為例，對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)剖析，望能對(duì)教學(xué)有所啟迪和幫助.

全等旋轉(zhuǎn)藏等腰，等角定弦圓相助

例1 （2020年湖北十堰24題）如圖1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，點(diǎn)D在AB上，連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F.

（1）猜想：線段AF與EF的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____;

（2）探究：若將圖1的△EBD繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)∠CBE小于180°時(shí)，得到圖2，連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明;若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）拓展：圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CB，垂足為點(diǎn)G. 當(dāng)∠ABC的大小發(fā)生變化，其他條件不變時(shí)，若∠EBG=∠BAE，BC=6，直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng).

解析 （1）答案應(yīng)為：AF=EF.

（2）AF=EF仍然成立，理由如下：

1. 輔“直”解法

思路1：如圖3，分別過(guò)點(diǎn)A，E作AM⊥CF，EN⊥CF，垂足分別為M，N. 由旋轉(zhuǎn)可知AC=DE，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC，于是∠ACD=∠EDN. 接著證明△AMC≌△END，可得AM=EN，進(jìn)而再證△AMF≌△ENF，所以AF=EF.

思路2：如圖4，延長(zhǎng)DF到G，并使FG=DC，連接GE.由旋轉(zhuǎn)可知AC=DE，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC，于是∠ACD=∠EDG. 接著證明△ACF≌△EDG，于是AF=EG，進(jìn)而由∠DGE=∠CFA=∠EFG得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF.

2. 輔“曲”解法

思路3：如圖5，由旋轉(zhuǎn)可知BC=BD，BA=BE，且∠CBD=∠ABE，可得∠BCD=∠BAE. 連接BF，則B，C，A，F(xiàn)“四點(diǎn)共圓”，由于∠ACB=90°，所以AB是直徑. 進(jìn)而可知∠AFB=90°，所以AF=EF.

（3）AB的長(zhǎng)為12或6（-1）. 分兩種情況討論：

當(dāng)AC>BC，如圖6，由旋轉(zhuǎn)可知BA=BE，所以∠BEA=∠BAE=∠EBG. 于是可證四邊形AEGC為矩形，進(jìn)一步可證∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，所以AB=2BC=12.

當(dāng)BC>AC，如圖7，由旋轉(zhuǎn)可知BA=BE，所以∠BEA=∠BAE=∠EBG. 于是可證△BAE∽△HBE，進(jìn)一步可證∠AHC=∠ABC=∠EBD=36°，于是△HBE是黃金三角形，點(diǎn)A是黃金分割點(diǎn)，所以==，即=. 所以AB=6（-1）.

解題反思 證明兩條線段相等，最常用的方法是證明線段所在的三角形全等. 如本題第（1）（2）兩小題，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=DE，∠ACD=∠EDF，所以以此為切口展開(kāi)聯(lián)想，比如圖3是基于AC=DE，∠ACB=∠EDB=90°構(gòu)造三角形全等，圖4是基于AC=DE，∠ACD=∠EDF構(gòu)造三角形全等，圖5是基于∠BCD=∠BAE構(gòu)造“輔助圓”等，其中圖5的構(gòu)造（輔“曲”解法）是另辟蹊徑，簡(jiǎn)單明了，對(duì)解題起到事半功倍的效果;第（3）小題是以思維為經(jīng)絡(luò)，以運(yùn)算為骨骼進(jìn)行了一次有機(jī)的結(jié)合，需要學(xué)生領(lǐng)悟已搭建起的橋梁，借此問(wèn)順勢(shì)而為，可通過(guò)分類(lèi)構(gòu)造出圖6（矩形）、圖7（黃金等腰三角形）的特殊圖形，進(jìn)而類(lèi)比探求.

類(lèi)題鞏固 （2019年福建莆田24題）如圖8，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<90°），連接BD，設(shè)BD的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F.

（1）如圖9，當(dāng)α=45°時(shí)，求證：CF=EF;

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

①問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論;

②連接CD，當(dāng)△CDF為等腰直角三角形時(shí)，求tan的值.

解法提示 第2問(wèn)中的第①小問(wèn)比例1更特殊，是典型的等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，應(yīng)充分利用45°角的“特殊功能”，借助平行線、全等三角形、等腰三角形、圓等圖形的諸多性質(zhì)，添加不同的輔助線助力解題，因而可仿照例1提供的方法解決問(wèn)題;第②小問(wèn)，可秉承相關(guān)思路和解法，抓住∠BFC=∠BAC=45°（用“輔曲解法”推知）的這一隱含信息，勾畫(huà)出∠CDF=90°或∠FCD=90°的相關(guān)圖形，進(jìn)而分類(lèi)探求出tan=或.

相似旋轉(zhuǎn)伴中點(diǎn)，巧借中點(diǎn)來(lái)破解

例2 （2020年遼寧葫蘆島25題）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC<CD，將△BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AB，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，連接DO，EO.

（1）如圖10，當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到CD邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DO與EO的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;

（2）如圖11，當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）若BC=4，CD=2，在△BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OD的長(zhǎng).

解析 （1）答案應(yīng)為： DO⊥EO，DO=EO.

（2）由第（1）問(wèn)的特殊性、直觀性，要悟出解題的真諦，找準(zhǔn)“中點(diǎn)”的生長(zhǎng)點(diǎn)，如等腰三角形遇中點(diǎn)——三線合一;直角三角形遇中點(diǎn)——斜中線定理;中點(diǎn)遇中點(diǎn)——中位線定理;中線倍長(zhǎng)法等，就此題而言，當(dāng)我們看到圖12時(shí)（P是AB的中點(diǎn)），你會(huì)怎么處理？

我們是不是不由自主地想要讓它變成圖13（構(gòu)造DP=CP，使P為CD的中點(diǎn)）或圖14（構(gòu)造CD=BC，使C為BD的中點(diǎn)）？當(dāng)解題的思路理清了，解答第（1）（2）兩問(wèn)的方法就明了了.

思路1：如圖15，延長(zhǎng)EO到點(diǎn)M，使OM=OE，連接AM，DM，DE，由題意可證△OAM≌△OBE，進(jìn)一步可得∠MAD=90°=∠ECD，然后可證△DAM≌△DCE，于是∠MDE=90°，即可證明DO⊥EO，DO=EO成立.

思路2：如圖16，延長(zhǎng)EB交AD于點(diǎn)F，于是可證四邊形CEFD為矩形，進(jìn)而可證△OFD≌△OBE，即可證明DO⊥EO，DO=EO成立.

思路3：如圖17，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD，與DO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接EF，DE，則△OAD≌△OBF，進(jìn)而可證△EBF≌△ECD，即可證明DO⊥EO，DO=EO成立.

（3）OD的長(zhǎng)為2或2. 分兩種情況討論：

當(dāng)CB與CD在AC的同側(cè)時(shí)，如圖18，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使DG=AD，連接BG，GC，則OD是△ABG的中位線.過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CG，垂足為點(diǎn)F.由題意知∠BCF=30°，而GC=4，于是進(jìn)一步可得BG=BC=4，所以O(shè)D=BG=2.

當(dāng)CB與CD在AC的異側(cè)時(shí)，如圖19，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使DG=AD，連接BG，GC，則OD是△ABG的中位線. 過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CG，垂足為點(diǎn)F. 由題意知∠BCF=30°，而GC=4，于是進(jìn)一步可得BG=4，所以O(shè)D=BG=2.

解題反思 此題立足于中點(diǎn)的暢想進(jìn)行施策構(gòu)圖，如圖15基于構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)三角形全等來(lái)證明，圖16基于斜中線定理的角度思考問(wèn)題，圖17基于∠DAO=∠OBF=45°，進(jìn)而構(gòu)造“手拉手”三角形全等來(lái)解決問(wèn)題，因而善于捕捉信息、抽象和歸類(lèi)建模是解決問(wèn)題的關(guān)鍵;第（3）小題峰回路轉(zhuǎn)，難度增大，需要將解題過(guò)程中得到的方法、策略和思想進(jìn)行內(nèi)化，這就需要考生有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力、良好的構(gòu)圖意識(shí).由此可見(jiàn)，通過(guò)輔助線的添加激活已知條件，揭示問(wèn)題本質(zhì)，體會(huì)到數(shù)的精準(zhǔn)、形的靈動(dòng)，解法多樣，精彩紛呈.真所謂“腦中有中點(diǎn)，心中有模型”，解法自然來(lái).

類(lèi)題鞏固 （2019年遼寧·沈陽(yáng)卷）思維啟迪：

（1）如圖20，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接BC，取BC的中點(diǎn)P（點(diǎn)P可以直接到達(dá)A點(diǎn)），利用工具過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得CD=200米，那么A，B間的距離是__________米.

思維探索：

（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，∠ACB=∠AED=90°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊上時(shí)△ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，連接PC，PE.

①如圖21，當(dāng)△ADE在起始位置時(shí)，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是__________;

②如圖22，當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

③當(dāng)α=150°時(shí)，若BC=3，DE=1，請(qǐng)直接寫(xiě)出PC2的值.

解法提示 對(duì)于第（2）小題的①②問(wèn)可分別構(gòu)造出圖23、圖24，具體過(guò)程留給讀者思考.

③如圖25，作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE，CF，過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.由②可得△FBP≌△EDP，而在五邊形ACBDE中，易求得∠CBP+∠PDE=210°，進(jìn)而求得∠CBF=150°=∠CAE，于是證得△FCE是等腰直角三角形. 在Rt△AHE中，∠EAH=30°，AE=DE=1，則HE=，AH=，于是CH=3+，則EC2=CH2+HE2=10+3，所以PC2=EC2=. 由此看出，這種“補(bǔ)形”策略，是通過(guò)對(duì)題目的深入分析，或聯(lián)想，或轉(zhuǎn)化，挖掘知識(shí)模塊蘊(yùn)含的思想方法，是一種經(jīng)驗(yàn)的“噴薄”. 讓人不禁感嘆，幾何構(gòu)造之神奇，探索無(wú)止境.

綜上，通過(guò)對(duì)上述旋轉(zhuǎn)型中考試題的研究，筆者得到了一些啟發(fā)：當(dāng)遇到一個(gè)難題，我們應(yīng)該努力從已知條件中尋找通往未知的橋梁（輔助線、方法技巧），針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行巧妙而準(zhǔn)確的構(gòu)圖. 通過(guò)構(gòu)圖可以找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的多種途徑，搭建培養(yǎng)創(chuàng)新思維的絢麗舞臺(tái)，認(rèn)清各條件之間的聯(lián)結(jié)紐帶，呈現(xiàn)簡(jiǎn)明、形象的解題過(guò)程. 因此，在幾何教學(xué)中，教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與歸納典型問(wèn)題的分析思路、解題方法及模型建構(gòu)，幫助學(xué)生整理并形成相應(yīng)的解題策略;另一方面也要鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展解后反思，使學(xué)生在解題中做到“思”之有形，“做”之有圖，“解”之有道，不斷提煉、積累解題方法，將所學(xué)的知識(shí)和方法內(nèi)化吸收，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).