陳克勝

(西北大學(xué)科學(xué)史高等研究院，西安 710127)

建設(shè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國目標(biāo)已成為中國社會(huì)各界共同的期盼，其標(biāo)志性的表現(xiàn)主要有：中國數(shù)學(xué)家敢于和能夠挑戰(zhàn)一些重大的數(shù)學(xué)問題、在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的若干分支中有新的突破、有原創(chuàng)性的成果等。但是數(shù)學(xué)是一門累積性很強(qiáng)的科學(xué)，一些重要成果的突破往往需要經(jīng)歷一段較長時(shí)間的前期積淀過程，需要有若干代甚至幾十代數(shù)學(xué)家攜起手來共同奮斗、前仆后繼，如哥德巴赫猜想的證明等，這樣便容易形成數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)譜系。所謂數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)譜系，是指由數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)傳承關(guān)系(包括師承關(guān)系在內(nèi))關(guān)聯(lián)在一起的、不同代際的數(shù)學(xué)家所組成的學(xué)術(shù)群體，它是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的載體。由此，研究數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)譜系成為一種必然，其研究價(jià)值最突出的是：可以探索數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律和數(shù)學(xué)家成長規(guī)律等。從某種程度上來說，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)譜系研究對于當(dāng)前中國探索走向數(shù)學(xué)強(qiáng)國之路具有重要的借鑒意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

微分幾何學(xué)是由國外移植到中國最早的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支之一，姜立夫是將微分幾何學(xué)引入到中國的第一人。此后，中國歷代微分幾何學(xué)家們在進(jìn)行學(xué)術(shù)研究的同時(shí)，都非常重視微分幾何學(xué)方向的人才培養(yǎng)，由此比較早地形成了具有一定學(xué)術(shù)水平和規(guī)模的中國學(xué)術(shù)群體，某些成果也已達(dá)到世界一流的水平。除此之外，人們更感興趣的是：微分幾何學(xué)在中國早期的發(fā)展中取得成功的深層次原因是什么？是否存在某些規(guī)律？其規(guī)律又是怎樣的？對于當(dāng)前中國建設(shè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國有何啟示？

關(guān)于微分幾何學(xué)在中國的研究已相當(dāng)多，大體可以分為三類：第一類側(cè)重于微分幾何學(xué)家個(gè)人的學(xué)術(shù)經(jīng)歷和成就，如程民德主編的《中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳》[1]，張洪光的《二十世紀(jì)偉大的幾何學(xué)家陳省身》[2]。第二類側(cè)重于微分幾何學(xué)發(fā)展內(nèi)史，如蘇步青的《幾何學(xué)》[3](與嚴(yán)志達(dá)合寫)、《一般空間幾何學(xué)的新發(fā)展》[4]和《十年來中國微分幾何的發(fā)展》[5]，美國費(fèi)茲吉拉爾德(A. Fitzgrald)和麥克萊因(S. MacLane)的《純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)在中國》(PureandAppliedMathematicsinthePeople’sRepublicofChina)[6]。第三類是側(cè)重于將中國在微分幾何學(xué)的工作置于整個(gè)微分幾何學(xué)發(fā)展中，如日本數(shù)學(xué)家窪田忠彥(T. Kubota，1885—1952)的《仿射平面理論的若干評(píng)論》(EinigeBemerkerkungenzurAffinflachenTheorie)[7]。上述成果是從不同角度進(jìn)行研究，主要回答“是什么”的問題，但是很少涉及微分幾何學(xué)在中國所蘊(yùn)涵的某些發(fā)展規(guī)律。值得關(guān)注的是，國內(nèi)研究者開始嘗試從學(xué)術(shù)譜系的角度來研究中國部分微分幾何學(xué)家及其成就，如李大潛和華宣積的《蘇步青與中國微分幾何學(xué)派》[8]，但僅局限于中國某個(gè)學(xué)術(shù)群體。本文將基于學(xué)術(shù)譜系研究的視角來梳理早期有影響的中國部分微分幾何學(xué)家的師承關(guān)系及其合作者關(guān)系，由此探索中國微分幾何學(xué)家的學(xué)術(shù)成長及其人才培養(yǎng)規(guī)律；探討微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，由此探索微分幾何學(xué)在中國的發(fā)展規(guī)律。

為了研究的需要，本文選取了程民德主編的《中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳》和盧嘉錫主編的《中國現(xiàn)代科學(xué)家傳記》[9]中入傳的微分幾何學(xué)家或有關(guān)的數(shù)學(xué)家，即本文考察的對象主要是在民國時(shí)期成長起來的中國部分微分幾何學(xué)家。通過對這些已入傳的微分幾何學(xué)家開展學(xué)術(shù)譜系研究，基本可以達(dá)到所要求的相關(guān)研究的目的。

1 中國部分微分幾何學(xué)家譜系及其特征

1.1 中國部分微分幾何學(xué)家的學(xué)術(shù)譜系

一般認(rèn)為，微分幾何學(xué)的中國先驅(qū)主要是姜立夫、孫光遠(yuǎn)和蘇步青[1，10]。他們早期都是到國外學(xué)習(xí)微分幾何學(xué)，學(xué)成回國后共同努力在中國耕耘微分幾何學(xué)，由此逐漸形成了微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)譜系(圖1)。

姜立夫的學(xué)術(shù)引路人是美國哈佛大學(xué)庫利奇(J. L. Coolidge，1873—1954)，博士畢業(yè)后曾留校做奧斯古德(W. E. Osgood，1864—1943)的助教。孫光遠(yuǎn)是另一位留學(xué)美國并致力于微分幾何學(xué)的中國早期學(xué)者，師從芝加哥大學(xué)萊恩(E. P. Lane)。蘇步青則東渡日本，跟隨東北帝國大學(xué)窪田忠彥學(xué)習(xí)和研究仿射微分幾何學(xué)，使得蘇步青不僅是微分幾何學(xué)的中國早期學(xué)者，而且也是日本培養(yǎng)的第一位國外微分幾何學(xué)家。

除了美國和日本之外，德國、法國和英國等也對中國早期微分幾何學(xué)產(chǎn)生非常重要的影響。對中國微分幾何學(xué)產(chǎn)生影響的德國數(shù)學(xué)家主要有漢堡大學(xué)的布拉施克(W. J. E. Blaschke，1885—1962)和凱勒(E. K?hler，1906—2000)。布拉施克曾與日本的窪田忠彥師出同門[4]，他曾培養(yǎng)了他的第一位中國微分幾何學(xué)家湯璪真，后來，李森林受湯璪真的影響也走上了微分幾何學(xué)研究之路。布拉施克曾受邀到北京大學(xué)講學(xué)，改變了吳大任和陳省身的學(xué)術(shù)研究方向。吳大任和陳省身都是在南開大學(xué)受到姜立夫的影響而走上微分幾何學(xué)之路，后來兩人同時(shí)考取了清華大學(xué)研究生，師從孫光遠(yuǎn)繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究微分幾何學(xué)，畢業(yè)后，兩人到德國漢堡大學(xué)留學(xué)都跟隨布拉施克；另外，陳省身在漢堡大學(xué)參加過凱勒主持的討論班，學(xué)術(shù)受益匪淺。對中國微分幾何學(xué)產(chǎn)生影響的法國數(shù)學(xué)家主要有巴黎大學(xué)的嘉當(dāng)(E. Cartan，1869—1951)、斯特拉斯堡大學(xué)的埃瑞斯曼(C. Ehresmann，1905—1979)。嘉當(dāng)在巴黎大學(xué)曾先后培養(yǎng)了兩位中國微分幾何學(xué)家，他們分別是陳省身和李華宗。陳省身跟隨布拉施克獲得博士學(xué)位后，到法國巴黎大學(xué)做嘉當(dāng)?shù)闹?；李華宗在英國師從愛丁堡大學(xué)斯圖伊克(D. J. Struik，1894—2000)獲得博士學(xué)位后，到法國也跟隨嘉當(dāng)繼續(xù)研究微分幾何學(xué)。其間，法國數(shù)學(xué)家埃瑞斯曼與陳省身曾同窗師從嘉當(dāng)，此種關(guān)系對后來的中國留學(xué)生產(chǎn)生了較大的影響，主要有田方增、余家榮、嚴(yán)志達(dá)、吳文俊等曾先后到法國留學(xué)跟隨埃瑞斯曼，學(xué)習(xí)和研究代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)或微分幾何學(xué)。其中，嚴(yán)志達(dá)在西南聯(lián)合大學(xué)跟隨陳省身之后，由陳省身推薦，師從埃瑞斯曼繼續(xù)研究微分幾何學(xué)。

圖1 中國部分微分幾何學(xué)家學(xué)術(shù)譜系注：虛線表示國外導(dǎo)師，實(shí)線表示國內(nèi)導(dǎo)師，單尖頭被指的是學(xué)生，雙尖頭表示學(xué)術(shù)合作。

20世紀(jì)40年代，陳省身在整體微分幾何學(xué)的研究方面有了突破性的進(jìn)展，對整體微分幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響[11，12]。而這些成就主要得益于陳省身留學(xué)德國和法國的學(xué)術(shù)經(jīng)歷，其學(xué)術(shù)研究達(dá)到世界一流的水平。由此帶動(dòng)一批中國青年學(xué)子追隨陳省身從事整體微分幾何學(xué)或相關(guān)的研究，除了嚴(yán)志達(dá)外，還有孫本旺、吳光磊、王憲鐘、黃正中等。孫本旺、吳光磊和王憲鐘都曾在西南聯(lián)合大學(xué)參加由陳省身組織的微分幾何學(xué)討論班，其中，孫本旺先期就曾師從姜立夫?qū)W習(xí)微分幾何學(xué)，后來留學(xué)美國紐約大學(xué)柯朗(R. Courant，1888—1972)數(shù)學(xué)研究所，師從弗雷德里希(K. O. Friedrichs，1901—1983)，轉(zhuǎn)向泛函分析和偏微分方程論的研究，并成功地將其應(yīng)用于微分幾何學(xué)；黃正中在上海交通大學(xué)畢業(yè)后，在南京大學(xué)工作中受到孫光遠(yuǎn)的影響，開始學(xué)習(xí)和研究微分幾何學(xué)，后來曾得到陳省身的指導(dǎo)繼續(xù)從事微分幾何學(xué)研究。

日本數(shù)學(xué)家窪田忠彥曾先后培養(yǎng)了兩位中國微分幾何學(xué)家，他們分別是蘇步青和孫澤瀛。其中，蘇步青的中國微分幾何學(xué)工作最為突出，不僅表現(xiàn)在學(xué)術(shù)研究方面，更重要的是培養(yǎng)了一批有影響的中國微分幾何學(xué)家，形成了中國微分幾何學(xué)派[9]，涌現(xiàn)了熊全治、張素誠、方德植、吳祖基、白正國、谷超豪、孫和生、張鳴鏞、李大潛和楊忠道等杰出的數(shù)學(xué)家。其中，熊全治后來在蘇步青的推薦下留學(xué)美國，跟隨美國密西根州立大學(xué)格羅夫(V. G. Grove)繼續(xù)研究射影微分幾何學(xué)；楊忠道后來到中央研究院數(shù)學(xué)研究所跟隨陳省身轉(zhuǎn)向代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，不久由陳省身推薦給美國圖蘭大學(xué)的華萊斯(A. D. Wallace，1905—1985)繼續(xù)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)；谷超豪后來到蘇聯(lián)進(jìn)修，跟隨拉舍夫斯基(П. К. Рашевский，1907—？)和菲尼可夫(С. П. Хиников)繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究微分幾何學(xué)；張素誠后來到中央研究院數(shù)學(xué)研究所跟隨陳省身轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)，不久到英國留學(xué)跟隨懷特海(J. H. C. Whitehead，1904—1960)繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究拓?fù)鋵W(xué)；孫和生后來到莫斯科大學(xué)跟隨維庫阿(И. Н. Векуа，1907—1977)學(xué)習(xí)和研究函數(shù)論，并將其應(yīng)用于微分幾何學(xué)，回國后，曾與谷超豪有過密切的學(xué)術(shù)合作；李大潛在復(fù)旦大學(xué)師從蘇步青、谷超豪，后來到法國留學(xué)跟隨里翁斯(J. L. Lions，1928—2001)轉(zhuǎn)向微分方程論。

除了上述之外，還有華羅庚帶領(lǐng)其學(xué)生陸啟鏗等曾涉足到與微分幾何學(xué)有關(guān)的研究工作[3]，劉亦珩在西北大學(xué)組織黎曼幾何專門化討論班，帶領(lǐng)一些學(xué)生開展微分幾何學(xué)的研究[1]。

1.2 中國部分微分幾何學(xué)家的學(xué)術(shù)譜系特征

1.2.1國內(nèi)與國外導(dǎo)師并存

微分幾何學(xué)是由國外移植到中國，并逐漸在中國得到發(fā)展，這決定了中國微分幾何學(xué)家的學(xué)緣關(guān)系呈現(xiàn)出國內(nèi)與國外導(dǎo)師并存的特征。早期，國外導(dǎo)師成為中國微分幾何學(xué)家學(xué)術(shù)成長的主要學(xué)術(shù)引路人；后期，國內(nèi)導(dǎo)師開始獨(dú)立擔(dān)當(dāng)培養(yǎng)中國微分幾何學(xué)家的重任，并成為主力軍，但師從國外導(dǎo)師依然是中國微分幾何學(xué)家學(xué)術(shù)成長的重要方式和途徑。例如，姜立夫和孫光遠(yuǎn)早期師從國外導(dǎo)師，學(xué)成回國后參與中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)建設(shè)，并以其微分幾何學(xué)研究來帶動(dòng)對新一代中國微分幾何學(xué)家的培養(yǎng)，陳省身就是典型的代表。陳省身在國內(nèi)獲得清華大學(xué)碩士學(xué)位后，到國外留學(xué)攻讀博士學(xué)位，在布拉施克、嘉當(dāng)?shù)葘?dǎo)師的影響下，學(xué)術(shù)研究很快進(jìn)入學(xué)術(shù)前沿。而陳省身學(xué)成回國后，他繼承先師的傳統(tǒng)，在開展學(xué)術(shù)研究的同時(shí)，也擔(dān)負(fù)起培養(yǎng)新一代中國微分幾何學(xué)家的重任，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)志達(dá)等。后來，嚴(yán)志達(dá)留學(xué)法國師從嘉當(dāng)?shù)膶W(xué)生埃瑞斯曼。

1.2.2多個(gè)與單個(gè)導(dǎo)師共存

一般地，導(dǎo)師是數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)成長的關(guān)鍵，中國微分幾何學(xué)家的學(xué)術(shù)導(dǎo)師表現(xiàn)為多個(gè)與單個(gè)共存的現(xiàn)象，有的只有一位導(dǎo)師，有的則受到多位導(dǎo)師的指導(dǎo)。導(dǎo)師的多少不僅僅是攻讀學(xué)位的需要，更重要的是學(xué)術(shù)研究的需要。例如，窪田忠彥是蘇步青在微分幾何學(xué)的學(xué)術(shù)成長中唯一的導(dǎo)師，蘇步青學(xué)成回國后就能夠獨(dú)立地開展研究工作，由此開創(chuàng)和領(lǐng)導(dǎo)了被國外同行譽(yù)為的“中國微分幾何學(xué)派”，而他的有些學(xué)生在學(xué)術(shù)成長中考慮到學(xué)術(shù)研究的需要，曾受到多位導(dǎo)師指導(dǎo)，如谷超豪的學(xué)術(shù)導(dǎo)師有蘇步青、蘇聯(lián)的拉舍夫斯基和菲尼可夫。

1.2.3鏈?zhǔn)脚c網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)并存

中國微分幾何學(xué)家學(xué)成回國后除了繼續(xù)開展學(xué)術(shù)研究之外，還積極地參與中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建制化建設(shè)，擔(dān)負(fù)著人才培養(yǎng)的重任，其主要途徑是在中國大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系、領(lǐng)導(dǎo)并組織微分幾何學(xué)討論班。這樣，除了在國外留學(xué)師從同一位或相關(guān)聯(lián)的導(dǎo)師之外，中國微分幾何學(xué)家還由于國內(nèi)各研究單位之間的學(xué)術(shù)交流而呈現(xiàn)出以師生關(guān)系為主、具有鏈?zhǔn)脚c網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)并存的學(xué)術(shù)譜系。例如，姜立夫和孫光遠(yuǎn)開創(chuàng)的微分幾何學(xué)群體和蘇步青領(lǐng)導(dǎo)的微分幾何學(xué)群體，是當(dāng)時(shí)微分幾何學(xué)在中國的兩大重要學(xué)術(shù)群體，其成員在導(dǎo)師的推薦下相互交流。如張素誠、楊忠道在浙江大學(xué)跟隨蘇步青之后，師從陳省身學(xué)習(xí)和研究微分幾何學(xué)或轉(zhuǎn)向代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。

2 微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)與特征

學(xué)術(shù)譜系不僅反映了科學(xué)家的師承關(guān)系和合作者關(guān)系，而且反映了學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的傳承、發(fā)展或轉(zhuǎn)向；學(xué)術(shù)傳統(tǒng)是維系一個(gè)包括學(xué)術(shù)譜系在內(nèi)的學(xué)術(shù)共同體健康發(fā)展、不斷取得成果的內(nèi)在生命力[13]。

2.1 微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)

微分幾何學(xué)是一門既古老又年輕的學(xué)科，幾乎與微積分同時(shí)產(chǎn)生和發(fā)展。到20世紀(jì)上半葉，微分幾何學(xué)的基本發(fā)展態(tài)勢是：1870年克萊因的《埃爾朗根綱領(lǐng)》發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，射影微分幾何學(xué)的研究相當(dāng)活躍，并且在傳統(tǒng)的射影微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)上，仿射微分幾何學(xué)于20世紀(jì)20年代創(chuàng)立起來，其中蘇步青領(lǐng)導(dǎo)的中國學(xué)術(shù)群體在仿射微分幾何學(xué)領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)，成為微分幾何學(xué)的世界三大學(xué)派之一。另一個(gè)重要發(fā)展方向是嘉當(dāng)把李群和微分幾何結(jié)合起來，成功地建立了外微分流形理論和活動(dòng)標(biāo)架法，奠定了現(xiàn)代微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)，由此，到20世紀(jì)40年代，形成了整體微分幾何學(xué)，其中陳省身在高維黎曼流形上的推廣方面做出了重要貢獻(xiàn)，成為整體微分幾何學(xué)的重要貢獻(xiàn)者之一。等距浸入和子流形幾何也是當(dāng)時(shí)微分幾何學(xué)的一個(gè)重要研究方向，但中國很少涉及[14]。正是在當(dāng)時(shí)這樣的微分幾何學(xué)蓬勃發(fā)展的大背景下，微分幾何學(xué)開始引入中國，并很快開展了卓有成效的工作。同時(shí)，由于受到中國時(shí)局、學(xué)術(shù)研究、學(xué)術(shù)條件等多種因素的影響，微分幾何學(xué)在中國主要形成了兩個(gè)代表性的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)：一個(gè)是姜立夫和孫光遠(yuǎn)開創(chuàng)的射影微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，后來由陳省身發(fā)展到整體微分幾何學(xué)傳統(tǒng)；另一個(gè)是蘇步青領(lǐng)導(dǎo)的仿射微分幾何學(xué)傳統(tǒng)。

2.1.1由射影微分幾何學(xué)傳統(tǒng)到整體微分幾何學(xué)傳統(tǒng)

姜立夫在美國哈佛大學(xué)庫利奇的指導(dǎo)下，運(yùn)用代數(shù)和微分幾何方法來研究射影空間的直線和非歐空間的球面之間的關(guān)系。孫光遠(yuǎn)是受美國導(dǎo)師萊恩的影響，從事射影微分幾何學(xué)的研究。姜立夫和孫光遠(yuǎn)先后學(xué)成回國后，都是將布拉施克編著的《微分幾何學(xué)講義》(VorlesungenUberDifefretialGeometrie)作為教材在中國傳播微分幾何學(xué)，后來，將布拉施克邀到北京大學(xué)講學(xué)，使其學(xué)術(shù)傳統(tǒng)在中國得到很好的傳承。吳大任繼承了姜立夫、布拉施克的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，從事積分幾何、射影幾何、非歐幾何、微分幾何等研究，將積分幾何的運(yùn)動(dòng)主要公式推廣到三維及以上空間，證明了關(guān)于歐氏平面和空間中的凸體弦冪分的一系列不等式等。陳省身在布拉施克的指導(dǎo)下，運(yùn)用嘉當(dāng)方法即活動(dòng)標(biāo)架法和等價(jià)方法來研究微分幾何，后來陳省身跟隨嘉當(dāng)，直接繼承了嘉當(dāng)?shù)膶W(xué)術(shù)“衣缽”——微分形式的運(yùn)算，并受代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的啟示而創(chuàng)建了外微分方法。這種方法不僅揭示了外微分與積分是兩個(gè)互補(bǔ)的運(yùn)算，而且揭示兩者都與斯托克斯定理相聯(lián)系，這是目前用于解決由嘉當(dāng)所開創(chuàng)的將幾何結(jié)構(gòu)的等價(jià)轉(zhuǎn)換成微分形式組的等價(jià)問題的最為理想的方法。此外，此時(shí)的纖維叢及主叢上的聯(lián)絡(luò)理論在嘉當(dāng)?shù)膸ьI(lǐng)下也剛剛發(fā)展起來，外微分方法也是將等價(jià)問題與聯(lián)絡(luò)理論聯(lián)系起來，陳省身發(fā)現(xiàn)了一種內(nèi)蘊(yùn)聯(lián)絡(luò)，并給出了高斯-邦內(nèi)特公式的內(nèi)蘊(yùn)證明。隨后，陳省身受到埃瑞斯曼工作的啟示，發(fā)現(xiàn)復(fù)流形上的不變量-陳示性類，由此，使陳省身成為示性類理論的原創(chuàng)者之一。1946年，陳省身發(fā)表的《大范圍微分幾何的某些新觀點(diǎn)》，指出了嘉當(dāng)?shù)穆?lián)絡(luò)思想與纖維叢理論的密切關(guān)系，從而把微分幾何進(jìn)一步推進(jìn)到大范圍微分幾何?？傊?，陳省身受到布拉施克、嘉當(dāng)和埃瑞斯曼等的學(xué)術(shù)影響，在整體微分幾何學(xué)的研究有了突破性的進(jìn)展，使陳省身成為整體微分幾何學(xué)的重要開拓者之一[15—17]，也就是說布拉施克、嘉當(dāng)和埃瑞斯曼的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)在中國成功地得到發(fā)展。

此外，李華宗繼承他的導(dǎo)師斯圖伊克對張量微分幾何的研究，后來也受嘉當(dāng)?shù)挠绊?，開展了微分幾何學(xué)中關(guān)于施考特恩(J. A. Schouten)的接觸變換研究。湯璪真博士畢業(yè)后回國直接使用其師布拉施克的德文著作《微分幾何講義》在國內(nèi)大學(xué)進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)也開展相關(guān)的微分幾何學(xué)研究。李森林在武漢大學(xué)受到湯璪真的影響而對微分幾何學(xué)產(chǎn)生興趣，后來受到國內(nèi)數(shù)學(xué)專業(yè)發(fā)展的影響，轉(zhuǎn)向微分方程論研究。

陳省身學(xué)成回國后繼承先師的傳統(tǒng)，并擔(dān)負(fù)起培養(yǎng)新一代數(shù)學(xué)家的重任，其中有一部分學(xué)生從事整體微分幾何學(xué)或相關(guān)的研究，使其學(xué)術(shù)傳統(tǒng)在中國得以傳承和發(fā)展，代表人物有嚴(yán)志達(dá)、孫本旺、吳光磊、王憲鐘和黃正中等。嚴(yán)志達(dá)、孫本旺、吳光磊和王憲鐘主要是在西南聯(lián)合大學(xué)參加由陳省身主持的微分幾何討論班，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了布拉施克和嘉當(dāng)?shù)膸缀卫碚摚渲邪ㄖ匾睦钊豪碚?，這對于他們后來從事微分幾何學(xué)的研究產(chǎn)生了重要的影響。其中，嚴(yán)志達(dá)后來到法國留學(xué)師從埃瑞斯曼，在李群的拓?fù)浞矫婧颓鎱驳膸缀畏矫嬗行碌耐黄?，如在嘉?dāng)理論的意義下考察K維元素射影聯(lián)絡(luò)空間；孫本旺后來前往美國留學(xué)，師從弗雷德里希轉(zhuǎn)入研究泛函分析和偏微分方程，并將其成功地應(yīng)用到與微分幾何學(xué)有關(guān)的四維辛空間的曲線和超曲面研究；吳光磊的主要工作是算出了叢的貝蒂數(shù)(Bitti number)，證明了在子流形的法叢上的高斯-邦內(nèi)特公式；王憲鐘早期從事活動(dòng)坐標(biāo)架理論和射影微分幾何的研究，西南聯(lián)合大學(xué)畢業(yè)后參加由陳省身在中央研究院數(shù)學(xué)研究所主持的拓?fù)鋵W(xué)討論班，開始轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)，后來，留學(xué)英國曼徹斯特大學(xué)師從紐曼(M. H. A. Newman，1897—1984)繼續(xù)拓?fù)鋵W(xué)研究。黃正中在上海交通大學(xué)任教時(shí)曾受到陳省身的指引而走向微分幾何學(xué)研究，也取得了一些重要成果，例如，對于C1黎曼流形給出鑒定法坐標(biāo)的充分必要條件，首次解決了托馬斯(T.Y.Thomas，1899—？)所提出的n-1型和n-2型黎曼空間，對空間曲線的封閉性提出鑒定方法等等。

2.1.2蘇步青領(lǐng)導(dǎo)的微分幾何學(xué)學(xué)術(shù)傳統(tǒng)

蘇步青是在繼承窪田忠彥學(xué)術(shù)思想的基礎(chǔ)上發(fā)展了微分幾何學(xué)，其中包括著名的“蘇步青錐面”“蘇步青鏈”，這成為整個(gè)仿射微分幾何曲面論的核心，蘇步青成為仿射微分幾何學(xué)的領(lǐng)導(dǎo)者之一，由此也奠定了他領(lǐng)導(dǎo)的微分幾何學(xué)學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)。

蘇步青曾先后在浙江大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)開展教學(xué)與研究，組織和領(lǐng)導(dǎo)微分幾何學(xué)討論班，由此取得了卓有成效的工作，該群體被譽(yù)為“中國微分幾何學(xué)派”，主要成員包括熊全治、方德植、谷超豪、張素誠、吳祖基、白正國、孫和生、張鳴鏞和李大潛等。其中，熊全治早期開展局部射影微分幾何研究，后來在美國留學(xué)師從格羅夫，轉(zhuǎn)向整體微分幾何，特別是積分幾何；方德植的研究工作受蘇步青的影響非常大，研究了仿射曼赫依姆曲線(Mannheim curve)等，將蘇步青所研究的射影微分幾何的曲面進(jìn)一步推廣到射影微分幾何的曲線；谷超豪成功地解決了蘇步青所提出的K展空間理論中一個(gè)未能解決的問題，后來到莫斯科大學(xué)訪學(xué)，受拉舍夫斯基和菲尼可夫的影響，研究無限連續(xù)變換擬群等；張素誠早期在蘇步青的基礎(chǔ)上開展有關(guān)平面曲線奇異點(diǎn)的研究，后來受陳省身和懷特海的影響，轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)；吳祖基創(chuàng)立了“吳氏二曲面”，開創(chuàng)了與曲面共變的漸近直紋面的研究；白正國開展射影曲面論的研究，解決了射影微分幾何學(xué)中著名的富比尼問題(Fubini’s problem)，后來轉(zhuǎn)向一般空間的微分幾何學(xué)的研究，特別是在閉曲線的整體幾何學(xué)的研究，推廣了著名的芬切爾定理(Fenchel’s theorem)；孫和生在蘇步青的指導(dǎo)下，結(jié)合吳新謀和維庫阿的學(xué)術(shù)思想，將廣義解析函數(shù)論應(yīng)用到微分幾何曲面變形論；張鳴鏞早期主要是對芬斯勒流形(Finsler manifold)做出了一些重要成果，后來到廈門大學(xué)轉(zhuǎn)向函數(shù)論的研究；李大潛早期在蘇步青領(lǐng)導(dǎo)的學(xué)術(shù)團(tuán)隊(duì)的熏陶和訓(xùn)練下，曾在閉曲線的整體幾何學(xué)領(lǐng)域有所成就，但是后來留學(xué)法國師從應(yīng)用數(shù)學(xué)家里翁斯，轉(zhuǎn)向應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，再后來與谷超豪在微分方程論領(lǐng)域開展合作研究。

由上可見，微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)已基本形成，這是在繼承國外優(yōu)秀學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上由數(shù)代中國微分幾何學(xué)家共同努力的結(jié)果，同時(shí)，也可以看出導(dǎo)師起到的關(guān)鍵性影響。但令人惋惜的是，由于國內(nèi)戰(zhàn)爭等多種因素的影響，陳省身后來到美國工作，對中國的整體微分幾何學(xué)發(fā)展影響比較大：雖然陳省身繼承前輩并開辟微分幾何學(xué)的中國新傳統(tǒng)，且繼續(xù)發(fā)揮其積極的作用，但是正處在學(xué)術(shù)發(fā)展關(guān)鍵時(shí)期的陳省身離開中國前往美國，從某種程度上來說，削弱了整體微分幾何學(xué)在中國發(fā)展正勁的勢頭，而對美國幾何學(xué)的快速發(fā)展發(fā)揮著舉足輕重的作用，“復(fù)興了美國的微分幾何，形成了美國的微分幾何學(xué)派”，“就美國幾何學(xué)復(fù)興的一個(gè)決定性因素而言，我認(rèn)為是陳省身于20世紀(jì)40年代末由中國移居到美國發(fā)揮著決定性的作用”，并且培養(yǎng)了野水克己(Katsumi Nomizu)、奧斯蘭德(L. Auslander)、丘成桐等杰出的微分幾何學(xué)家[15]，從而使美國在微分幾何學(xué)領(lǐng)域走到世界的前沿。

2.2 微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的特征

2.2.1源起并發(fā)展于國外優(yōu)秀的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)

微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)源起于國外。20世紀(jì)初微分幾何學(xué)處于迅速發(fā)展時(shí)期，中國學(xué)子跟隨國外導(dǎo)師才開始接觸和學(xué)習(xí)微分幾何學(xué)，這也顯示了中國微分幾何學(xué)學(xué)術(shù)傳統(tǒng)所具有的顯著特征：他們的導(dǎo)師基本上都是當(dāng)時(shí)微分幾何學(xué)的權(quán)威或領(lǐng)導(dǎo)者。因此，他們不僅跟上了微分幾何學(xué)的發(fā)展主流，而且繼承了國外導(dǎo)師的學(xué)術(shù)思想和學(xué)術(shù)風(fēng)格，奠定了微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的良好基礎(chǔ)。例如，蘇步青師從窪田忠彥開始了他的微分幾何學(xué)學(xué)術(shù)之路，而窪田忠彥曾與布拉施克同窗，是當(dāng)時(shí)射影微分幾何學(xué)發(fā)展的主要領(lǐng)導(dǎo)者，其中布拉施克是當(dāng)時(shí)仿射微分幾何學(xué)的主要開創(chuàng)者，窪田忠彥的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)為蘇步青后來在仿射微分幾何學(xué)的研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，開創(chuàng)了所謂的“蘇步青錐面”“蘇步青鏈”，使蘇步青成為仿射微分幾何學(xué)的主要貢獻(xiàn)者和領(lǐng)導(dǎo)者。又如，陳省身在布拉施克和嘉當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)下，迅速達(dá)到微分幾何學(xué)研究的前沿，證明高維的高斯-邦內(nèi)特公式，提出了陳示性類，為整體微分幾何學(xué)的建立奠定了基礎(chǔ)[18]。

2.2.2融入微分幾何學(xué)的發(fā)展主流

微分幾何學(xué)引入中國后，中國微分幾何學(xué)家便開始獨(dú)立開展研究，并在國內(nèi)組織一些微分幾何學(xué)討論班，將在國外學(xué)習(xí)或正在研究的微分幾何學(xué)作為討論和研究課題，從而緊跟微分幾何學(xué)前沿問題研究的步伐。同時(shí)，采用“請進(jìn)來，走出去”的辦法，先在國內(nèi)打基礎(chǔ)，后到國外繼續(xù)深造。從而使中國能夠基本上融入微分幾何學(xué)的發(fā)展主流，并有機(jī)會(huì)達(dá)到學(xué)術(shù)前沿。例如，嚴(yán)志達(dá)、孫本旺、吳光磊和王憲鐘都是在西南聯(lián)合大學(xué)參加由陳省身主持的微分幾何討論班，學(xué)習(xí)和研究“黎曼幾何”“圓球幾何學(xué)”和“外微分方程”等課程，這些課程都是陳省身在德國和法國留學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的最新內(nèi)容，甚至是其正在研究的整體微分幾何學(xué)的相關(guān)課題。他們有了對學(xué)術(shù)前沿的認(rèn)識(shí)，后來相繼到國外深造，繼續(xù)圍繞整體微分幾何學(xué)而開展相關(guān)的研究。

2.2.3學(xué)術(shù)研究同國家命運(yùn)與發(fā)展相結(jié)合

現(xiàn)代數(shù)學(xué)引入中國之際，中國青年學(xué)子正經(jīng)受著20世紀(jì)初“辛亥革命”“五四運(yùn)動(dòng)”等的影響和洗禮，“科學(xué)救國”思想深入到中國青年學(xué)子的心中。在這樣的社會(huì)大背景下，中國微分幾何學(xué)家從一開始便懷揣“科學(xué)救國”思想，將國家命運(yùn)與發(fā)展同其學(xué)術(shù)研究緊緊聯(lián)系在一起，并且把這種學(xué)術(shù)追求和精神信念深深地融入在他們的學(xué)術(shù)研究中，通過言傳身教潛移默化地影響著后來者，成為一種學(xué)術(shù)的精神傳統(tǒng)代代相傳，這是微分幾何學(xué)的中國學(xué)術(shù)傳統(tǒng)最顯著、獨(dú)特的特征。例如，姜立夫在時(shí)代背景的感召下，通過考試赴美國留學(xué)，并且立下了“中國要富強(qiáng)起來，需要科學(xué)，數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ)，因而需要數(shù)學(xué)，立志要把現(xiàn)代數(shù)學(xué)移植于中國”的宏愿。在1919年5月，姜立夫獲得博士學(xué)位后，在哈佛大學(xué)工作期間，欣然接受南開大學(xué)聘約回國，于1920年初在南開大學(xué)創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系。由此，姜立夫成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)在中國最早且最富成效的一位播種人，并為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)事業(yè)貢獻(xiàn)了畢生精力。姜立夫的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)和愛國精神在中國得到繼承和發(fā)展，陳省身就是典型代表之一。陳省身在國內(nèi)接受高等數(shù)學(xué)教育之后，留學(xué)德國和法國，此時(shí)的他在學(xué)術(shù)上開始嶄露頭角，但是他放棄國外優(yōu)厚的待遇和優(yōu)越的學(xué)術(shù)環(huán)境，毅然回到仍處在艱難抗戰(zhàn)中的中國，并在非常艱苦的條件下在西南聯(lián)合大學(xué)開展了富有成效的科研與教學(xué)工作，除了多篇論文發(fā)表在《數(shù)學(xué)紀(jì)事》(AnnalsofMathematics)等一流數(shù)學(xué)期刊上之外，更重要的是培養(yǎng)了很多優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)家，如嚴(yán)志達(dá)、王憲鐘、吳光磊等，他們后來都成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中堅(jiān)力量。

3 啟示

微分幾何學(xué)之所以在中國取得成就，主要是由于中國歷代微分幾何學(xué)家在模仿、摸索中推動(dòng)微分幾何學(xué)在中國的發(fā)展。因此，其背后也蘊(yùn)涵著微分幾何學(xué)在中國發(fā)展的某些規(guī)律，這為建設(shè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國帶來一些重要的啟示。

3.1 關(guān)于中國微分幾何學(xué)家的學(xué)術(shù)成長

(1)建立符合中國國情的人才培養(yǎng)機(jī)制。姜立夫等先驅(qū)者在模仿國外傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，努力在中國探索建立以學(xué)術(shù)研究帶動(dòng)人才培養(yǎng)的機(jī)制，也就是將學(xué)術(shù)研究同人才培養(yǎng)結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生通過解決微分幾何學(xué)中的若干問題來逐漸促成他們的學(xué)術(shù)成長、塑造他們的學(xué)術(shù)精神。這種機(jī)制在后來得到很好的繼承、鞏固和發(fā)展。因此，促成中國數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)成長機(jī)制時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)、完善或開拓以學(xué)術(shù)研究推動(dòng)人才培養(yǎng)的中國學(xué)術(shù)機(jī)制。

(2)發(fā)揮導(dǎo)師的學(xué)術(shù)主導(dǎo)作用。中國微分幾何學(xué)家在學(xué)術(shù)成長過程中，授業(yè)導(dǎo)師呈現(xiàn)多樣性，不僅有國外導(dǎo)師，而且有國內(nèi)導(dǎo)師，并且導(dǎo)師數(shù)量多寡不等。這些現(xiàn)象的背后起主導(dǎo)性作用的是導(dǎo)師的學(xué)術(shù)影響，導(dǎo)師的學(xué)術(shù)研究以及由此形成的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)影響和決定了跟隨者的學(xué)術(shù)研究方向，從而也進(jìn)一步地引導(dǎo)他們挑戰(zhàn)微分幾何學(xué)中的一些重要問題，在微分幾何學(xué)發(fā)展主流中開展中國的原創(chuàng)性工作。因此，在制定促成中國數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)成長機(jī)制時(shí)，應(yīng)注意建立導(dǎo)師全面負(fù)責(zé)制度，由導(dǎo)師的學(xué)術(shù)研究或由導(dǎo)師推薦來引導(dǎo)和影響學(xué)生逐步走上學(xué)術(shù)前沿[19]。

3.2 關(guān)于中國微分幾何學(xué)的發(fā)展規(guī)律

(1)學(xué)術(shù)研究同國家命運(yùn)與發(fā)展的結(jié)合。最早一批的中國微分幾何學(xué)家都深深受到“五四”愛國運(yùn)動(dòng)的影響，“科學(xué)救國”促其努力開展學(xué)術(shù)研究，并且代代相傳，“科學(xué)救國”的學(xué)術(shù)精神成為支撐其開展學(xué)術(shù)研究的主要精神動(dòng)力。因此，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展應(yīng)繼承和發(fā)展這種將科研同國家發(fā)展相結(jié)合的精神動(dòng)力，使之成為中國數(shù)學(xué)家刻苦工作的精神支柱和奮斗的力量源泉。

(2)在緊跟主流中展現(xiàn)創(chuàng)新。中國微分幾何學(xué)家們開展學(xué)術(shù)研究主要是采取跟隨方式，表現(xiàn)為從引入的開始便始終緊跟微分幾何學(xué)發(fā)展主流。在這種跟隨中,中國微分幾何學(xué)得到長足的發(fā)展，在某些領(lǐng)域開始躋身于學(xué)術(shù)前沿，已有一些原創(chuàng)性的中國成果。因此，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展要融入到世界數(shù)學(xué)發(fā)展主流中，在緊跟主流的發(fā)展過程中，試圖在若干條件成熟的領(lǐng)域爭取有較大的突破，由此來做大做強(qiáng)中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

3.3 關(guān)于中國微分幾何學(xué)家的學(xué)術(shù)自信

中國早期微分幾何學(xué)家在其學(xué)術(shù)剛剛起步的階段之所以敢于選擇、挑戰(zhàn)學(xué)術(shù)前沿甚至當(dāng)時(shí)是冷門的問題，其中無疑蘊(yùn)涵著他們對其學(xué)術(shù)研究的自信，而這種信念主要源于他們所繼承和發(fā)展的國內(nèi)外優(yōu)秀的微分幾何學(xué)傳統(tǒng)，形成于其學(xué)術(shù)研究和深度交流中。例如，陳省身由繼承國內(nèi)射影微分幾何學(xué)轉(zhuǎn)向整體微分幾何學(xué)時(shí)，整體微分幾何學(xué)當(dāng)時(shí)還是冷門方向，陳省身在當(dāng)時(shí)開展研究的過程中同樣也受到過一些冷遇等現(xiàn)象，但他并沒有由此而退縮、抱怨。相反地，陳省身有更加堅(jiān)定的信心，這是因?yàn)椋阂环矫?，他與當(dāng)時(shí)已是著名數(shù)學(xué)家的外爾(H. Weyl，1885—1955)、韋伊(A. Weil，1906—1998)、韋布倫(O. Veblen，1880—1960)等對于整體微分幾何學(xué)形成了一些學(xué)術(shù)共識(shí)[2]；另一方面，他在整體微分幾何學(xué)研究的過程中已形成并具備了對學(xué)科發(fā)展的敏銳性。因此，現(xiàn)任中國數(shù)學(xué)會(huì)理事長田剛教授在其就職報(bào)告中特別提到當(dāng)前中國數(shù)學(xué)家的學(xué)術(shù)自信問題等。我們可以從中獲得一點(diǎn)借鑒：中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家應(yīng)該繼承國內(nèi)外優(yōu)秀的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，在學(xué)術(shù)研究和深度交流的過程中探索學(xué)術(shù)發(fā)展的共識(shí)，提高關(guān)于學(xué)術(shù)原創(chuàng)的敏銳度，克服學(xué)術(shù)“無人區(qū)”的心理障礙，從而確立學(xué)術(shù)自信。