徐 君

(包頭師范學院數(shù)學科學學院，包頭 014030)

1 引言

《數(shù)度衍》(1661)是清初數(shù)學家方中通(1634—1698)的著作。全書共26卷，卷首分為數(shù)源、律衍、幾何3卷，其余23卷，分述珠算、筆算、尺算、籌算等知識[1]，涉獵內容非常廣泛，因此《數(shù)度衍》被史學家稱為“是當時一部數(shù)學上的百科全書”[2]。江戶(1603—1867)時代，中國傳統(tǒng)數(shù)學東傳日本的規(guī)模很大，前所未有。此間《數(shù)度衍》于1726年傳入日本[3]，戶板保佑(Toita Yasusuke，1708—1784)《關算完傳》101卷(1780)轉載了《數(shù)度衍》[4]，《數(shù)度衍》在關流中流傳開來。小出兼政(Koide Kensei，1797—1865)所著的《〈數(shù)度衍〉評林》(天保4年，1833)是針對《數(shù)度衍》首卷“數(shù)源”與卷八“測圓”進行評論，也是現(xiàn)今極少可見的《數(shù)度衍》傳到日本后對其進行討論的史料證據(jù)。小出兼政，通稱長十郎，字修喜。文政2年(1819)獲宮城流皆傳，文政9年(1826)6月入和田寧(Wata Yasushi，1787—1840)之門，同年8月師從日下誠(Kusaka Makoto，1764—1839)，受關流宗統(tǒng)皆傳，另受最上流傳百余卷。文政12年(1829)隨關流大家和田寧受圓理豁術，故而自稱為“四流兼學”(宮城流、關流、最上流、和田寧流)[5]。

現(xiàn)代中算史家對《數(shù)度衍》的研究多是從版本、內容以及取材來源等角度評述[2，6，7]，而東傳日本的情形尚未涉及?！稊?shù)度衍》傳入日本一百多年后，已是和算發(fā)展晚期，小出著《〈數(shù)度衍〉評林》對《數(shù)度衍》內容進行探討，自然引發(fā)研究者的關注。例如，小出著《〈數(shù)度衍〉評林》目的是什么，為什么僅選擇“數(shù)源”與“測圓”兩節(jié)內容進行評論，小出又做了怎樣的工作，有何創(chuàng)新之處等問題?；诖?，本文嘗試對《〈數(shù)度衍〉評林》進行考查，展現(xiàn)小出對東方傳統(tǒng)數(shù)學文化的理解與看法。

2 《〈數(shù)度衍〉評林》之內容

《〈數(shù)度衍〉評林》(圖1)主要分為兩部分：第1部分是對《數(shù)度衍》首卷“數(shù)源”節(jié)中方陣(縱橫圖)的分析討論，又介紹了聚環(huán)與圓攢等內容；第2部分是結合點竄術對《數(shù)度衍》卷八“測圓”節(jié)勾股內容圓問題的推理演算。

圖1 《〈數(shù)度衍〉評林》書影

2.1 方陣

《數(shù)度衍》首卷“數(shù)源”節(jié)中載有三階、四階至十階的縱橫圖，但只有圖而沒有具體的構造方法。因而小出認為《數(shù)度衍》一書中雖給出三到十方陣的結果，但并沒有明確指出方法，即“為能盡人心之勞”[8](1)以下引文皆出此處，不再注明。。小出把方陣分為奇、偶兩種情況。第一奇方陣：

評曰：以洛書稱方陣，天理自然奇數(shù)也，三方、五方、七方皆謂奇方陣。隨天數(shù)始于坎宮終于離宮，以中數(shù)(三方者五，五方者十三，皆仿之)為中央，以其方陣數(shù)(三方者三，五方者五)充震宮，是則洛書之本意也。

從位置角度給出一種構造奇方陣的思想。為說明需要，小出進一步定義了相關術語，以三階方陣為例：

圖2 洛書圖

經(jīng)緯之數(shù)各十五個，斜之數(shù)又相同(東西謂經(jīng)，南北謂緯，以下仿之)。

如圖2所示，其中采用八卦為主要術語，二、四、六、八、一、三、七、九分別處在方陣圖中的坤、巽、乾、艮、坎、震、兌、離位置，即用八卦表示奇方陣中的八個方位。同時規(guī)定橫為“經(jīng)”，豎為“緯”。

可將“原表”作成如下形式的位置表(表1)：

表1 原表與譯圖表對照表

其中aji(i，j=1，2，…，n)，代表i經(jīng)j緯的數(shù)字。則可知表中a32代表數(shù)字八，a23代表數(shù)字六，如此類推。小出以三、五階方陣為例，解釋從原表推算出側書的過程，并找到規(guī)律，列表如下(表2)：

表2 原表推算側書的過程

從而總結出求解奇方陣的一般方法，具體如下，先列出“原表”圖(圖3)，其中n=3，5，7，…。

之后求解側書圖，按以下規(guī)律填寫數(shù)字：

圖3 奇方陣通用原表圖

圖4 奇方陣通用側書圖

(2)填充震宮位置的數(shù)為a1n，即“以其方陣數(shù)充震宮”，以“中緯行”為對稱軸，得到兌宮位置的數(shù)為an1，同時下標數(shù)j按從1至n的順序填寫，而i的順序與j相反，可找到“中經(jīng)行”。

(3)“中緯者”的下標數(shù)j是從1至n，由北向南順次排列，即“順升”。處在中緯行東側位置的下標數(shù)依次“進位”(例如1，2，3，4，5。進一位為5，1，2，3，4；進二位為4，5，1，2，3；其他仿此)之后“順升”，即“東緯者進位順升”。而處在中緯行西側位置的下標數(shù)依次“退位”(例如1，2，3，4，5。退一位為2，3，4，5，1；退二位為3，4，5，1，2；其他仿此)之后“順升”，即“西緯者退位順升”。

(4)“中經(jīng)者”的下標數(shù)i是從1至n，由西向東順次排列，即 “一二三順行”。處在中經(jīng)行南側位置的下標數(shù)“自二始”，之后依次“順旋”，即“南經(jīng)者自二始順旋”，而處在中經(jīng)行北側位置的下標數(shù)始自n，之后依次“順旋”，即“北經(jīng)者自三(n)始順旋”。

這樣，小出又以五方陣為例驗證此法的正確性，并進一步推導出七方陣與九方陣圖，而小出所得結論與《數(shù)度衍》原書中的不一樣，顯然是由兩人所用方法不同所致。

第二“偶方陣之解”。原文有：

夫偶方陣者有二種，一者以四方、八方、十六方為質題；一者以六方、十方、十二方為文題。是謂奇偶因數(shù)，六則二與三相乘(二、三之六)，十則二與五相乘(二、五之十)，十二則三與四相乘(三、四之十二)也。奇偶相因之數(shù)則別有補術焉。偶者坤二、巽四、乾六、艮八也，皆在隅宮。視于偶方陣之中央無中間可座之所,坎宮、離宮亦同，奇偶之術所以異矣。

小出的“質題”原圖列表如下(表3)：

表3 小出的“質題”原圖與側書

圖5 質題方陣通用側書圖

2.2 勾股內容圓問題

小出在“勾股內容圓之條”中說：“夫以勾股者，矩之根元，而算家不依于此理而何得方理之術乎。方成而后求圓理，皆在此勾、股、弦之三件。今本書(《數(shù)度衍》)勾股內容圓術凡八十八題(2)實際上是89道題，原文數(shù)量計算有誤。，各難問也，視其術則最能竭，借字顯術不備解矣?！?/p>

指出“勾股”之“理”在和算中的重要意義，且稱贊《數(shù)度衍》中“勾股內容圓術”的89個問題“視其術則最能竭”，但其中的不足是“借字顯術不備解”。因此小出結合點竄術逐一地對89問進行推算證明，以下僅選擇第1題進行介紹，以現(xiàn)其旨(表4)。

表4 《數(shù)度衍》“勾股內容圓術”第1題圖文對照表

《數(shù)度衍》原文的解法：“勾股相乘，得十二萬二千八百八十。倍之，得二十四萬五千七百六十為實。勾股求弦，得五百四十四，以并股，得一千○二十四為法。除實得二百四十為圓徑?！?/p>

表5 推算過程原文與譯文對照表

續(xù)表5

3 討論

由上可知，小出給出一種構造方陣的新方法。在勾股內容圓問題中，逐一詳細地為每個問題列出求解過程，補充《數(shù)度衍》中沒有做的工作，并表現(xiàn)出了一定的解題技巧。當然，小出在此所做工作并不僅是為了補充方法這么簡單，還有更深的寓意。為此，先對中日“縱橫圖”的發(fā)展歷程進行簡要回顧?！翱v橫圖”一詞，由南宋楊輝首創(chuàng)，易縱橫圖起源于易數(shù)研究，數(shù)學之中縱橫圖可能受到易縱橫圖的啟發(fā)，甚至可能直接源于易數(shù)研究[9]。漢代已有了三階縱橫圖，稱為九宮圖。到了13世紀縱橫圖開始向高階發(fā)展，楊輝《續(xù)古摘奇算法》(1275)中已有了十階縱橫圖，此外還有幻圓等組合圖形。與他同時代的丁易東在其《大衍索隱》中也對縱橫圖頗有研究[10]。在明朝王文素的《古今算學寶鑒》(1524)和程大位的《算法統(tǒng)宗》(1592)中有不少關于縱橫圖的討論?！端惴ńy(tǒng)宗》給出縱橫圖14種，這些圖大部分與楊氏的圖相同，僅有“五五圖”“六六圖”“聚六圖”“八陣圖”4種稍異。方中通《數(shù)度衍》載縱橫圖14種，大部分引自程氏《算法統(tǒng)宗》，僅“五五圖”與程氏的圖稍有不同。隨著中算數(shù)學著作傳入日本，和算家對方陣也進行了研究,給出多種方法。如有：關孝和(Seki Takakazu，1642？—1708)的《方陣之法·圓攢之法》(1683)明確總綱，以例說明構造。建部賢弘(Takebe Katahiro，1664—1739)的《建部先生方陣新術》(年代不詳)用格交換方法構造方陣。久留島義太(Kurushima Yoshihiro，？—1757)的《方陣之法并解》(年代不詳)采取斜進法說明構造過程。還有松永良弼(Matsunaga Yoshisuke，？—1744)、安島直圓(Ajima Naonobu，1732—1798)等人都曾研究過縱橫圖的構造方法。但小出的方法與以上各法都不同，小出的方法應源于宅間流五代傳人松岡能一(Matsuoka Yoshiichi，1737—1804)的《方陣圓陣解》(年代不詳)，通過內容比較可發(fā)現(xiàn)，在求奇方陣時，小出的構造法與松岡一致，但松岡沒有給出任何文字解釋，使讀者較難理解其中的道理，小出則給出了細致、全面的說明。求偶方陣時，小出給出了構造“質題”方陣的新方法，松岡則沒有發(fā)現(xiàn)這一做法。

再看勾股內容圓問題的發(fā)展過程。勾股容圓問題可追溯到方中容圓、圓中容方等相容問題，中國現(xiàn)存最早的數(shù)學著作《算數(shù)書》中就有“以圓材方”和“以方材圓”的問題[11]。《九章算術》初次載有勾股容圓問題，即已知勾股形的勾、股，求其內切圓的直徑。到宋、元時代，勾股容圓成為重要的研究專題，集中體現(xiàn)于李冶(1192—1279)的《測圓海鏡》(1248)。書中以“圓城圖式”為核心，構造性地編創(chuàng)了170道題[12]?！稊?shù)度衍》中的勾股內容圓問題根源于李冶的《測圓海鏡》，但從方氏收錄的內容來看，應是受到了顧應祥《測圓算術》(1553)的影響。早期的和算著作中也有許多關于勾股容圓問題的記述，如村松茂清(Muramatsu Shigekiyo，1608—1695)的《算俎》(1663)，澤口一之(Sawaguchi Kazuyuki，生卒年不詳)的《古今算法記》(1671)，井關知辰(Izeki Tomotoki，生卒年不詳)的《算法發(fā)揮》(1690)等，其特色是把勾股容圓題改變?yōu)楣垂蓛热輧蓤A、三圓等問題。之后，勾股容圓問題研究朝著容多圓的方向發(fā)展，有馬賴徸(Arima Yoshihiro，？—1757)的《拾璣算法》(1769)、藤田貞資(Fujita Sadasuke，1734—1807)的《精要算法》(1781)，以及安島直圓的《不朽算法》(1799)等書，又創(chuàng)造了許多與勾股容圓相關的奇特圖形問題。

另外，還有必要指明小出所使用的符號體系點竄術。點竄術可追溯到關氏的傍書法，傍書法源于天元術。關氏傍書法不僅可表示分數(shù)與無理數(shù)，還改天元術的籌算為筆算。特別是多元高次方程符號表示法的建立，既可以在解題中對方程進行恒等變形，又可以消去某些沒有必要的未知量，這種計算方法稱作演段術。傍書法與演段術合起來稱為點竄術。點竄術后經(jīng)建部賢弘、松永良弼等和算家的發(fā)展與改進，構成了和算的符號體系。

小出所采用點竄術的基本符號書寫方法如下所示(表6)：

表6 小出所采用點竄術的基本符號書寫方法與今譯符號對照表

中間的豎線來源于中國古代的算籌，當為負數(shù)時，在豎線上加一斜線。豎線還等同于現(xiàn)代的分數(shù)線，在豎線的左右兩側書寫文字，右側為分子，左側為分母。由于中間的豎線源于算籌，所以在計算過程中，系數(shù)有時也用籌式表示，即中國古代的算籌表示法。通過前面的介紹可知，在具體的解題過程中，點竄術不僅能準確展現(xiàn)出計算過程，還能很好地表達數(shù)學家的思維過程，同時體現(xiàn)數(shù)學符號語言的簡潔與高效。

可見，和算家對中算縱橫圖、勾股容圓問題和數(shù)學符號的繼承與發(fā)展，即中算與和算一脈相承，中算是和算的母體，和算的問題、語言、方法來源于中算或由中算衍生、發(fā)展而來，且上述數(shù)學知識在和算中也得到較好發(fā)展并成體系。小出也深明此理，他指出：“夫以勾股者，矩之根元，而算家不依于此理而何得方理之術乎。方成而后求圓理，皆在此勾、股、弦之三件?！奔础肮垂伞痹从谥兴?，“勾股”是“矩之根元”，有了此理才推出“方理之術”，進而有了和算中優(yōu)秀成果“圓理”。從而可揭示出小出著《〈數(shù)度衍〉評林》的目的，就是數(shù)學的傳承與發(fā)展要有新問題的提出、新方法的出現(xiàn)以及數(shù)學符號語言的改進，即創(chuàng)造性的繼承是數(shù)學文化發(fā)展與延續(xù)的保障。小出之所以借助《數(shù)度衍》一書來闡述自己的觀點，主要應有四個原因：第一，方中通著的《數(shù)度衍》主張的是“西學中源”說，其中包含有中算為主的東方傳統(tǒng)數(shù)學文化源遠流長之意。第二，方中通在介紹縱橫圖與勾股內容圓問題時都沒有給出計算方法，也為小出研究工作提供了空間。第三，小出所討論的縱橫圖與勾股算術內容在中算與和算中一直都有著較好的發(fā)展，不僅傳承時間久遠，而且各種構造方法也層出不窮，借此能較好地說明東方傳統(tǒng)數(shù)學文化源遠流長的原因。第四，《數(shù)度衍》一書的內容幾乎收錄了當時中國傳統(tǒng)數(shù)學中的全部內容，選擇對《數(shù)度衍》進行評論，更能突顯宣揚東方傳統(tǒng)數(shù)學文化的意義。

4 結語

以漢字文化圈整體視域研究東亞數(shù)學史，不僅歷史資料互補，而且通過對和算、東算的漢文化溯源以及對中算在周邊國家發(fā)展態(tài)勢的考察，可以深化對各國數(shù)學史的理解與認知，進而認識東亞數(shù)學的共同特征[13]?！丁磾?shù)度衍〉評林》不僅體現(xiàn)了小出對數(shù)學文化傳承與發(fā)展的認識，也反映了中算與和算之間的關系。和算家對方陣構造法的探究、勾股容多圓問題的發(fā)展和點竄術符號體系的建立，說明和算在中算的基礎上，創(chuàng)造了新的數(shù)學問題、語言、方法，這正是和算文化體系逐漸形成的原因之一。小出重視數(shù)學思想方法在數(shù)學中不可或缺的地位，應推陳出新，而方中通在“西學中源”思想指導下編寫《數(shù)度衍》一書，強調中算文化歷史的源遠流長。不管東方傳統(tǒng)數(shù)學文化或“興”或“衰”，數(shù)學家都會孜孜以求，研究不殆，究其根因，是數(shù)學家對東方傳統(tǒng)數(shù)學文化的自信、自強、自立?？梢哉f，創(chuàng)造性的繼承是數(shù)學文化發(fā)展與延續(xù)的保障，文化自信是數(shù)學文化生存的根基。