常璧麟,龍離軍,程楊,劉雪意,申子晗,王澤通

(東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,110819,沈陽(yáng))

近年來(lái),四旋翼飛行器由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量小、噪聲低、易于操作等優(yōu)點(diǎn)而成為一種流行的小型飛行器,并在緊急搜救、航拍攝影、軍事偵察等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]。

事件觸發(fā)控制是一種可以高效利用資源的控制策略。在傳統(tǒng)的周期采樣控制中,系統(tǒng)以固定的時(shí)間間隔進(jìn)行信息傳輸與控制更新,不可避免地會(huì)造成系統(tǒng)資源的浪費(fèi)。在事件觸發(fā)控制中,系統(tǒng)信息的傳輸則由系統(tǒng)內(nèi)特定的事件觸發(fā),即只在系統(tǒng)需要時(shí)才進(jìn)行信息采樣與控制更新,能有效節(jié)省通信與計(jì)算資源。另外,事件觸發(fā)控制還能提供更強(qiáng)大的反饋能力,特別是在抵御非線性、補(bǔ)償不確定性方面具有較大的優(yōu)勢(shì)[4-5]。

由于四旋翼飛行器本身是一種很復(fù)雜的非線性系統(tǒng),且在飛行過(guò)程中易受到氣流擾動(dòng)、陀螺效應(yīng)等物理效應(yīng)的影響,設(shè)計(jì)其控制系統(tǒng)也就變得異常復(fù)雜[6]。目前,國(guó)內(nèi)外研究者在四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)上開(kāi)展了大量的研究工作。其中,常見(jiàn)的控制器設(shè)計(jì)方法主要有PID控制、魯棒控制、反步控制等。文獻(xiàn)[1]研究了基于反步法的四旋翼飛行器增穩(wěn)混合控制方法,用反步法設(shè)計(jì)的控制器對(duì)飛行器姿態(tài)進(jìn)行控制,用模糊自適應(yīng)PID控制器對(duì)飛行器高度和位置進(jìn)行控制;文獻(xiàn)[2]研究了基于反步法的四旋翼飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問(wèn)題;文獻(xiàn)[5]采用反步法實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器軌跡跟蹤。然而,如何利用事件觸發(fā)機(jī)制,在實(shí)現(xiàn)四旋翼飛行器的姿態(tài)跟蹤控制的前提下節(jié)約系統(tǒng)的計(jì)算與通信資源卻鮮有報(bào)道。

本文針對(duì)四旋翼飛行器系統(tǒng)構(gòu)建了多重事件觸發(fā)機(jī)制,使得飛行器的4個(gè)控制輸入的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到了預(yù)期的跟蹤效果。與文獻(xiàn)[5]相比,不僅達(dá)到了預(yù)期的控制效果與控制精度,又節(jié)約了系統(tǒng)的通信與計(jì)算資源。本文首先在滾轉(zhuǎn)角數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上運(yùn)用反步法設(shè)計(jì)出控制律,然后在所設(shè)計(jì)的控制律的基礎(chǔ)上引入事件觸發(fā)控制機(jī)制,構(gòu)成事件觸發(fā)控制器,并由Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計(jì)的控制器使系統(tǒng)保持穩(wěn)定,且能避免Zeno現(xiàn)象。類(lèi)似地,利用與滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)相同的控制器設(shè)計(jì)方法對(duì)四旋翼的其他3個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)控制器,并由這4個(gè)控制器的觸發(fā)機(jī)制構(gòu)成飛行器系統(tǒng)的多重事件觸發(fā)機(jī)制。仿真結(jié)果表明,與周期采樣控制器相比,所設(shè)計(jì)的多重事件觸發(fā)機(jī)制構(gòu)成的事件觸發(fā)控制器不僅達(dá)到了與周期采樣控制器相同的控制效果,又有效節(jié)省了系統(tǒng)的計(jì)算與通信資源。

1 四旋翼飛行器建模

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

四旋翼飛行器通過(guò)調(diào)節(jié)4個(gè)螺旋槳的轉(zhuǎn)速來(lái)控制飛行過(guò)程中的姿態(tài)與位置。本文基于4個(gè)假設(shè)構(gòu)建四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型:①四旋翼飛行器是剛體,在飛行過(guò)程中不發(fā)生形變;②四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)嚴(yán)格對(duì)稱(chēng);③四旋翼飛行器質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變;④飛行過(guò)程中四旋翼飛行器處于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài),滾轉(zhuǎn)角φ與俯仰角θ均在20°內(nèi)[7]。

ωi—第i個(gè)螺旋槳的轉(zhuǎn)速。圖1 機(jī)體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系Fig.1 Body coordinate system and inertial coordinate system

由牛頓定律可得飛行器在慣性坐標(biāo)系下的線加速度方程為[8]

(1)

由于四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)嚴(yán)格對(duì)稱(chēng),因此定義機(jī)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=diag(IxIyIz)。在假設(shè)條件下可得角運(yùn)動(dòng)方程[9]

(2)

其中,kd為轉(zhuǎn)動(dòng)系數(shù),L為四旋翼飛行器的電機(jī)到飛行器重心的距離。

1.2 狀態(tài)空間模型

為化簡(jiǎn)狀態(tài)變量,定義函數(shù)

(3)

考慮到U1=Fs,得到狀態(tài)空間表達(dá)式

(4)

式中b1、b2、b3均不為0。

2 反步控制器的設(shè)計(jì)

反步法是針對(duì)非線性系統(tǒng)的一種系統(tǒng)化的、遞歸的控制器設(shè)計(jì)方法[10-12]。反步法基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)根據(jù)其內(nèi)部聯(lián)系分解為若干個(gè)子系統(tǒng),從第一階子系統(tǒng)開(kāi)始,設(shè)計(jì)該階系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù),在保證第一階子系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上獲得該子系統(tǒng)的虛擬控制律。完成第一階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)后,在第二階系統(tǒng)中以第一階系統(tǒng)的虛擬控制律作為第二階系統(tǒng)的跟蹤函數(shù),以類(lèi)似于第一階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出第二階子系統(tǒng)的虛擬控制律。依此類(lèi)推,進(jìn)而得到整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的虛擬控制律[13]。

以滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)為例,假設(shè)滾轉(zhuǎn)角跟蹤給定的參考信號(hào)為x10,用反步法設(shè)計(jì)該系統(tǒng)的控制律。令

x1=φ;x2=φ;u(t)=U2

(5)

則滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)可表示為

(6)

定義滾轉(zhuǎn)角誤差為

z1=x1-x10

(7)

針對(duì)z1,構(gòu)造正定函數(shù)

(8)

對(duì)V1進(jìn)行求導(dǎo),有

(9)

設(shè)計(jì)控制律α1

(10)

式中c1>0。

針對(duì)α1,定義誤差

z2=x2-α1

(11)

引入Lyapunov函數(shù)

(12)

對(duì)V2進(jìn)行求導(dǎo),得

(13)

對(duì)z2求導(dǎo),得

(14)

考慮到

x2=z2+α1

(15)

聯(lián)立式(10)(13)(14)(15),得

(16)

(17)

式中c2>0。

綜合式(5)(7)(10)(11)(17),滾轉(zhuǎn)角φ系統(tǒng)的控制律為

(18)

同理,也可以得到U1、U3、U4的控制律。

z方向系統(tǒng)的控制律為

(19)

x方向系統(tǒng)的控制律為

(20)

式中p1=cφsθcψ+sφsψ。

y方向系統(tǒng)的控制律為

(21)

式中p2=cφsθsψ-sφcψ。

俯仰角θ系統(tǒng)的控制律為

(22)

偏航角ψ系統(tǒng)的控制律為

(23)

3 多重事件觸發(fā)機(jī)制

隨著網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的發(fā)展,事件觸發(fā)控制以其有效節(jié)約網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的計(jì)算與通信資源的優(yōu)勢(shì)而得到國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注[14-15]。在傳統(tǒng)的周期采樣控制中,系統(tǒng)以固定頻率采樣與執(zhí)行操作[16-17]。這種控制策略缺乏一定的智能性,可能會(huì)造成一系列不必要的操作以及資源的浪費(fèi)[18]。由事件觸發(fā)機(jī)制所設(shè)計(jì)的控制器只有在系統(tǒng)的特定事件被觸發(fā)時(shí)才會(huì)采樣或執(zhí)行操作,即只有在系統(tǒng)需要時(shí)才會(huì)進(jìn)行信息傳輸和控制更新[19-20]。

本節(jié)提出了一種事件觸發(fā)機(jī)制,在第2節(jié)構(gòu)建的反步控制器的基礎(chǔ)上,首先為滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)控制器。所設(shè)計(jì)的控制器由Lyapunov穩(wěn)定性理論證明可以使系統(tǒng)保持穩(wěn)定,且可以避免Zeno現(xiàn)象。然后,分別對(duì)四旋翼飛行器其余3個(gè)狀態(tài)變量的系統(tǒng)設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)控制器,其中每個(gè)控制器都對(duì)應(yīng)其自身的觸發(fā)機(jī)制。所設(shè)計(jì)的4個(gè)控制器可以在四旋翼飛行器上同時(shí)工作,并由這4個(gè)控制器的觸發(fā)機(jī)制構(gòu)成的多重事件觸發(fā)機(jī)制提供觸發(fā)時(shí)刻。

3.1 事件觸發(fā)機(jī)制

以滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)式(6)為例,設(shè)計(jì)事件觸發(fā)控制器

u(t)=w1(tφ,k),?t∈[tφ,k,tφ,k+1)

(24)

(25)

式中:ε1為一正常數(shù),k∈N+;{tφ,k}是滾轉(zhuǎn)角的觸發(fā)時(shí)刻序列,由事件觸發(fā)機(jī)制生成

(26)

以Lyapunov穩(wěn)定性理論來(lái)證明所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

(27)

式中σ和Δ是給定的正常數(shù),即系統(tǒng)式(6)的所有狀態(tài)變量都是有界的。

證明對(duì)V求導(dǎo),得到

(28)

(29)

在事件觸發(fā)機(jī)制式(26)中,由事件觸發(fā)條件可以得到|w1(t)-u(t)|≤m1,?t∈[tφ,k,tφ,k+1)。設(shè)λ(t)為一連續(xù)的時(shí)變參數(shù),且滿足λ(tφ,k)=0,λ(tφ,k+1)=±1,|λ(t)≤1|,?t∈[tφ,k,tφ,k+1),則有

w1(t)=u(t)+λ(t)m1

(30)

由式(30),并結(jié)合式(17)(25)得到

z2b1m1λ(t)

(31)

注意到反正切函數(shù)arctan具有性質(zhì)

(32)

式中:κ∈R;ε是一常數(shù),且滿足ε>0。

聯(lián)立式(31)(32)并化簡(jiǎn),得到

(33)

(34)

通過(guò)定理1證明所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器確保系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)Zeno現(xiàn)象。

定理1考慮系統(tǒng)式(6),事件觸發(fā)控制器式(24)可以確保系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)Zeno現(xiàn)象,即存在t*>0,使得系統(tǒng)的執(zhí)行時(shí)間間隔組成的集合{tφ,k+1-tφ,k},?k∈N+的下界是t*。

證明設(shè)

e(t)=w1(t)-u(t),?t∈[tφ,k,tφ,k+1)

(35)

對(duì)|e(t)|求導(dǎo),有

(36)

由式(25)可得

(37)

根據(jù)引理1知,z2、α2、f1(X)及其導(dǎo)數(shù)是光滑有界的函數(shù),令

(38)

≤ζ(tφ,k+1-tφ,k)

(39)

又因?yàn)?/p>

(40)

所以

(41)

3.2 四旋翼飛行器的多重事件觸發(fā)機(jī)制

按照3.1節(jié)中滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)事件觸發(fā)控制器的設(shè)計(jì)方法,設(shè)計(jì)其余狀態(tài)變量系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制器,結(jié)果如下。

垂直位移z方向系統(tǒng)為

(42)

俯仰角θ系統(tǒng)為

(43)

偏航角ψ系統(tǒng)為

(44)

設(shè)計(jì)的四個(gè)事件觸發(fā)控制器在四旋翼飛行器上同時(shí)工作時(shí),可構(gòu)成多重事件觸發(fā)機(jī)制,以此提供觸發(fā)時(shí)刻。

4 仿 真

圖2與圖3分別為多重事件觸發(fā)機(jī)制下與周期采樣控制下φ、θ、ψ、z的跟蹤效果。對(duì)比兩圖可以看出,多重事件觸發(fā)機(jī)制下4個(gè)狀態(tài)變量的跟蹤效果達(dá)到了與周期采樣控制下相接近的效果,二者都能很好地跟蹤給定的參考信號(hào)。

圖2 多重事件觸發(fā)機(jī)制下φ、θ、ψ、z的跟蹤效果Fig.2 Trajectories of states φ, θ, ψ and z under multi-event triggered mechanism

圖3 周期采樣控制下φ、θ、ψ、z的跟蹤效果Fig.3 Trajectories of states φ, θ, ψ and z under periodic sampling control

圖4為在多重事件觸發(fā)機(jī)制下系統(tǒng)輸出的信號(hào)與給定參考信號(hào)的誤差?？梢钥闯?在事件觸發(fā)控制的整個(gè)過(guò)程中,系統(tǒng)誤差都保持較低值,跟蹤效果良好。

圖4 多重事件觸發(fā)機(jī)制下的跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors under multi-event triggered mechanism

圖5為多重事件觸發(fā)機(jī)制下觸發(fā)時(shí)刻及觸發(fā)間隔的仿真結(jié)果?？梢钥闯?在此次仿真中,系統(tǒng)一共觸發(fā)150次,任意兩次觸發(fā)時(shí)刻之間間隔最小為0.021 s>0,表明系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

圖5 多重事件觸發(fā)機(jī)制下的觸發(fā)間隔Fig.5 Inter-event time under multi-event triggered mechanism

圖6 多重事件觸發(fā)機(jī)制下的變化Fig.6 State trajectories of under multi-event triggered mechanism

圖7 多重事件觸發(fā)機(jī)制下的變化Fig.7 Trajectories of states x, under the multi-event triggered mechanism

在四旋翼4個(gè)狀態(tài)的系統(tǒng)中分別添加干擾信號(hào)d1、d2、d3、d4

(45)

四旋翼系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變?yōu)?/p>

(46)

在有干擾條件下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖8與圖9所示。分析可知,若給四旋翼4個(gè)狀態(tài)的系統(tǒng)增加一定的干擾項(xiàng),所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器依然可以使四旋翼的4個(gè)狀態(tài)變量跟蹤給定的參考信號(hào)。

圖8 干擾情況下φ、θ、ψ、z的跟蹤參考信號(hào)Fig.8 Trajectories of states φ, θ, ψ and z in the case of interference

圖9 干擾情況下φ、θ、ψ、z的跟蹤誤差Fig.9 Tracking errors of states φ, θ, ψ and z in the case of interference

根據(jù)本小節(jié)仿真結(jié)果可知,本文設(shè)計(jì)的多重事件觸發(fā)機(jī)制僅需150次觸發(fā)就可以讓?duì)?、θ、ψ、z這4個(gè)狀態(tài)變量跟蹤所給定的參考信號(hào),而在周期采樣控制中,飛行器需要連續(xù)通信3 000次才能達(dá)到同樣的控制效果。并且,本文設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器也能較好地抑制擾動(dòng)。綜合可知,本文設(shè)計(jì)的多重事件觸發(fā)機(jī)制可以有效降低系統(tǒng)的通信與計(jì)算資源的損耗,比傳統(tǒng)的周期采樣控制更具優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)四旋翼飛行器的姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題提出了一種多重事件觸發(fā)機(jī)制,為四旋翼飛行器4個(gè)狀態(tài)變量的系統(tǒng)構(gòu)建了事件觸發(fā)控制器,并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計(jì)的控制器可以使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。與以往的周期控制器相比,在保證跟蹤效果的同時(shí)又節(jié)省了系統(tǒng)的計(jì)算與通信資源。本文結(jié)論如下。

(1)在多重事件觸發(fā)機(jī)制下,所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器僅需觸發(fā)150次就可以達(dá)到周期采樣控制器連續(xù)采樣3 000次的跟蹤效果,可以有效地降低系統(tǒng)的計(jì)算與通信資源。

(2)在一定的擾動(dòng)下,本文設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器能使所控制的4個(gè)狀態(tài)變量穩(wěn)定地跟蹤給定的參考信號(hào),且保持較低的跟蹤誤差，說(shuō)明本文設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器具有一定的抗干擾能力。

(3)本文設(shè)計(jì)的控制器在使用時(shí)需滿足飛行器的滾轉(zhuǎn)角與俯仰角均在20°以?xún)?nèi)的條件。

后續(xù)的工作可綜合考慮飛行器在自然環(huán)境中受到的干擾,設(shè)計(jì)具有抵抗復(fù)雜干擾能力的事件觸發(fā)控制器。