賈新玲，王擁兵

（安慶師范大學 數(shù)理學院，安徽 安慶 246133）

自Zadeh提出模糊集理論[1]以來，該理論成功地應用于各個領域，模糊集的各種拓展形式也相繼被提出，包括區(qū)間模糊集[2]、直覺模糊集[3]、區(qū)間值直覺模糊集[4]和模糊多集[5]。在實際決策過程中，因為相關知識的缺乏和決策者受時間的限制，所以模糊集的隸屬度很難確定。為了解決這一困難，文獻[6]和[7]提出了猶豫模糊集的概念，允許其隸屬函數(shù)在[0,1]區(qū)間上有多個可能值。與模糊集的其他拓展形式相比，猶豫模糊集能夠有效地表達決策者之間偏好不一致性，吸引了學者們的廣泛關注。

為了解決猶豫模糊集信息不確定性的測度問題，距離和相似性度量相繼被提出，并廣泛應用于多屬性決策過程中，如文獻[8]和[9]分別基于規(guī)范化的Euclidean距離和Hamming距離，提出了猶豫模糊集之間的Euclidean距離和Hamming距離；文獻[10]考慮了猶豫模糊集的猶豫指數(shù)，提出了具有猶豫度的猶豫模糊集的距離測度。目前，在研究猶豫模糊集的距離測度時，常常通過添加或者刪減一些猶豫模糊元，使得兩個猶豫模糊集中猶豫模糊元的基數(shù)相等，再進行決策分析。但這種方法會使決策過程中原始信息丟失，致使決策結果與實際情況不相符。文獻[11]提出了一種新的猶豫模糊距離測度，該距離測度不需要考慮添加猶豫模糊元來保證不同的猶豫模糊元長度相同，可直接進行決策分析。文獻[12]通過同時擴張兩個猶豫模糊集的兩個猶豫模糊元，提出了兩個猶豫模糊元長度的最小公倍數(shù)的補齊方法。文獻[13]基于規(guī)范化的Lance距離，給出了猶豫模糊集降維的方案。上述研究充分考慮了決策的原始信息，但在實際決策過程中，還需要考慮對給定的猶豫模糊集中猶豫模糊元賦予不同的權重。因此，本文基于猶豫模糊集中的加權猶豫模糊元，提出加權猶豫模糊集的Lance距離，給出加權猶豫模糊集的Lance距離的TOPSIS方法，并通過具體案例說明該方法的可行性和有效性。

1 預備知識

1.1 猶豫模糊集及其運算

定義1[14-15]給定論域X，稱為X上的猶豫模糊集（HFS），其中h A(x)是[0,1]中一些數(shù)值的集合，表示元素x關于集合A的一些可能的隸屬度，并稱h A(x)=h(x)為一個猶豫模糊元（HFE）。

定義2[16]設h(x)為猶豫模糊元，則稱為h(x)的得分函數(shù)，其中l(wèi) h為h(x)中元素的個數(shù)。對于猶豫模糊元h1和h2，若s(h1)＞s(h2)，則稱h1優(yōu)于h2，記為h1＞h2；若s(h1)=s(h2)，則稱h1和h2無差別，記為h1～h2。

在實際問題中，常常出現(xiàn)s(h1)=s(h2)的情況，難以判斷它們的優(yōu)劣。為了更好地描述這一問題，Chen等定義了偏差度的概念[17]。

定義3[17]對于給定的猶豫模糊元h(x)，稱

為h(x)的偏差度。

對于猶豫模糊元的大小比較，Liao等給出如下法則[18]：

（1）如果s(h1)＞s(h2)，則h1＞h2；

（2）如果s(h1)=s(h2)，則當(h1)＞(h2)時，有h1＜h2；當(h1)=(h2)時，有h1=h2。

定義4[19]設A1和A2為X上的猶豫模糊集，則A1和A2之間的距離定義為d(A1,A2)，它需要滿足下列條件：

（1）0≤d(A1,A2)≤1；（2）d(A1,A2)=0，當且僅當A1=A2；（3）d(A1,A2)=d(A2,A1)。

下面給出一些經(jīng)典猶豫模糊集的距離[20-21]。

（1）標準的Euclidean距離：

（2）標準的Hamming-Hausdorff距離：

（3）標準的Lance距離：

2 加權猶豫模糊集的Lance距離

在實際決策過程中經(jīng)常遇到這樣的情形，如某個公司要對兩名員工A和B進行年終考核，請了10位公司的高管對他們進行評估。給A打分時，其中有9位給了0.9，1位給了0.7；給B打分時，其中4位給了0.9，6位給了0.7。公司的領導很可能在這兩個值之間猶豫，這時采用猶豫模糊集{0.9,0.7}來表述較為合適。按照一般情況理解，A的評價結果為{0.9,0.7}，B的評價結果也為{0.9,0.7}，從而他們的評價結果是相同的，但是，這與實際情況不符，此時需要考慮對猶豫模糊集中的模糊元賦予不同的權重。由于Lance距離是聚類分析中確定樣本點之間距離的一種常見方法，其最大優(yōu)勢在于克服了量綱的影響。因此，我們基于標準的Lance距離，給出加權猶豫模糊集的Lance距離。

2.1 加權猶豫模糊集的Lance距離

定義5給定論域X，設A1和A2為X上的加權猶豫模糊集，則稱

為A1和A2之間的Lance距離，其中和l h A2(x i)分別表示A1和A2中元素的個數(shù)表示ωkiγki中第j大的元，ωki為γki的權重，且滿足

若A1和A2中猶豫模糊元個數(shù)不相等，則需要在較短的猶豫模糊集中添加猶豫模糊元。若決策者厭惡風險，則添加隸屬度最小的元素；若決策者喜好風險，則添加隸屬度最大的元素；若決策者風險中立，則添加集合中隸屬度最大值與最小值的平均值，并要求添加元素的權重為零。添加原則反映了決策者的偏好[22-23]，數(shù)據(jù)的原始信息不會受到影響，且計算結果保持不變。

定理加權猶豫模糊集的Lance距離d hl(A1,A2)滿足定義4中的3個條件。

證明（1）d hl(A1,A2)≥0是顯然的?，F(xiàn)只需證明d hl(A1,A2)≤1成立。對任意的i,j=1,2,3,…,n,i＜j，有，從而

因此，d hl(A1,A2)≤1，于是0≤d hl(A1,A2)≤1。

（2）若d hl(A1,A2)=0，顯然有

現(xiàn)在證明當d hl(A1,A2)=0時，有A1=A2。利用反證法并結合數(shù)學歸納法證明。

若A1≠A2，當i=1時，有

假設當i=n-1時，有

因此，當i=n時，由于A1≠A2，從而有

故d hl(A1,A2)≠0，這與條件d hl(A1,A2)=0矛盾，于是A1=A2。

若A1=A2，對任意的i,j=1,2,3,…,n,i＜j，有，從而

則d hl(A1,A2)=0。

（3）由于 故d hl(A1,A2)=d hl(A2,A1)。

例1 設A1={(0.2,0.8),(0.6,0.2)}和A2={ }(0.8,0.8),(0.4,0.1),(0.3,0.1)為X上的加權猶豫模糊集，根據(jù)定義5，這里添加隸屬度最大的元素，并排序得到

則A1和A2的距離為

若采用文獻[13]中的距離公式，有

文獻[13]中的距離公式?jīng)]有考慮隸屬度的權重，在計算過程中忽略了數(shù)據(jù)的一些信息，從而影響最終的比較結果。從實際情況來看，本文提出的距離d hl(A1,A2)能夠更好地保留原始信息，更形象地刻畫加權猶豫模糊集A1和A2之間的關系。下面給出其他類型的距離公式。

基于規(guī)范化的Euclidean距離，改進的加權猶豫模糊集的Euclidean距離：

基于規(guī)范化的Lance距離，改進的加權猶豫模糊集的Lance距離：

基于規(guī)范化的Hamming-Hausdorff距離，改進的加權猶豫模糊集的Hamming-Hausdorff距離：

2.2 熵權法確定屬性權重

在加權猶豫模糊集多屬性決策問題中，假設方案集為A={A1,A2,A3,…,A m}，屬性集為C={C1,C2,C3,…,C n}。屬性通常分為效益型和成本型，為了克服不同屬性對決策結果的影響，本文采用效益型屬性。屬性C j(j=1,2,3,…,n)的權重向量為w=(w1,w2,w3,…,wn)T，其中，

令加權猶豫模糊集決策矩陣為

其中，h ij(x ij)(i=1,2,3,…,m;j=1,2,3,…,n)表示第A i個方案關于屬性C j的評價信息。

矩陣D對應的期望決策矩陣為

定義屬性C j的熵為

2.3 加權的猶豫模糊集的Lance距離計算方法

本文從供貨商評價信息出發(fā)，將專家評價信息與專家的權重相結合，得到各供貨商的綜合評價信息，采用TOPSIS方法對供貨商擇優(yōu)排序，并與現(xiàn)有的距離公式進行分析比較。給定待選方案A={A1,A2,A3,…,A n}，專家組E={e1,e2,e3,…,e n}，根據(jù)與方案A相關聯(lián)的屬性C={C1,C2,C3,…,C n}給出評價結果。設x ij∈[0,1]表示專家e k在屬性C j下給方案A i打出的評價結果，于是，決策者將根據(jù)這些評估結果判定所要選擇的方案。

Step1在每個屬性C j下，考慮方案A i的評估結果。為構造加權猶豫模糊元，分以下兩種情形討論。

1）專家權重未知的情形下構造加權猶豫模糊元。令

其中，p表示方案A i在屬性C j下的隸屬度值的個數(shù)，t表示專家數(shù)。

2）專家權重已知的情形下構造加權猶豫模糊元。設專家e1,e2,e3,…,e n對應的權重向量為w=(w1,w2,w3,…,wn)T，其中，wk≥0，且構造加權猶豫模糊元：

其中，N(γij)表示所有給出評估值γij的專家數(shù)。

Step2若兩個加權猶豫模糊元中元素個數(shù)不同，則按照定義5添加元素并排序。

Step3根據(jù)計算期望矩陣D，再利用式（11）計算各屬性的熵、式（12）計算各屬性的權重。

Step4根據(jù)加權猶豫模糊集的Lance距離公式（5），計算每個備選方案與理想備選方案的距離。

Step5對每個備選方案與理想備選方案的距離進行排序，選出最優(yōu)的備選方案。

3 算例分析

例2流感疫苗可以有效減少接種者感染流感的幾率或減輕流感癥狀，是預防和控制流感的主要措施之一。在注射疫苗時會考慮諸多因素，醫(yī)院對于流感疫苗供應商的選擇就顯得至關重要。下面從影響流感疫苗安全性、穩(wěn)定性的因素中選擇4個作為屬性集C={C1,C2,C3,C4}，其中，C1：工藝過程；C2：原料制造；C3：制劑；C4：貯存和運輸。邀請4位流感疫苗專家對3家疫苗供貨商進行綜合評估，如表1所示。

表1 疫苗供貨商的評價信息

情形1專家權重未知的情形。

Step1構造加權猶豫模糊元，如表2所示。

表2 加權猶豫決策矩陣元素值

Step2添加最大的元素并排序，得到表3。

表3 修正的加權猶豫決策矩陣元素值

Step3計算相應的期望矩陣，見表4。

根據(jù)式（11）計算各個屬性需求的熵值：e1=0.995 1，e2=0.959 9，e3=0.999 4，e4=0.990 5。進一步，根據(jù)式（12）計算各屬性需求的權重w1=0.088 9，w2=0.727 8，w3=0.010 9，w4=0.172 4。

Step4由表3，得到理想方案為

根據(jù)加權猶豫模糊集的Lance距離公式（5），計算每個備選方案與理想方案的距離：

Step5按照d的大小，得到備選方案的排序：A2?A3?A1，從而最佳選擇方案為A1。

情形2專家權重已知的情形，假設專家的權重δ=(0.35,0.25,0.2,0.2)T。

Step1構造加權猶豫模糊元，如表5所示。

表5 加權猶豫決策矩陣元素值

Step2添加最大的元素并排序，得到表6。

表6 修正的加權猶豫決策矩陣元素值

Step3計算相應的期望矩陣，見表7。

表7 期望決策矩陣元素值

由式（11）計算各個屬性需求的熵值：e1=0.992 7，e2=0.959 3，e3=0.998 7，e4=0.987 9。再根據(jù)式（12）計算各屬性需求的權重：w1=0.118 9，w2=0.662 9，w3=0.0212，w4=0.197 1。

Step4由表6，得到理想方案為

根據(jù)加權猶豫模糊集的Lance距離公式（5），計算每個備選方案與理想方案的距離：

Step5按照d的大小，得到備選方案的排序：A2?A3?A1，從而最佳選擇方案為A1。

比較分析：計算標準的Euclidean距離[12]和標準的Lance距離[13]，并取相同的屬性權重向量w=(0.118 9,0.662 9,0.0212,0.197 1)T，結果對比如表8和圖1所示。

圖1 綜合評價對比

表8 三種距離結果對比

根據(jù)表8可以得到以下結論。

（1）與標準的Lance距離相比，距離的排序和最終選擇的供貨商都與本文計算結果相同，這充分說明本文提出的加權猶豫模糊集的Lance距離是有效的。從例1的分析來看，兩個加權猶豫模糊集之間相差比較大，而本文提出的對于每個猶豫模糊集的猶豫模糊元賦予一定的權重，在一定程度上保留了原始信息，適用性更廣，在處理多屬性群決策問題方面更加靈活。

（2）與標準的Euclidean距離相比，流感疫苗供貨商的最終選擇和排序都與本文結果有差別。從原始數(shù)據(jù)來看，方案A1優(yōu)于方案A2，這也說明本文考慮給猶豫模糊集的猶豫模糊元賦予一定的權重，能夠更好地保留數(shù)據(jù)的原始信息，使計算結果更加合理。

4 結論

在多屬性群決策過程中，需要考慮對給定的猶豫模糊集中猶豫模糊元賦予不同的權重，于是提出了加權猶豫模糊集的Lance距離，進一步利用加權猶豫模糊集的熵公式，給出了屬性信息權重的確定模型，并結合專家權重已知和未知的情況，給出了加權猶豫模糊集Lance距離的TOPSIS方法以及生成算法。最后，通過流感疫苗供貨商的選擇問題，將本文所提的距離公式與現(xiàn)有部分距離公式的計算結果進行比較分析，進而驗證了本文方法的可行性和有效性，完善了猶豫模糊集的測度理論。