王揄辰,楊士俊

(浙江工商大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,浙江杭州 310018)

§1 引言

再生核希爾伯特空間(Reproducing Kernel Hilbert Space,簡(jiǎn)寫(xiě)為RKHS)因其豐富的幾何內(nèi)容和再生性而被廣泛地使用于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí),統(tǒng)計(jì)學(xué),人工智能,人臉識(shí)別和初值問(wèn)題等廣泛的領(lǐng)域.

因其廣泛的應(yīng)用,對(duì)它本身的研究也是值得提倡的.本文旨在研究再生核希爾伯特空間上連續(xù)線性泛函的范數(shù)及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

本文考慮再生核希爾伯特空間連續(xù)線性泛函的范數(shù),給出其簡(jiǎn)單表示,從而以新視角得出王興華和韓丹夫[1],Gavrea 和Ivan[2](其實(shí)[2]的主要結(jié)果跟[1]的結(jié)果一樣)的文章中的結(jié)果.從而以新的視角解釋其結(jié)果,在這樣的框架下或許可以納入更多的內(nèi)容,如初值問(wèn)題的解.

§2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一非空點(diǎn)集,H是定義于X的實(shí)希爾伯特空間(本文的結(jié)論也適用于復(fù)希爾伯特空間的情形,為方便計(jì),僅考慮實(shí)希爾伯特空間的情形),H具有再生核K(x,y),即

(i)?y ∈X,K(x,y)∈H,

(ii)?f ∈H和y ∈X,有

其中〈·,·〉H表示空間H上的內(nèi)積.在不至于引起混淆的情形下,下文將以〈·,·〉代替〈·,·〉H.

§3 主要結(jié)果

設(shè)L是定義于再生核希爾伯特空間H[3]上的連續(xù)線性泛函,首先有

定理1設(shè)H是再生核希爾伯特空間,其再生核為K(x,y),L是定義于H上的連續(xù)線性泛函,則

且

其中LxK(x,y)=L(K(·,y)),即y固定,線性泛函L作用在x的函數(shù)K(x,y)上.

證由Fréchet-Riesz表示定理知,存在f0∈H,使得

且

所以由式(3)和再生性得

故由式(3)得L(f)=〈f(y),LxK(x,y)〉=〈f,L K(·,y)〉.且由式(4)有

注從證明中可以看出,L K(·,y)是再生核希爾伯特空間的“表示子”(representer).

現(xiàn)設(shè)n ∈N+,記

設(shè)H1={f ∈ACn?1[0,1]|f(n) ∈L2[0,1],f(i)(0)=0,i=0,1,···,n ?1.}.對(duì)m ∈N+,記

下面的命題3.1來(lái)自于Wahba[4].

命題3.1 記號(hào)如前.?f,g ∈H1,定義其內(nèi)積為則H1是再生核希爾伯特空間,具有再生核

命題3.2 在命題3.1的意義下，希爾伯特空間H1的再生核可以表示為

證由命題3.1知,H1是再生核希爾伯特空間,且顯然

且?f ∈H1有

所以對(duì)于(?1)nG2n?1(x,·)∈H1,由(5)-(7)得到

以下內(nèi)容是熟知的，為方便計(jì)，把它寫(xiě)成命題3.3，參見(jiàn)Wahba[4].

命題3.3 令H=H0⊕H1(其中H0,H1的意義如前),其內(nèi)積可以很自然地定義為

如此H0⊥H1,且K(x,y)=K0(x,y)+K1(x,y)是H的再生核.

如果進(jìn)一步H0是某一有界線性泛函J的零化空間,則由前述定理1可得如下推論3.1.

引理3.1 設(shè)J是再生核希爾伯特空間H上的有界線性泛函，且

即?f ∈H0,J(f)=0,則

證?f ∈H,由定理1有

所以由定理1及其證明知‖J‖2=JyJxK1(x,y).

§4 應(yīng)用

例4.1 Smale[5]討論分析算法效率和計(jì)算復(fù)雜性時(shí)涉及數(shù)值分析的諸多方面,特別地，他把數(shù)值積分的計(jì)算復(fù)雜性的理論框架建立于某一希爾伯特空間,而數(shù)值積分的計(jì)算復(fù)雜性就依賴于該希爾伯特空間的某一有界線性泛函的范數(shù).下面將說(shuō)明,其作為數(shù)值積分框架的希爾伯特空間是再生核希爾伯特空間.

設(shè)H0,H1,H的意義同命題3.3，J是再生核希爾伯特空間H的有界線性泛函,且J(g)=0,?g ∈H0,則由命題3.2和推論3.1得到

這給出了王興華和韓丹夫[1]中引理1,從而可以給出Smale[5]意義下數(shù)值積分的計(jì)算復(fù)雜性.

例4.2 若J滿足命題3.2和推論3.1的條件，則

再由|J(f)|≤‖J‖‖f(n)‖得

這就是Gavrea和Ivan[2]的主要結(jié)論，其泛函證明參見(jiàn)崔峰-楊士俊[6].