施玲瑜

在解題時(shí)，我們經(jīng)常遇到絕對(duì)值問(wèn)題.解答此類問(wèn)題，通常需要靈活運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中多個(gè)絕對(duì)值之和的最小值問(wèn)題的難度系數(shù)較大， 且較為復(fù)雜，很多同學(xué)在遇到此類問(wèn)題時(shí)經(jīng)常選擇放棄.對(duì)此筆者利用幾個(gè)實(shí)例探討了求多個(gè)絕對(duì)值之和的最小值的方法.

例1.求|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|的最小值.

解：將|x -1|， |x -2|， |x -3|， |x -4|看作數(shù)軸上的點(diǎn)1，2，3，4到動(dòng)點(diǎn) x 的距離，則|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|表示數(shù)軸上的點(diǎn)1，2，3，4到動(dòng)點(diǎn)x 的距離之和，由圖可知， 當(dāng)2≤ x ≤3時(shí)，|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|可取最小值，即為1到4之間的距離與2到3之間的距離之和3+1=4.因此，|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|的最小值為4.

對(duì)于求x -a +x -b +x -c +x -d 的最小值問(wèn)題，其常見的解題思路是：①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上點(diǎn)x （未知點(diǎn)）到 a，b，c，d 四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小問(wèn)題;②利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行分析，確定動(dòng)點(diǎn)的位置;③求得最小值.若 a <b <c <d ，則當(dāng) b ≤ x ≤ c時(shí)，|x -a|+|x -b|+|x -c|+|x -d|取最小值（d -a）+（c -b），即為點(diǎn) d、 a 之間的距離與點(diǎn)c、 b 之間的距離之和.

例2.已知 a1≤a2≤…≤an -2≤an -1≤an，求|x -a1|+|x -a 2|+|x -a3|+…+|x -an|的最小值.

分析：需將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上點(diǎn)x（未知點(diǎn)）到 a1， a2， a3，…， an 點(diǎn)的距離之和最小問(wèn)題.由于 n 可為奇數(shù)，也可為偶數(shù)，所以需分兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，x 在數(shù)軸上的第個(gè)點(diǎn)處，此時(shí)絕對(duì)值之和最小;當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，x 在數(shù)軸上的第個(gè)點(diǎn)或第+1個(gè)點(diǎn)處，此時(shí)絕對(duì)值之和最小.

解：分兩種情況討論：

當(dāng) n =2k +1（k ∈N+），x =a 時(shí)，絕對(duì)值之和最小，絕對(duì)值的最小和為（an -a1）+（an -1-a2）+（an -2-a3）+…+（a -a ）;當(dāng) n =2k（k ∈N+），a ≤ x ≤a 時(shí)，絕對(duì)值之和最小，絕對(duì)值的最小和為（an -a1）+（an -1-a2）+（an -2-a3）+…+（an +2-an）2?? 2

解答此類問(wèn)題，需將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上點(diǎn)x（未知點(diǎn)）到 a1， a2， a3，…， an 點(diǎn)的距離之和最小問(wèn)題.當(dāng) n =2k +1（k ∈N+）時(shí)，要使得距離之和最小， x 應(yīng)取中間的數(shù)，即在數(shù)軸上的第 個(gè)點(diǎn)處;當(dāng) n =2k（k ∈N+）時(shí)，要使得距離之和最小， x 應(yīng)取中間兩個(gè)數(shù)之間的數(shù)，即在數(shù)軸上的第個(gè)點(diǎn)或第+1個(gè)點(diǎn)處.

例3.求|x -1|+|x -2|+|x -3|的最小值.

分析：，，的最小公倍數(shù)為 ，將和式通分，得1|x -1|+1|x -2|+1|x -3|=1×（6|x -1|+4|x -2|+3|x -3|），這樣便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|x -a1|+|x -a 2|+|x -a3|+…+|x -an|的最小值問(wèn)題來(lái)求解.

解：|x -1|+|x -2|+|x -3|= ×（6|x -1|+4|x -2|+3|x -3|） ，

由系數(shù)6，4，3可知一共有13個(gè)點(diǎn)，正中間的點(diǎn)是第7個(gè)，即當(dāng) x =2時(shí)，|x -1|+|x -2|+|x -3|取得最小值，最小值為 += .

對(duì)于系數(shù)為分?jǐn)?shù)的絕對(duì)值之和最小問(wèn)題，需先通分，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)為整數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)是整數(shù)的絕對(duì)值之和最小問(wèn)題來(lái)求解.值得注意的是，絕對(duì)值前面的系數(shù)為點(diǎn)的個(gè)數(shù).

多個(gè)絕對(duì)值之和的最小值問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的邏輯思維能力和綜合分析能力的要求較高.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點(diǎn)之間的距離最小問(wèn)題來(lái)求解，找到絕對(duì)值之和取得最小值時(shí)的動(dòng)點(diǎn)，便可順利解題.

（作者單位：江蘇省啟東市東南中學(xué)）