熊記有

不等式證明題一般較為復(fù)雜，通常涉及多種類型的代數(shù)式，如二次函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、根式、分式、絕對值等，在解答時，可采用換元法，選擇合適的式子進(jìn)行換元，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的式子，便能將問題簡化，有效地提升解題的效率.

例1.若 x ∈（0，+∞），證明： +1- 2- .

分析：仔細(xì)觀察不等式，可發(fā)現(xiàn)與 1、x與互為倒數(shù)，且 +2 =x++2，所以我們可以通過局部換元，令+1=μ，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于μ的式子，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

證明：設(shè)+1=μ，可得μ= +1≥2，

則μ2=x + +2，+1-當(dāng)μ=2時，μ- =2- ，

所以當(dāng)μ≥2時，不等式μ-≤2-

.

當(dāng)某一個代數(shù)式多次出現(xiàn)在題目中時，可用一個新變量來替換，再對換元后的式子進(jìn)行分析，通過研究其單調(diào)性和最值來證明換元后的不等式成立，即可原不等式成立.

例2.已知 x ≥， y ≥，且xy=100，證明：≤lgylgx≤1.

分析：可將目標(biāo)不等式中的對數(shù)式視作一個整體化為只含一個變量的式子，分析其在定義域上的最值，就能順利證明不等式.

證明：

在證明不等式時，需將已知條件和目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來，必要時還需對已知關(guān)系式和目標(biāo)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、化簡，以便明確換元的式子，使不等式簡化，從而快速找到解題的思路.

例3.已知 x5+y5=2，試證明： xy≤1.

分析：已知關(guān)系式為x5、y5的和，要得到xy，需分別求得x 、y 的值，于是采用增量換元法，設(shè)x5=1-α， y5=1+αα為任意實(shí)數(shù)，用α表示出x 、y，便可快速得到xy 的表達(dá)式，根據(jù)平方式的性質(zhì)證明不等式成

證明：設(shè)x5=1-α，y5=1+αα為任意實(shí)數(shù)，可得 x5+y5=2，

所以 x =5，y =5，

可得xy=5?5=5.

而1-α2≤1，所以5≤ 1，

當(dāng)且僅當(dāng)α=0時等號成立.

綜上可得，當(dāng)x5+y5=2時，xy≤1成立.

對于一些含有雙變量的不等式問題，可采用增量換元法求解.引入一個增量，用它表示出兩個變量，再將兩個變量代入題目中進(jìn)行運(yùn)算、化簡即可.運(yùn)用增量換元法能達(dá)到減元的目的.

運(yùn)用換元法，可以使代數(shù)式之間的關(guān)系變得清晰明了，使復(fù)雜的題目簡單化，也是解答不等式證明題的有效方法.運(yùn)用換元法解答不等式證明題，關(guān)鍵在于建立已知條件和目標(biāo)不等式的聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)氖阶舆M(jìn)行換元，使不等式得以簡化.

（作者單位：甘肅省天水市麥積區(qū)新陽中學(xué)）