楊乃鋒

（甘肅省鎮(zhèn)原縣郭原鄉(xiāng)西楊小學(xué) 甘肅·慶陽(yáng) 744522）

1 數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的文獻(xiàn)回顧與分析

近年來(lái)，隨著新課程改革理念的深入發(fā)展，數(shù)學(xué)史融入中小學(xué)教學(xué)的趨勢(shì)明顯，且不斷升溫。檢索知網(wǎng)、維普、萬(wàn)方等數(shù)據(jù)庫(kù)，可以發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)圍繞“數(shù)學(xué)史”“數(shù)學(xué)教學(xué)”的文獻(xiàn)研究主要有如下三個(gè)方面：

1.1 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系研究

劉興祥等人在《數(shù)學(xué)教學(xué)中貫穿數(shù)學(xué)史的實(shí)踐》（1999）中，通過(guò)“愛(ài)國(guó)主義、數(shù)學(xué)家故事、數(shù)學(xué)故事、古代數(shù)學(xué)思想等，探討如何將數(shù)學(xué)史貫穿到數(shù)學(xué)教學(xué)的有效途徑，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量”。[1]蒲淑萍、汪曉勤在《教材中的數(shù)學(xué)史：目標(biāo)、內(nèi)容、方式與質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研究》（2015）中，結(jié)合HPM 教學(xué)走進(jìn)常態(tài)課堂的現(xiàn)狀，思考教材中的數(shù)學(xué)史使用現(xiàn)狀及存在問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上，探討“融數(shù)學(xué)史于教材的目標(biāo)維度、價(jià)值取向及其對(duì)應(yīng)關(guān)系，并進(jìn)一步從健全教材編寫(xiě)隊(duì)伍、HPM 教學(xué)實(shí)踐反思、配套案例、方法引導(dǎo)等方面提出數(shù)學(xué)史的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”。[2]

1.2 關(guān)于數(shù)學(xué)史知識(shí)的掌握現(xiàn)狀調(diào)查

教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的高低直接影響到數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用效率。2001 年，羅小兵在《關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史知識(shí)的調(diào)查與分析》中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)史測(cè)試卷題，對(duì)70 多名數(shù)學(xué)教師進(jìn)行測(cè)試，開(kāi)啟了數(shù)學(xué)史知識(shí)現(xiàn)狀調(diào)查的先河，論文圍繞教師對(duì)數(shù)學(xué)史的了解與掌握程度，圍繞我國(guó)古代的《九章算術(shù)》、古希臘歐幾里得《幾何原本》、祖沖之對(duì) 值的精確、陳景潤(rùn)關(guān)于“1+2”的研究、笛卡爾對(duì)微積分的創(chuàng)立等問(wèn)題展開(kāi)調(diào)查，根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史水平不高，造成他們數(shù)學(xué)史知識(shí)匱乏的主要原因包括高等教育培養(yǎng)機(jī)制落后、數(shù)學(xué)史在應(yīng)試中的分值及價(jià)值導(dǎo)向、教師自身對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)等，在此基礎(chǔ)上提出增強(qiáng)教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的具體建議。隨后，對(duì)于數(shù)學(xué)史知識(shí)的調(diào)查與分析的研究不斷深入。2016 年，周敏斌《小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史知識(shí)的現(xiàn)狀調(diào)查與分析》改進(jìn)了調(diào)查方法，他“運(yùn)用問(wèn)卷調(diào)查與訪(fǎng)談法對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)一線(xiàn)教師與職前教師的數(shù)學(xué)史知識(shí)現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)教師的數(shù)學(xué)史知識(shí)水平普遍偏低，且局限于教材所涉及的數(shù)學(xué)史料，多數(shù)教師對(duì)數(shù)學(xué)史的了解不夠系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)策略”。[3]

1.3 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用研究

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，肇始于高等教育中的數(shù)學(xué)史課程的開(kāi)設(shè)，后來(lái)隨著新課改的深入與推進(jìn)，中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中開(kāi)始滲透數(shù)學(xué)史的教育。較早的有唐紹友的《數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史教育的途徑》（1997），他結(jié)合具體的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，提出“根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及特點(diǎn)從課題引入、知識(shí)生成、數(shù)學(xué)思想滲透、美的熏陶等方面融數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)課堂的有效方法”，[4]并對(duì)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了有效反思。2000 年，傅海倫在《論數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用——從“雞兔同籠”問(wèn)題談起》中，深入梳理“雞兔同籠”這一著名數(shù)學(xué)問(wèn)題溯源及切入，以此思考“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的現(xiàn)實(shí)意義及存在問(wèn)題”。[5]

總結(jié)上述研究，可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究與實(shí)踐正日益升溫，且逐漸向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域滲透，但有關(guān)這方面的理論研究較少，難以對(duì)教學(xué)實(shí)踐的開(kāi)展形成強(qiáng)有力的理論支撐。因此探討數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的策略，既是提升教師數(shù)學(xué)史水平、優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、順應(yīng)數(shù)學(xué)新課程改革發(fā)展的外在體現(xiàn)，也是從根本上提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣、全面發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)在要求。

2 數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略

2.1 情境演示，激發(fā)興趣

數(shù)學(xué)史料中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)故事、典型問(wèn)題、傳統(tǒng)文化等，數(shù)學(xué)史料可以轉(zhuǎn)化為具體的情境素材，為構(gòu)建充滿(mǎn)活力的數(shù)學(xué)課堂提供資源支持，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。從心理認(rèn)知角度來(lái)看，小學(xué)生的注意力不太穩(wěn)定，也不夠持久，他們對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、公式及定理的理解存在一定難度，而生動(dòng)形象的教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，能夠提高學(xué)生的課堂注意力，加深他們對(duì)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的理解。統(tǒng)編版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有數(shù)學(xué)史料的零星呈現(xiàn)，然而這些數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)缺乏系統(tǒng)性與整合性。對(duì)此，教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行知識(shí)與情境的整合，以生動(dòng)形象的教學(xué)情境來(lái)激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知和興趣，將零散的數(shù)學(xué)史料蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)情境之中，以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理及抽象模型的全面理解程度，讓學(xué)生在情境中探究，真正體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)“寓學(xué)于樂(lè)”的課堂效果。比如，在統(tǒng)編版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級(jí)下冊(cè)的《認(rèn)識(shí)七巧板》教學(xué)中，教師讓學(xué)生動(dòng)手操作，探究七巧板有幾種操作方法：用一套七巧板中的若干個(gè)圖形拼成三角形；挪動(dòng)七巧板中的某個(gè)三角形，使其變?yōu)檎叫位蜷L(zhǎng)方形。這樣，學(xué)生在七巧板游戲中獲得“寓學(xué)于樂(lè)”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，也加深了對(duì)三角形或四邊形的認(rèn)識(shí)與理解。這一情境之所以引發(fā)學(xué)生的極大興趣，是因?yàn)榻處煵](méi)有直接呈現(xiàn)問(wèn)題，而是在豐富學(xué)生有關(guān)七巧板的知識(shí)儲(chǔ)備，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生了解七巧板的由來(lái)，使學(xué)生感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與探究數(shù)學(xué)的動(dòng)力。

2.2 引出問(wèn)題，啟發(fā)探究

數(shù)學(xué)史既有對(duì)典型數(shù)學(xué)思想及模型的思考與發(fā)現(xiàn)，又有數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)理問(wèn)題堅(jiān)持不懈的探索，有些數(shù)學(xué)名題的探索與發(fā)現(xiàn)甚至凝結(jié)著幾代數(shù)學(xué)家的智慧，問(wèn)題本身就是生動(dòng)的數(shù)學(xué)史料形式，能夠有效啟發(fā)學(xué)生的自主探究意識(shí)，提高學(xué)生的主動(dòng)思考能力，使其積極參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的探索中來(lái)。也有不少數(shù)學(xué)史料中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的同時(shí)也了解到對(duì)某個(gè)問(wèn)題的不同解法，有利于思維的發(fā)展與訓(xùn)練。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入這些數(shù)學(xué)史料，呈現(xiàn)典型數(shù)學(xué)問(wèn)題，既是對(duì)教材內(nèi)容的拓展延伸，也是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究素養(yǎng)的有效發(fā)展。將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解數(shù)學(xué)史的同時(shí)，也是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的系統(tǒng)思考與探索的過(guò)程，這對(duì)于培養(yǎng)他們的科學(xué)求知精神具有積極作用。比如，在統(tǒng)編版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”板塊，教師可以通過(guò)古代《孫子算經(jīng)》中的數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”的問(wèn)題，來(lái)啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用假設(shè)法、猜想法、列舉法、代數(shù)法等思考并解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。在學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生思考史料中的“砍足法”，感受古人巧妙的解題思路。這樣，學(xué)生便能夠跳出問(wèn)題本身來(lái)比較不同數(shù)學(xué)方法，從具體問(wèn)題上升到數(shù)學(xué)規(guī)律，探索典型數(shù)學(xué)問(wèn)題所蘊(yùn)含的典型數(shù)學(xué)思想。

2.3 呈現(xiàn)史料，豐富認(rèn)知

數(shù)學(xué)史揭示了社會(huì)文化與數(shù)學(xué)探索之間的相互關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的過(guò)程，也是了解多元數(shù)學(xué)文化的過(guò)程。豐富的數(shù)學(xué)史料不但豐富了教師的知識(shí)儲(chǔ)備，而且能夠?qū)?shù)學(xué)史的發(fā)展與成果呈現(xiàn)給學(xué)生，或細(xì)節(jié)管窺，或簡(jiǎn)略概述，或研究對(duì)比，以豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知與理解，使學(xué)生獲得類(lèi)比、歸納、假設(shè)、推理等思維的訓(xùn)練與發(fā)展。從認(rèn)知學(xué)習(xí)理論來(lái)看，學(xué)習(xí)者對(duì)某一知識(shí)知道得越是詳細(xì)，了解得越是具體，也就越能夠運(yùn)用精加工策略，對(duì)信息進(jìn)行重構(gòu)與整合，其學(xué)習(xí)效率就越高。有一組實(shí)驗(yàn)對(duì)比：讓A、B 兩個(gè)平行組的小學(xué)生學(xué)習(xí)方程，其中A 組的6 個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)方程模型及應(yīng)用，B 組的6 個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)方程模型及應(yīng)用后，運(yùn)用7-10 分鐘拓展數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有關(guān)方程解決實(shí)際問(wèn)題的史料記載，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾首用x、y 等字母代替未知數(shù)并形成方程，以豐富對(duì)方程的認(rèn)知與思考。當(dāng)堂練習(xí)檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)B 組學(xué)生正確率明顯高于A 組。比如，在部編版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“年月日”教學(xué)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生將“年月日”的相關(guān)知識(shí)編成順口溜，以加強(qiáng)記憶，學(xué)生提出疑惑：為什么二月的天數(shù)最少？教師：這是歷法的規(guī)定，只需牢牢記住即可。事實(shí)上，“年月日”的排列及大月、小月的劃分有其歷史淵源。教師可以給學(xué)生補(bǔ)充數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生理解：今天我們所沿用的歷法源自古羅馬，當(dāng)時(shí)人們觀(guān)察到月亮的圓缺變化是有規(guī)律的，愷撒大帝就據(jù)此來(lái)劃分月份，將一年分為十二個(gè)月，根據(jù)月份的奇偶數(shù)來(lái)確定大小月，一年中多出一天，因二月份是處決死刑犯的月份，人們希望月份越短越好，于是減為29 天。后來(lái)，奧斯古皇帝因不滿(mǎn)意自己的出生月份8 月是小月，于是將其改為大月，并將下半年的偶數(shù)月都定為大月，這樣一年中又多出一天，二月份就成了28 天。這樣，教師以數(shù)學(xué)史融入課堂，既能夠拓寬學(xué)生的知識(shí)面，使其認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展演變過(guò)程，又能夠豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)，使其獲得對(duì)數(shù)學(xué)探索的感性認(rèn)識(shí)。

2.4 關(guān)注審美，內(nèi)化素養(yǎng)

對(duì)數(shù)及數(shù)理關(guān)系的認(rèn)知，往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的審美價(jià)值。數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生在理性的分析、判斷、推理過(guò)程中，關(guān)注數(shù)學(xué)審美的滲透，既能開(kāi)闊他們的數(shù)學(xué)視野，又能活躍他們的課堂氣氛，使其充分理解數(shù)學(xué)的形式與本質(zhì)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展與提升。數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，并非是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)、補(bǔ)充或拓展，而是將數(shù)學(xué)史料與課堂教學(xué)充分整合與銜接，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要概念、理解數(shù)學(xué)公式或定理、充分體會(huì)數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，豐富對(duì)數(shù)學(xué)的審美認(rèn)知。這樣，學(xué)生在七巧板游戲中感受圖形的結(jié)構(gòu)美，在“雞兔同籠”問(wèn)題中體會(huì)數(shù)學(xué)的思維美，在“÷”及分?jǐn)?shù)線(xiàn)的認(rèn)識(shí)中理解數(shù)學(xué)各符號(hào)的簡(jiǎn)潔美。比如，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級(jí)下冊(cè)的“兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）”的教學(xué)中，教師可以引入古代的“算籌”，讓學(xué)生用火柴棒擺一擺算籌，用以表示相應(yīng)的數(shù)字及加減法。這樣，從活動(dòng)中了解算籌是古代重要的數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)工具之一。學(xué)生通過(guò)算籌計(jì)算與數(shù)字計(jì)算，體會(huì)現(xiàn)代計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)約與高效，感受數(shù)學(xué)的抽象美、簡(jiǎn)潔美、和諧美。

2.5 史料歸納，拓展提升

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南，將史料應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂的復(fù)習(xí)、新知學(xué)習(xí)、總結(jié)歸納等環(huán)節(jié)，能夠幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)化的知識(shí)體系，讓學(xué)生貫通課內(nèi)與課外，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的持續(xù)探索。數(shù)學(xué)既有工具性?xún)r(jià)值，也有人文性?xún)r(jià)值。當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，重知識(shí)結(jié)論而輕探索過(guò)程，學(xué)生記公式，背法則，這種學(xué)習(xí)枯燥而低效的現(xiàn)狀難以改變，因缺乏對(duì)數(shù)學(xué)史的融入，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂人為割裂了數(shù)學(xué)公式、定理與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化的聯(lián)系。如果能夠在課堂小結(jié)中引入數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理背后的故事，那么學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解將更為立體化。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)史料中的“曲折探索”可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考，提高數(shù)學(xué)課堂的實(shí)效性。教師豐富對(duì)數(shù)學(xué)史料的認(rèn)知與理解，了解數(shù)學(xué)史上有關(guān)某一數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維陷阱與認(rèn)知障礙，往往能夠預(yù)測(cè)學(xué)生在解題過(guò)程中的思維陷阱與認(rèn)知障礙，將史料融入數(shù)學(xué)課堂能夠讓學(xué)生在原有的知識(shí)基礎(chǔ)上形成拓展提升。比如，在“人教版”小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算”的教學(xué)中，教師結(jié)合“你知道嗎”板塊所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)學(xué)生閱讀有關(guān)“÷”的數(shù)學(xué)史知識(shí)，讓學(xué)生了解古人關(guān)于分?jǐn)?shù)的表示方法，思考“÷”的來(lái)歷及分?jǐn)?shù)線(xiàn)的發(fā)明，這樣學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的表達(dá)及意義會(huì)理解得更為透徹，為后面深入學(xué)習(xí)除法形成知識(shí)儲(chǔ)備。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中注重?cái)?shù)學(xué)史的滲透，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式的理解與掌握更為精準(zhǔn)，數(shù)學(xué)符號(hào)書(shū)寫(xiě)及數(shù)學(xué)公式運(yùn)用的正確率更高。

3 結(jié)束語(yǔ)

從目前來(lái)看，數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)尚處于初始階段，要扭轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂的“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”的尷尬局面，需要教師提高自身數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)與理解，使數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)更好的整合與銜接。