陳小紅

[摘 ?要] 以“任意角”的教學(xué)設(shè)計為例談數(shù)學(xué)教學(xué)情境的基本要求，即數(shù)學(xué)教學(xué)情境要：真實可信，簡明易懂，目的明確，反映本質(zhì)，系統(tǒng)連貫.

[關(guān)鍵詞] 任意角;數(shù)學(xué)情境;教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)教學(xué)情境越來越被廣大數(shù)學(xué)教師所重視，但在實際教學(xué)中往往會出現(xiàn)一系列的問題：如情境的可信度低，為了達(dá)到教學(xué)目的而人為編造一些假情境;情境紛繁復(fù)雜，難以讀懂;情境目的性和指向性不明，讓學(xué)生無法回答;情境過分地掩蓋數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，不能凸顯數(shù)學(xué)對象的重要特征;情境系統(tǒng)性不夠，教學(xué)主線不明，層次性不明顯等. 筆者以“任意角”的教學(xué)設(shè)計為例談?wù)剬?shù)學(xué)教學(xué)情境的一些基本要求的認(rèn)識.

教學(xué)設(shè)計

1. 問題情境

現(xiàn)實世界中的許多運動、變化都有著循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象，如地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)帶來的晝夜交替和四季變化、月亮的盈虧圓缺以及潮汐漲落，又如車輪旋轉(zhuǎn)、單擺運動、電流變化等. 面對生活中存在著的眾多周而復(fù)始現(xiàn)象，可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫這種變化規(guī)律呢？

師：這就是本章要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)模型.研究三角函數(shù)也是使用研究函數(shù)的一般“套路”，會經(jīng)歷怎樣的研究過程？

預(yù)設(shè)：（引導(dǎo)學(xué)生回答）研究函數(shù)一般經(jīng)歷研究函數(shù)的三要素（尤其是定義域與對應(yīng)法則）、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖像、函數(shù)的應(yīng)用等幾個重要的過程.

師：本章前2節(jié)內(nèi)容分別為任意角、弧度制，任意角的出現(xiàn)使角的范圍不受限制，弧度制的出現(xiàn)讓角的表示實數(shù)化，這為研究三角函數(shù)的定義域提供了知識保障.

設(shè)計意圖：開門見山，讓學(xué)生了解本章的概貌，進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基本步驟，明確學(xué)習(xí)本章前兩節(jié)內(nèi)容的目的.

問題1 初中我們學(xué)習(xí)過角的概念，初中階段是如何定義角的？初中階段學(xué)習(xí)了哪些角？

預(yù)設(shè)：平面內(nèi)，從一個端點引出兩條射線組成的圖形稱為角.初中階段學(xué)習(xí)了直角、平角、周角、銳角及鈍角.

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)初中的角的概念，為后面引發(fā)認(rèn)知沖突打下基礎(chǔ).

問題2 （借助于動畫描述）旋轉(zhuǎn)也可以產(chǎn)生角，如何用運動的觀念來定義角？

預(yù)設(shè)：一個角可以看作平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. 射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)的開始位置和終止位置分別稱為角的始邊和終邊（因為概念本身的需要，所以將原先的角的兩邊做了區(qū)分，即分為始邊與終邊）.

設(shè)計意圖：引入旋轉(zhuǎn)意義下的角的概念.

問題3的情境

將汽車的方向盤按逆時針或者順時針旋轉(zhuǎn)到底，稱為方向盤“打死”.駕校師傅常說：方向盤從正位向左（逆時針旋轉(zhuǎn)，下同）打一圈半可以把方向盤向左“打死”，從正位向右（順時針，下同）打一圈半可以把方向盤向右“打死”.

問題3.1 如圖2，方向盤從正位向左打半圈，方向盤的某個半徑OA逆時針旋轉(zhuǎn)了多少度？方向盤從正位向左打一圈半，方向盤某個半徑OA逆時針旋轉(zhuǎn)了多少度？兩次獨立操作之后，OA的位置一樣嗎？

設(shè)計意圖：提出這個問題有3個意圖. 意圖1，說明角的范圍需要從“量”上進(jìn)行擴充.旋轉(zhuǎn)意義下的角的大小不能由角的始邊和終邊決定，要看旋轉(zhuǎn)量，即初中學(xué)習(xí)的角的概念不能解決這些問題，需要“改進(jìn)”. 意圖2，第2小問的結(jié)果540°源于學(xué)生的直覺結(jié)果，即先逆時針旋360°，再逆時針旋轉(zhuǎn)180°，兩者“相加”所得. 此時并沒有定義超過360°的角，學(xué)生的直覺結(jié)果為角的加法的概念提供重要的感性素材. 意圖3，為軸線角的概念提供實例，也為終邊相同的角提供實例.

問題3.2 如圖3，方向盤從正位向左打一圈半，和從正位向右打一圈半，方向盤某個半徑OA旋轉(zhuǎn)的角一樣嗎？如果不一樣，如何區(qū)別它們？

設(shè)計意圖：提出這個問題有2個意圖. 意圖1，說明旋轉(zhuǎn)意義下的角的大小不能由角的始邊和終邊決定，不僅要看旋轉(zhuǎn)的量，還要看旋轉(zhuǎn)的方向.旋轉(zhuǎn)方向不同，角是有差別的. 因此，角的概念要區(qū)分旋轉(zhuǎn)方向的差異. 這也說明初中學(xué)習(xí)的角的概念需要進(jìn)一步“改進(jìn)”. 意圖2同問題3.1的意圖3.

2. 學(xué)生活動

（1）舉一些類似的例子說明角的推廣的必要性，如“時鐘的秒針2分鐘轉(zhuǎn)過多少角度？”“將螺絲釘旋松和旋緊，螺絲刀轉(zhuǎn)過多少角度？”等等.

設(shè)計意圖：通過舉例進(jìn)一步感受角的推廣的必要性.

（2）討論如何通過建立角的“新”定義解決這些問題.

設(shè)計意圖：主要討論如何區(qū)分角的旋轉(zhuǎn)方向.

3. 數(shù)學(xué)建構(gòu)

在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如何來表示具有相反意義的量？如“從某一點向南5米，記為5，則從這一點向北5米記為什么？”

設(shè)計意圖：利用實數(shù)的正負(fù)表示具有相反意義的量作為先行組織者，引導(dǎo)學(xué)生能產(chǎn)生正向遷移，得出正角、負(fù)角的概念.

（1）角的符號——正角、負(fù)角

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角叫作正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角叫作負(fù)角.如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，也把它看成一個角，叫作零角.

問題4：（操作1）將汽車方向盤從正位先向左旋轉(zhuǎn)一圈半，再回一圈，如何表示某個半徑OA旋轉(zhuǎn)的兩個角？方向盤某個半徑OA經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后得到怎樣的角？

設(shè)計意圖：結(jié)合前面的問題3.1的第2小問中540°的來源，感受角的加法實質(zhì)上是兩次連續(xù)（即第二個角的始邊與第一個角的終邊重合）旋轉(zhuǎn)的“合效果”，并在此基礎(chǔ)上歸納出兩角的和的定義.

（2）兩角的和的定義

對于兩個任意角α，β，將α的終邊旋轉(zhuǎn)角β（當(dāng)β為正角時，按逆時針方向旋轉(zhuǎn);當(dāng)β為負(fù)角時，按順時針方向旋轉(zhuǎn);當(dāng)β為零角時，不旋轉(zhuǎn)），這時終邊所對應(yīng)的角稱為α與β的和，記為α+β. 很容易驗證，兩角的和的運算滿足交換律與結(jié)合律.

根據(jù)定義，操作1的兩次旋轉(zhuǎn)后，相應(yīng)的角可以記為540°+（-360°）.

（3）兩角的差的定義

將射線繞其端點分別按逆時針方向、順時針方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角稱為相反角，并規(guī)定α的相反角為 -α. 明顯α+（-α）=（-α）+α=0°. 把滿足x+β=α的角x稱為α與β的差，記為α-β. 注意到[α+（-β）]+β=α，因此α-β=α+（-β）.

問題5：（操作1）將汽車方向盤從正位先向左打一圈半，再回一圈.

（操作2）將汽車方向盤從正位向左打半圈.

兩種操作后的汽車行駛轉(zhuǎn)向效果一樣嗎？

預(yù)設(shè)：操作1的兩次旋轉(zhuǎn)后汽車的轉(zhuǎn)向的“合效果”等同于操作2旋轉(zhuǎn)后汽車的轉(zhuǎn)向效果，為此我們認(rèn)為等式540°+（-360°）=180°是合理的.

根據(jù)運算規(guī)則，也有540°+（-360°）=540°-360°=180°. 說明前面的角的加法和減法及其運算法則是合理的，因為它們保證了運算的結(jié)果與實際的結(jié)果的吻合性.

設(shè)計意圖：通過具體的操作，進(jìn)一步確認(rèn)兩角的和與差的定義是合理的.

（4）坐標(biāo)系中的象限角與軸線角

操作題：（1）分別作出下列角：-60°，-135°，225°;（2）用量角器作出65°角.

問題6：從前面的操作題中，尤其是用量角器度量角，你能得到怎樣的啟示？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生理解，一個角大小的給定，既不取決于終邊的位置，也不取決于始邊的位置，而是兩者相對的位置關(guān)系.用量角器度量角，需要將量角器中的“始邊”與待度量的角的始邊重合. 因此，讓各角的始邊重合，更方便研究（例如比較兩個銳角或鈍角的大小等）.

為了便于研究，常以角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 這樣，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角. 角的終邊在坐標(biāo)軸上，就叫這個角為軸線角.

4. 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出60°，420°，-300°角的終邊，思考它們之間有什么關(guān)系？你能得到更一般的結(jié)論嗎？（聯(lián)系前面方向盤向左打半圈與打一圈半的例子）

一般地，與角α的終邊相同的角的集合為{ββ=k·360°+α，k∈Z}.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過歸納得出相應(yīng)的結(jié)論.第一，明確每加（減）360°對應(yīng)于將終邊按逆（順）時針再旋轉(zhuǎn)一周，因此k·360°+α（k∈Z）與α的終邊始終相同. 第二，只有將α的終邊按照逆時針或順時針方向再旋轉(zhuǎn)360°的整數(shù)倍后的角才可能與α的終邊重合，因此與α的終邊相同的角為k·360°+α（k∈Z）.

例2 在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：（1）650°;（2）-150°;（3）-990°15′.

設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固終邊相同的角的關(guān)系，明確這樣做的目的更容易判斷角所在的象限，為后面研究終邊相同的三角函數(shù)（即第一組誘導(dǎo)公式）提供必要的知識儲備.

例3 已知角α與240°的終邊相同，判斷是第幾象限角.

設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固終邊相同的角的關(guān)系，能利用分類討論思想判斷角所在的象限.

5. 課堂小結(jié)

（1）知識結(jié)構(gòu).

（2）思想方法

轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.

對數(shù)學(xué)教學(xué)情境的基本要求的思考

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了激發(fā)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)，教學(xué)情境中的問題更應(yīng)該符合這幾個基本要求：真實可信，簡明易懂，目的明確，反映本質(zhì)，系統(tǒng)連貫.

真實可信，即構(gòu)成問題情境的各個要素的來源要科學(xué)而真實，這也是數(shù)學(xué)教師科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的體現(xiàn). 真實可信是數(shù)學(xué)教學(xué)情境的基本屬性. 筆者認(rèn)為不應(yīng)為了達(dá)到某種教學(xué)目的而人為地編造虛無的情境.真實的情境來源有哪些？筆者簡單地舉幾種來源，但不拘泥于這幾種來源：第一，從具體的生活實物中選取，例如本案例中“車的方向盤”就是生活實物，這樣的情境比較契合任意角的相關(guān)概念;第二，從數(shù)學(xué)或其他學(xué)科（例如向量與物理等）的真實的感性材料中選取，從中概括、歸納某些數(shù)學(xué)概念、規(guī)律或公式等;第三，從能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突的材料中選取，例如將學(xué)生對同一問題的不同解答得到的不同結(jié)果作為問題情境，等等.

簡明易懂，即一方面問題情境要簡明，沒有干擾條件，信息要精煉不能冗長;另一方面，問題情境要易懂，表述上要準(zhǔn)確而不含糊，無矛盾且有條理，語言具有啟發(fā)性. 從知識的聯(lián)系和發(fā)展中提出問題，提出的問題貼合教學(xué)且自然.例如，本案例中，學(xué)生對“汽車的方向盤”比較了解，理解沒有困難，而且相關(guān)問題的表述比較清楚，沒有干擾條件.

目的明確，即問題情境要緊緊圍繞當(dāng)前的教學(xué)任務(wù)，使得學(xué)生的注意力集中在教學(xué)任務(wù)上. 例如，本案例中問題情境的目的很明確，讓學(xué)生從“汽車方向盤從正位向左打一圈半”“角的終邊相同但旋轉(zhuǎn)量不同”中感受到初中學(xué)習(xí)的角的“不夠用”，因此角在“量”上的擴充成為自然的需求;再如，“汽車方向盤從正位向左打一圈半，與向右打一圈半”會產(chǎn)生截然不同的結(jié)果，讓學(xué)生感受到旋轉(zhuǎn)的方向也是初中學(xué)習(xí)的角所無法解釋的，因此角的符號的引入也成為自然的需求.

反映本質(zhì)，即“問題要問在點子上”，情境中的問題直接能反映所學(xué)新知識的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生思維指向教學(xué)任務(wù)，而不能干擾學(xué)生思路. 例如，本案例中，“方向盤向左打一圈半”是逆時針旋轉(zhuǎn)了多少度，學(xué)生回答是540°，這種直覺實際是兩角的“和”的一種心理意向，即兩角和的本質(zhì)就是“連續(xù)旋轉(zhuǎn)”的一種刻畫，在這里可提出“540°是360°與180°的和”的初步結(jié)論;待后面有了正角和負(fù)角概念后，再次提出問題“將汽車方向盤從正位先向左打一圈半，再回一圈，方向盤某個半徑OA經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后得到怎樣的角”，即可明確一個角再加一個負(fù)角對應(yīng)于怎樣的“連續(xù)旋轉(zhuǎn)”，為進(jìn)一步完善兩角和的概念做鋪墊.

系統(tǒng)連貫，即問題應(yīng)按照數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，以相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法為主線，組成一個循序漸進(jìn)、具有內(nèi)在聯(lián)系的問題體系，這些問題都要為持續(xù)不斷地揭示新知識的本質(zhì)服務(wù)，為學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握新知識引路. 本案例中按問題呈現(xiàn)順序，對應(yīng)的基本目的依次是：介紹本章的概貌與研究方法—介紹前2小節(jié)的內(nèi)容與目標(biāo)—回顧舊知（初中所學(xué)的角的概念）—形成新知（旋轉(zhuǎn)意義下角的定義）—形成認(rèn)知沖突（舊知無法解決的新問題）—完善新知（利用角的符號刻畫旋轉(zhuǎn)方向，利用角的運算擴充角的范圍）. 其中形成認(rèn)知沖突與完善新知是關(guān)鍵的兩步，利于學(xué)生深刻理解角的擴充的必要性與合理性.問題情境的系統(tǒng)連貫性也為學(xué)生用圖表來厘清各知識點的邏輯聯(lián)系，進(jìn)一步形成知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)帶來了極大的方便.例如，本案例的總結(jié)用“學(xué)生先總結(jié)，教師再梳理”的方式，以圖表的形式呈現(xiàn).對圖表做如下解讀：角的擴充的源頭有兩個，一個是現(xiàn)實的需要，另一個是數(shù)學(xué)的本質(zhì);有幾個問題用初中的角的概念不能解決，如角的旋轉(zhuǎn)方向、角的旋轉(zhuǎn)量等，由此引發(fā)的認(rèn)知沖突都是產(chǎn)生新的角的概念的動力;如何解決這些問題——用符號區(qū)分角的旋轉(zhuǎn)方向，用角的和與差來突破角的范圍的桎梏;符號的引入進(jìn)一步擴充了參與運算的角的范圍;在坐標(biāo)系中將角的始邊置于同一位置，更方便研究角;研究終邊重合的角的終極目的是研究三角函數(shù)的周期性等.