李嬋平

在得到頻率分布直方圖后，我們常常要利用頻率分布直方圖估計總體的數(shù)字特征，即眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

1.眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在頻率分布直方圖中，頻率最大的組的中點值就稱為眾數(shù).若有多個組是相鄰組，且各組的頻率相等，那么我們可以把這幾組看成一個大組，將大組的中點值作為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

2.平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)總個數(shù)的值，反映了數(shù)據(jù)的平均水平.但是在頻率分布直方圖中，所有數(shù)據(jù)的取值并不是具體的，給出的只是某組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率.因此，在求平均數(shù)時，我們可以取直方圖中這一組數(shù)據(jù)的中點值，將其作為這一組數(shù)據(jù)的代表值，記為 xi? ，并設(shè)該組內(nèi)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)為 ni? ，那么這組數(shù)據(jù)的和就是nixi ，如果所有數(shù)據(jù)分布在 m 個組內(nèi)，那么 i=1，2， …，m， 各組內(nèi)數(shù)據(jù)的和依次是 n1x1， n2x2， …，nmxm ， 所有數(shù)據(jù)的和就是n1x1+n2x2+…+nmxm ，，若數(shù)據(jù)總個數(shù)為 n ，則n =n1+n2+…+nm ， 所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)= n1x1+n2x2+…+nmxm該式可變形為= n x1+ n x2+…+ n xm ， 由于第一組的頻率為f1= 第二組的頻率為 f2=? 第 m 組的頻率為fm= ， 所以所有數(shù)據(jù)的平均數(shù) =x1f1+x2f2+…+xmfm.這就是利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)的公式.

3.中位數(shù)是指在按照大小順序排列的一組數(shù)中居于中間的一個數(shù)據(jù).若中間有兩個數(shù)，則取這兩個數(shù)的平均數(shù).在頻率分布直方圖中，不大于中位數(shù)的數(shù)據(jù)占所有數(shù)據(jù)的一半，這些數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率是0.5;不小于中位數(shù)的數(shù)據(jù)占總數(shù)據(jù)的一半，這些數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率也是0.5.因此，如果過中位數(shù)所在的點作一條垂直于橫軸的直線，那么這條直線把頻率分布直方圖中的矩形分成面積相等的兩部分，直線左側(cè)的矩形面積為一半，右側(cè)的也為一半.我們可以根據(jù)頻率分布直方圖的這個特點，通過累計頻率來求得中位數(shù).其步驟為：第一步，將各組數(shù)據(jù)的頻率計算出來，列出表格;第二步，從第一組開始累計頻率，如果從第一組開始加到某一組時頻率之和大于0.5，那么中位數(shù)就在這一組數(shù)據(jù)內(nèi);第三步，設(shè)中位數(shù)為 m .求出m 所在組的頻率，并且根據(jù)頻率等于對應(yīng)組的矩形的面積，得到一個關(guān)于 m 的一元一次方程，解方程就可以確定 m 的值.

下面舉例說明.

例1.一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了1000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本頻率分布直方圖.試根據(jù)圖形，求該地居民月收入的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

解析：（1）求眾數(shù).由于第三組和第四組所對應(yīng)的矩形高度是相同的，且這兩組是相鄰的，需把第三組和第四組看成一個大組，即2000～3000，并且該組的中點值為2500，即該地居民月收入的眾數(shù)是2500元.

（2）求中位數(shù).第一步，將各組的頻率計算出來，并列出表格，如表1：

第二步，從第一組起累計頻率，可知前三組頻率之和為0.55>0.5，故可以確定中位數(shù)在第三組.

第三步，設(shè)中位數(shù)為m ，根據(jù)中位數(shù)的特點可知，數(shù)據(jù)落在[1000， m ）內(nèi)的頻率為0.5，由于前兩組的頻率之和為0.1+0.2=0.3，所以[2000，m）內(nèi)的頻率是0.2.在頻率分布直方圖中過橫軸上的點 m 作一條垂直于橫軸的直線，可以得到數(shù)據(jù)范圍[2000，m ）所對應(yīng)的小矩形，該矩形的面積是0.2，矩形的寬是 m -2000，高是△xi =0.0005， 所以（ m -2000）×0.0005=0.2，解得 m =2400，故該地居民月收入的中位數(shù)是2400元.

（3）求平均數(shù).第一步，將各組的頻率和中點值列成表格（見表2），

于是平均數(shù) =1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，故該地居民月收入的平均數(shù)是2400元.

4.方差反映數(shù)據(jù)相對于它的平均數(shù)的偏離程度，方差公式是 s2=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn -）2公式中的分子是 n 個數(shù)據(jù) x1，x2， …，xn 分別與它們的平均數(shù)的差的平方的和，分母是數(shù)據(jù)的總個數(shù).在頻率分布直方圖中，每一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)就是每一組的中點值，套用方差公式，就可以求得所有數(shù)據(jù)的方差.設(shè)n 個數(shù)據(jù)分為 m 組， m 組的頻數(shù)分別是 n1，n2 ， … ，nm? ， 則 n1+ n2+…+nm=n ， 所有數(shù)據(jù)的方差 s2=n1（x1-）2+n2（x2-）2+…+nm（xm -）2把分子拆開得，s2= n （x1-）2+ n （x2-）2+…+ n （xm -）2， 由于各組的頻率分別為f1= ，f2= ， …，fm = ， 所以 s2=f1（x1-）2+f2（x2-）2+…+fm（xm -）2， 這就是利用頻率分布直方圖求方差的公式，這里 x1，x2，…，xm 分別是各組的中點值，而 xˉ 是所有數(shù)據(jù)的平均數(shù).

5.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，標(biāo)準(zhǔn)差公式為

例2.求例1中該地居民月收入的標(biāo)準(zhǔn)差（保留兩位小數(shù)）.

解析：先求方差.由例1知該地居民月收入的平均數(shù)是 2400 元，即 xˉ= 2400， 而各組的代表數(shù)據(jù)分別是x1 = 1250，x2 = 1750，x3 = 2250，x4 = 2750，x5 = 3250，x6 = 3750，又由表1知各組頻率分別為 f1 = 0.1，f2 = 0.2，f3 = f4 = 0.25，f5 = 0.15，f6 = 0.05， 因此方差 ，

再求標(biāo)準(zhǔn)差. s = s2 = 452500 ≈ 672.68， 故該地居民月收入的標(biāo)準(zhǔn)差是672.68元.

利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差，是現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到的問題，這也是高考試題中經(jīng)?？疾榈膯栴}，解題的關(guān)鍵是要記住公式，明確眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差及標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征的意義，并會正確套用公式進行計算.

（作者單位：陜西省神木市第七中學(xué)）