陳金雄，張 敏

武夷學(xué)院，福建 武夷山 354300

隨著中國經(jīng)濟(jì)社會(huì)的高速發(fā)展，作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)也越來越重要。大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)載體之一是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模是針對(duì)某個(gè)實(shí)際問題，或出于某個(gè)特殊的目的，按照其內(nèi)在規(guī)律性，通過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，并使用相應(yīng)的數(shù)理工具，從而得出一些數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過求解模型問題并得出結(jié)果以及檢驗(yàn)結(jié)論是不是真實(shí)、合理的全過程[1]。高等數(shù)學(xué)是我國理工科、經(jīng)管等各類專業(yè)的最主要的學(xué)科基礎(chǔ)課之一。如果能把數(shù)學(xué)建模融入高數(shù)的教學(xué)中，不僅有利于讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的過程，而且能讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活實(shí)際問題和提高學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣，進(jìn)而促進(jìn)專業(yè)課的學(xué)習(xí)。同時(shí)，在高數(shù)課堂中，合理的穿插高等數(shù)學(xué)的歷史文化，既便于學(xué)生受到高等數(shù)學(xué)的歷史文化的陶冶，也培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣，有利于發(fā)揮課程思政的育人功能。因此，在日常高等數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，融入建模思想和數(shù)學(xué)文化是非常有必要。

1 教學(xué)目標(biāo)分析

利用實(shí)際案例，讓學(xué)生再復(fù)習(xí)高中學(xué)過的平均變化率、瞬時(shí)變化率，從而深入學(xué)習(xí)平均變化率如何求解瞬時(shí)變化率的過程，進(jìn)而掌握對(duì)于瞬時(shí)變化率的表達(dá)式，也就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)無窮小思想，掌握數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的能力。教學(xué)重點(diǎn)主要是導(dǎo)數(shù)定義和利用定義求解簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法；教學(xué)難點(diǎn)是理解導(dǎo)數(shù)定義。然后，結(jié)合生活實(shí)例、數(shù)學(xué)建模和高等數(shù)學(xué)歷史文化，選擇了導(dǎo)致微積分誕生的變速直線運(yùn)動(dòng)和曲線過定點(diǎn)切線的兩個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生充分體會(huì)利用無窮小的思想，進(jìn)而更好地理解了由平均變化率求得到瞬時(shí)變化率，最后概括總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的概念。

2 學(xué)情分析

學(xué)生在高中時(shí)代就已掌握了平均變動(dòng)率、瞬時(shí)變化率、曲線切線等知識(shí)，并且已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)概念、實(shí)際意義和簡(jiǎn)單導(dǎo)數(shù)的公式。但由于導(dǎo)數(shù)定義本身的高度概括，教師要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)。先介紹學(xué)生比較熟悉的奧運(yùn)英雄蘇炳添和全紅嬋，并將兩人在比賽中所做的變速直線運(yùn)動(dòng)和曲線的切線問題作為背景引入，發(fā)揮課程思政的作用，學(xué)習(xí)奧運(yùn)英雄堅(jiān)持不懈、永不言棄的良好品質(zhì)，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)瞬時(shí)速度和曲線的切線斜率進(jìn)行建模，并通過實(shí)例檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和有效性，然后抽象概括得到導(dǎo)數(shù)的定義，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的過程。

3 教學(xué)過程

教學(xué)的主要過程設(shè)計(jì)如下：（1）提出問題：求解變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、過曲線定點(diǎn)的切線斜率。（2）分析問題：利用無窮小思想，平均速度趨于瞬時(shí)速度或割線的斜率逼近切線斜率。（3）建立模型：瞬時(shí)速度等于平均速度的極限值、切線斜率等于割線斜率的極限。（4）求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停翰捎锰厥饫忧蠼饽Ｐ停罁?jù)高中的導(dǎo)數(shù)公式驗(yàn)證模型的正確、合理性。（5）推廣模型：由以上兩個(gè)模型推廣到函數(shù)瞬時(shí)變化率，并由此得出導(dǎo)數(shù)的定義。（6）運(yùn)用模型：理解導(dǎo)數(shù)概念，掌握求導(dǎo)步驟，應(yīng)用計(jì)算結(jié)果解釋瞬時(shí)變化率的意義。

3.1 引例

3.1.1 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的求解

（1）提出問題

從“東京奧運(yùn)英雄”的事跡導(dǎo)入:據(jù)報(bào)道，在日本東京奧運(yùn)會(huì)百米半決賽賽中，蘇炳添跑出了9秒83的驚天成就并突破了亞洲記錄，同時(shí)他也作為中國國內(nèi)第一個(gè)進(jìn)入奧運(yùn)會(huì)男子一百米淘汰賽的選手，也是時(shí)隔89年后亞洲人又一次進(jìn)入奧運(yùn)會(huì)百米飛人的半決賽;東京奧運(yùn)會(huì)之后，他參加了他的第四屆全運(yùn)會(huì)并首次奪得全運(yùn)會(huì)的男子百米冠軍。東京奧運(yùn)會(huì)中國奧運(yùn)代表團(tuán)最年輕的14歲小將全紅嬋，在東京奧運(yùn)會(huì)跳水女子10m臺(tái)中，以三跳滿分的超大優(yōu)勢(shì)拿到金牌，并打破陳若琳保持的決賽總分紀(jì)錄。他們的成功都是通過日積月累的努力拼搏，憑著永不言敗的堅(jiān)韌品質(zhì)獲得的，是通過每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)的量變變?yōu)槿〉脷v史性突破的質(zhì)變的必然結(jié)果，這些例子也很好的詮釋了前面所學(xué)的無窮小思想。而百米起步到?jīng)_刺終點(diǎn)，10m跳臺(tái)起跳到剛?cè)胨?，還都會(huì)一個(gè)共同的現(xiàn)象：運(yùn)動(dòng)員都做了變速直線運(yùn)動(dòng)，且都可以測(cè)量在某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員距離起點(diǎn)的位移。對(duì)此可以做出以下假設(shè):做變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)，那么該如何求質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度呢？

（2）分析問題

學(xué)生對(duì)求解平均速度比較熟悉，但是對(duì)瞬時(shí)速度的求解比較陌生甚至是不會(huì)，所以要先從平均速度開始著手。變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的平均速度在一般情況下不等于某時(shí)刻的瞬時(shí)速度。但是由牛頓的慣性定律可知：當(dāng)時(shí)間間隔（自變量的改變量）趨于零，質(zhì)點(diǎn)由于慣性導(dǎo)致它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來不及發(fā)生變化，所以該質(zhì)點(diǎn)在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，也就是說質(zhì)點(diǎn)在這個(gè)過程中瞬時(shí)速度等于整個(gè)過程的平均速度。所以，某個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度就等于當(dāng)時(shí)間間隔（自變量的改變量）趨于零時(shí)這段時(shí)間的平均速度的極限值。

（3）建立模型

已知質(zhì)點(diǎn)從t0運(yùn)動(dòng)到t時(shí)刻，在這段時(shí)間內(nèi)它的平均速度

當(dāng)t無限趨近于t0時(shí)，人們易知質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度模型為

（4）求解模型與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

同學(xué)們?cè)诟咧幸呀?jīng)學(xué)過位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義、簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，易知該質(zhì)點(diǎn)在1s時(shí)的瞬時(shí)速度為v（1）=S'（1）=g*1=10m/s與采用模型(2)求解出來的結(jié)果一致，因此可知模型（2）的正確、合理性。

3.1.2 過曲線定點(diǎn)的切線斜率的求解

（1）提出問題

17世紀(jì)就出現(xiàn)了微積分，微積分是古代人類思想的巨大成果之一，是人們經(jīng)過了二千余年的智慧結(jié)晶，開啟了古代數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的嶄新時(shí)代。其中萊布尼茨、牛頓功不可沒，他們分別獨(dú)立創(chuàng)造了微積分，單憑這一個(gè)成果，就可以確定二人在科技史上的崇高地位。但是導(dǎo)數(shù)的來源卻可追朔至更早的希臘時(shí)代，它的主要來源還是三個(gè)非常不同的問題:在光學(xué)傳感問題中，一般曲線的入射光是如何反射的?怎樣得知曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向?以及怎樣求得兩條曲線相交時(shí)兩線構(gòu)成的夾角?

但要解決三個(gè)完全不同的問題，歸根到底卻都是先要解決一個(gè)問題，那便是曲線的切線問題。如果知道了曲線C:y=f（x）上的定點(diǎn)M（x0，y0），求y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率。

（2）分析問題

要求解過曲線C上定點(diǎn)M的切線的斜率，可以先過M點(diǎn)做曲線的割線MN。M點(diǎn)固定不動(dòng)，由動(dòng)點(diǎn)N，x，y繞曲線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)沿曲線無限逼近M點(diǎn)時(shí)，割線MN無限接近于切線MT，也就是割線MN斜率的極限值是切線MT的斜率[3]。（如圖1所示）

圖1 曲線過定點(diǎn)的割線和切線

（3）建立模型

已知，割線MN的斜率為

當(dāng)N點(diǎn)無限趨于M點(diǎn)時(shí)，等價(jià)于x無限趨近于x0時(shí)，由上分析可知所求切線的斜率為

（4）求解模型與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

舉特殊例子：設(shè)曲線C的方程為y=x2，過曲線C上的定點(diǎn)M（0，0）做切線，求該切線的斜率。

由模型（4）可知:

而學(xué)生在高中時(shí)曾經(jīng)知道過曲線定點(diǎn)的切線的斜率，等于曲線方程在定點(diǎn)處的導(dǎo)值所以k切線=f'（1）=0。所以檢驗(yàn)了模型（4）的合理性與可行性。

盡管這二種模式的歷史背景有所不同，但是從數(shù)學(xué)角度來說結(jié)構(gòu)上是完全一樣的，都是函數(shù)值改變量與自變量改變量比值的極限，因此稱這種極限為差商的極限。

現(xiàn)實(shí)中，很多概念都是可以歸結(jié)為這種差商的極限，例如邊際成本等。這樣，人們就將對(duì)這類極限進(jìn)行數(shù)學(xué)加工，經(jīng)過抽象、總結(jié)得到了所要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)定義。

3.2 導(dǎo)數(shù)概念

定義[3]設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若

存在時(shí)，則稱函數(shù)f（x）在一點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則稱此極限為f（x）在該點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為

由定義可得，導(dǎo)數(shù)值是一個(gè)差商函數(shù)的極限值。f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)表示該極限值為給定的函數(shù)f和點(diǎn)x0經(jīng)過差商的極限運(yùn)算而誘導(dǎo)得到的數(shù)值，故簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。

引例1的瞬時(shí)速度可表示為S'（t0），其實(shí)際意義為物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

引例2的切線斜率可表示為f'（x0），其實(shí)際意義為曲線C:y=f（x）過點(diǎn)M（x0，y0）處的切線的斜率。

假設(shè)該極限的差商的分母為△x=x-x0（△x稱為自變量的增量），移項(xiàng)得x=x0+△x。又假設(shè)差商的分子是函數(shù)的增量△y=f（x）-f（x0）=f（x0+△x）-f（x0）。已知，當(dāng)x→x0時(shí)，△x→0，則

這三種極限式實(shí)質(zhì)上都是等差商的極限，因此都可用作導(dǎo)數(shù)的定義式。

由導(dǎo)數(shù)定義可知，可以通過公式（5）、（6）、（7）或者（8）的極限計(jì)算，如果極限存在則f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，若極限不存在，則f（x）在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

從上可以看出，求導(dǎo)本質(zhì)上還是去極限，而且還是求差商的極限，這樣可運(yùn)用前面講過的求0/0型的極限的各種技巧和方法。通過無窮小思想和極限工具，人們可以由平均速度求得瞬時(shí)速度，也由割線的斜率取極限得到切線的斜率，從而抽象詮釋為由平均變化率取極限得到變化率，最終概括總結(jié)得到了微積分的核心概念之一的導(dǎo)數(shù)。

4 教學(xué)總結(jié)

把數(shù)學(xué)建模的思維方式與數(shù)學(xué)文化教育方法融合于導(dǎo)數(shù)概念的課堂，可以使學(xué)校把傳統(tǒng)的接受式教學(xué)與自主學(xué)習(xí)、問題驅(qū)動(dòng)和啟迪誘導(dǎo)相結(jié)合，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極探求新認(rèn)識(shí)的愿望，學(xué)生親自感受導(dǎo)數(shù)概念的形成發(fā)展、抽象歸納的過程，教師指導(dǎo)學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)模型剖析和解決現(xiàn)實(shí)問題，從而促進(jìn)了學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)文化教育方法和現(xiàn)實(shí)問題聯(lián)系一起，可以更高效地在課堂中訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素質(zhì)。