郝一江

（中國社會科學(xué)院哲學(xué)研究所，北京 100732）

現(xiàn)代邏輯學(xué)是信息時代的核心基礎(chǔ)理論。王元元教授在其專著《計算機(jī)科學(xué)中的現(xiàn)代邏輯學(xué)》中指出：現(xiàn)代邏輯學(xué)與計算機(jī)科學(xué)是“天生的同盟軍，分別作戰(zhàn)在基礎(chǔ)理論和實用技術(shù)兩條戰(zhàn)線”；“現(xiàn)代邏輯求助數(shù)學(xué)——符號化，現(xiàn)代邏輯追隨數(shù)學(xué)——公理化，現(xiàn)代邏輯改造數(shù)學(xué)——形式化”[1]。簡言之，現(xiàn)代邏輯學(xué)具有符號化、公理化、形式化這三個普遍性質(zhì)。作為現(xiàn)代邏輯學(xué)的主要分支學(xué)科的動態(tài)邏輯，不但具有這三個普遍特征，而且還具有程序化特征和結(jié)構(gòu)化特征。動態(tài)邏輯之所以具有程序化和結(jié)構(gòu)化的雙重性，其根本原因就是現(xiàn)代邏輯的數(shù)學(xué)化。

關(guān)于數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系問題，布爾學(xué)派指出：“邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的一個分支”；弗雷格學(xué)派則堅稱：“數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的一個分支”[2]；羅素認(rèn)為：近代以來，“邏輯更數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)更邏輯化”，“事實上二者也確實是一門學(xué)科”。[3]以上這些觀點(diǎn)其實都從不同角度揭示了數(shù)學(xué)與邏輯的本質(zhì)及其交互規(guī)定：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是邏輯，邏輯的本質(zhì)是數(shù)學(xué)；這種共同而有區(qū)別的本質(zhì)不但為數(shù)學(xué)史所驗證，也為邏輯史乃至于哲學(xué)史所驗證。因此，對邏輯的哲學(xué)思考，亦是對數(shù)學(xué)的哲學(xué)思考。

由于數(shù)學(xué)與邏輯交互規(guī)定，互相構(gòu)成對方的本質(zhì)，因此動態(tài)邏輯具有數(shù)學(xué)所具有的普遍特征，如：符號化、公理化、形式化。此外，數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了微積分、實變函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論的時代，泛函分析主導(dǎo)拓?fù)渑c抽象代數(shù)的時代，數(shù)學(xué)語言的本體論基礎(chǔ)是實數(shù)系統(tǒng)和集合論，連續(xù)的直線已經(jīng)完成了時間化和離散性重構(gòu)，動態(tài)邏輯的語言也實現(xiàn)了離散化，這為動態(tài)邏輯的程序化和結(jié)構(gòu)化打開了通道。

一、數(shù)學(xué)與邏輯的交互規(guī)定

在影響數(shù)學(xué)與邏輯交互規(guī)定、交互解釋、交互表征的所有因素中，語言處于樞紐地位，發(fā)揮決定性作用，語言是數(shù)學(xué)與邏輯的基礎(chǔ)框架，任何有意義的數(shù)學(xué)與邏輯表達(dá)式，都在語言之中按照語法規(guī)則構(gòu)成，正是在這個意義上語法規(guī)則稱為形成規(guī)則[4]9。數(shù)學(xué)與邏輯的語法構(gòu)成推動了數(shù)學(xué)與邏輯的歷史展開，語言的因素導(dǎo)致數(shù)學(xué)與邏輯互相構(gòu)成對方的本質(zhì)[5]15。

根據(jù)胡塞爾的《邏輯研究》，廣義的邏輯除了命題層次的形式邏輯，還有對象層次的形式本體論。在這個宏大的歷史視野中，集合論的創(chuàng)立及其對于數(shù)學(xué)的重構(gòu)就有了超越數(shù)學(xué)史的哲學(xué)意義。幾何研究的圖形和代數(shù)研究的數(shù)都是名詞命名的對象，而集合論研究的集合是命題表征的概念，它們屬于完全不同類型的語法和意義范疇，名詞不是表達(dá)意義的完整的語言單位，命題卻是這樣的語言單位，因此集合論在歷史上第一次把存在納入了意義的范疇，使存在從屬于概念而成為概念的衍生樣式[6]83。

存在與本質(zhì)是概念的變化形態(tài)，因此它們成為概念的內(nèi)部環(huán)節(jié)；概念不是事物不是對象，概念是語言的意義，因此存在與本質(zhì)脫離了事物，被提升到語言的境界。意義獲得了自身的存在和本質(zhì)，既是對語言的提升又是對存在的充實，語言不但擁有了自己的意義與概念，而且擁有了自己的存在與本質(zhì)[6]87。

集合論第一次讓人們看清了這樣的事實：無論數(shù)學(xué)還是邏輯都是一種語言現(xiàn)象，一種由語法的構(gòu)成所體現(xiàn)出來的意義的建構(gòu)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的宏偉大廈，乃至于整個科學(xué)大廈，都是建立在對符號及其語法構(gòu)成的深刻而清澈的直覺的基礎(chǔ)上，建立在對符號的語法構(gòu)成所引發(fā)的推理鏈條的深刻而清澈的直覺的基礎(chǔ)上[4]14。

由于數(shù)學(xué)是科學(xué)的先行籌劃與先行規(guī)定，因此科學(xué)也是鑲嵌在語言及其語法之中的，從而成為歷史、文化和意識形態(tài)的一個片段。在這種意義上我們可以回應(yīng)羅素，數(shù)學(xué)乃至于所有科學(xué)，其本質(zhì)和邏輯一樣與希臘文有關(guān)，都是建立在對希臘文的語法及其產(chǎn)生的推理鏈條的理性直覺之上，正是通過對語言和語法及其邏輯的直覺，數(shù)學(xué)和科學(xué)通過意義的道路切入了存在問題，進(jìn)入了時間和歷史之中，因而打開了文化和意識形態(tài)的視野[5]20。

在邏輯實證主義奉為圭臬的《邏輯哲學(xué)論》中，維特根斯坦提出了可以顯示不可言說的思想，為邏輯的形式化劃出了一條界限。接下來哥德爾以其著名的不完全性定理驗證了維特根斯坦的直覺思想，分析哲學(xué)及其數(shù)理邏輯在命題層次對數(shù)學(xué)所做的形式化表征與刻畫是不完全的，形式化不但不能消除直覺，而且必須依靠直覺以獲得其意義與解釋。這就是《存在與時間》第33節(jié)的主題和標(biāo)題：“命題——解釋的衍生樣式”，謂詞的解釋與構(gòu)成功能先于謂詞的表述與判斷功能，謂詞對于約束變元的建構(gòu)使得命題成為可能，謂詞對于變元的建構(gòu)形成了結(jié)構(gòu)，在本體論上結(jié)構(gòu)不是事物而是事實，因此維特根斯坦認(rèn)為，世界是事實的總和，不是事物的總和。維特根斯坦的事實的本體論為海德格爾的此在分析所拓展，《存在與時間》第70節(jié)“此在式空間性的時間性”進(jìn)一步明確了：所謂事實的本體論是植根于此在的時間性的空間結(jié)構(gòu)，支撐這種空間建構(gòu)的語法過程是謂詞的解釋行為，這與支撐命題構(gòu)成的圖象行為屬于迥然不同的語法類型，正是在這種意義上，根據(jù)在其背后作為支撐的不同語法類型，維特根斯坦劃分了命題與事實：命題是事實的圖象[6]83-87。

20世紀(jì)60年代，奎因發(fā)現(xiàn)，就在符號邏輯的形式化語言中，存在通向本體論及其語言和語法建構(gòu)的邏輯通道，這就是其著名的論題：存在就是作為約束變元的值。這樣整個數(shù)理邏輯的理論成就，經(jīng)過數(shù)學(xué)哲學(xué)的范式轉(zhuǎn)換，都可以進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的存在建構(gòu)，就在這種從表述到解釋語法的轉(zhuǎn)換中，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)特征自然地呈現(xiàn)出來。

二、動態(tài)邏輯的程序化特征

程序不僅是計算機(jī)能夠識別和執(zhí)行的指令，而且也是表征輸入/輸出數(shù)據(jù)關(guān)系的形式語言。動態(tài)邏輯是多個程序邏輯的總稱，能夠?qū)Τ绦虻妮斎?輸出行為進(jìn)行形式化表示和推理的多模態(tài)邏輯[7]133。動態(tài)邏輯的兩個核心系統(tǒng)是命題動態(tài)邏輯和量化動態(tài)邏輯[8]。動態(tài)邏輯及其擴(kuò)展邏輯可以對Agent（智能體）行為決策、行為規(guī)劃和行為學(xué)習(xí)等進(jìn)行表征和推理。

動態(tài)邏輯是關(guān)于程序的多模態(tài)邏輯，是由多個系統(tǒng)組成的豐富家族，是用每個程序的一個給定模態(tài)詞對經(jīng)典邏輯加以擴(kuò)展而得到的[7]xi，因此動態(tài)邏輯是程序化的多模態(tài)邏輯，具有明顯的程序化特征。例如：

在命題動態(tài)邏輯中，用程序設(shè)計語言的程序來填充模態(tài)算子[]（即box算子）。[a]φ表示：執(zhí)行程序a并在滿足狀態(tài)φ時停機(jī)是必然的；[a]φ也可理解為：在每次執(zhí)行程序a后，公式φ為真。除了原子程序可以填充box算子外，由選擇算子∪、合成算子；測試算子?和迭代算子*這四類程序復(fù)合算子構(gòu)造的復(fù)雜程序也可以填充box算子[7]164-170。[a∪β]φ表示：在每次不確定地執(zhí)行程序a或β之后，公式φ為真。[a;β]φ表示：在每次“先執(zhí)行程序a，然后執(zhí)行程序β”之后，公式φ為真。[a]*多次重復(fù)執(zhí)行程序a之后，公式φ為真。

帶有正則程序（regular program）的命題動態(tài)邏輯的三個初始算子“；∪和*”都是正則表達(dá)式，程序是在原子程序和測試上的正則表達(dá)式。其命題和程序是由原子命題、原子程序，通過命題否定算子（ 00）、命題蘊(yùn)涵算子（→）和以上四個程序復(fù)合算子遞歸得到的；而且利用這6個算子可以得到所有的while程序。其程序和命題的定義也可以相互遞歸，具體地說：如果φ和ψ是命題，a和β是程序，那么φ→ψ、 00和[a]φ是命題，而a∪β、α;β、φ？和a*都是程序[7]169-170。

由此可見，動態(tài)邏輯使用了各種程序算子，它的一些邏輯公式本身就是面向?qū)ο蟮某绦蛘Z言，因而動態(tài)邏輯具有程序化特征。此外，動態(tài)邏輯的一些變種也具有程序化特征。例如帶有程序量詞的命題動態(tài)邏輯[9]、帶有互模擬程序的命題動態(tài)邏輯[10]、帶有Petri網(wǎng)的命題動態(tài)邏輯[11]、帶有有窮多個量詞的命題動態(tài)邏輯[12]、帶有存儲、恢復(fù)和并行合成算子的命題動態(tài)邏輯[13]、能夠?qū)gent能力進(jìn)行推理的類型命題動態(tài)邏輯[14]、能夠?qū)gent規(guī)劃修訂進(jìn)行推理的擴(kuò)展命題動態(tài)邏輯[15]等都具有程序化特征。

三、動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)化特征

由于集合論對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的無所不在的廣泛影響，及其對數(shù)學(xué)研究方式和數(shù)學(xué)思想觀念的深刻變革，結(jié)構(gòu)主義從20世紀(jì)以來逐漸占據(jù)了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的主導(dǎo)地位，并且產(chǎn)生了溢出效應(yīng)，從而使得“從結(jié)構(gòu)的角度觀察邏輯的特征”成為可能：從語法上看，形式化的邏輯系統(tǒng)是不同符號按照各種關(guān)系組成的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)可以通過元數(shù)學(xué)加以研究；從語義上看，所有邏輯命題都是通過定義在集合之上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加以解釋；從語法和語義的關(guān)系來看，邏輯系統(tǒng)的元邏輯性質(zhì)由這兩種結(jié)構(gòu)的關(guān)系決定，一個邏輯系統(tǒng)是可靠的，當(dāng)其語法結(jié)構(gòu)不表達(dá)其語義結(jié)構(gòu)以外的信息；一個邏輯系統(tǒng)是完全的，當(dāng)其語義結(jié)構(gòu)的信息都由其語法結(jié)構(gòu)表達(dá)出來。

動態(tài)邏輯是在集合論和模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的多個程序邏輯的總稱。集合論不但是動態(tài)邏輯的基本語言，也是定義數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的前提和產(chǎn)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)與載體，因此，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對于動態(tài)邏輯的滲透是全方位的，無論是在語法上還是在語義上，以及語法和語義的關(guān)系上。在語法上，動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)特征是非常明顯的，動態(tài)邏輯中的諸多規(guī)則本身就是結(jié)構(gòu)性規(guī)則。例如：能夠?qū)gent能力進(jìn)行推理的類型命題動態(tài)邏輯tPDL給出的Gentzen系統(tǒng)中的規(guī)則，分離規(guī)則、必然性規(guī)則、否定規(guī)則、導(dǎo)出規(guī)則、切割規(guī)則、交換規(guī)則、縮并規(guī)則、弱化規(guī)則、傳遞閉包規(guī)則、循環(huán)不變性規(guī)則等，都是結(jié)構(gòu)性規(guī)則[14]。

在語法和語義的關(guān)系上，結(jié)構(gòu)的作用體現(xiàn)在完全性和可靠性等元邏輯性質(zhì)的證明上，當(dāng)語法結(jié)構(gòu)的表達(dá)力強(qiáng)于語義結(jié)構(gòu)的表達(dá)力時，動態(tài)邏輯具備完全性而不具備可靠性，當(dāng)語義結(jié)構(gòu)的表達(dá)力強(qiáng)于語法結(jié)構(gòu)的表達(dá)力時，動態(tài)邏輯具備可靠性而不具備完全性，當(dāng)語法結(jié)構(gòu)的表達(dá)力等于語義結(jié)構(gòu)的表達(dá)力時，動態(tài)邏輯同時具備完全性和可靠性。例如，利用動態(tài)邏輯及其擴(kuò)展對Agent的各種行為進(jìn)行形式刻畫或建模，其實質(zhì)是形式化地描摹決定Agent的各種行為因素的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。利用類型命題動態(tài)邏輯τPDL對Agent能力進(jìn)行描述時，首先使用能力語句、先決條件-效果結(jié)構(gòu)和向后可能算子對標(biāo)準(zhǔn)命題動態(tài)邏輯PDL進(jìn)行擴(kuò)展得到τPDL，通過建立有窮模型性質(zhì)，利用標(biāo)準(zhǔn)的濾過技術(shù)，在擴(kuò)展的Fisch?er-Ladner閉包映射的基礎(chǔ)上，可以證明τPDL系統(tǒng)的可判定性，給出τPDL邏輯的證明系統(tǒng)，并可以研究其可靠性和完全性，并且可以把τPDL邏輯應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)服務(wù)組合[14]。上述一系列的證明步驟離不開對邏輯系統(tǒng)的構(gòu)造，離不開對解釋系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，離不開對系統(tǒng)的表達(dá)力與解釋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)的表達(dá)力的衡量，因為在元數(shù)學(xué)中，邏輯系統(tǒng)也是定義在有窮或者無窮集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是在語法意義上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

最能體現(xiàn)動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)化特征的還是語義方面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在語義方面動態(tài)邏輯涉及到各種各樣的結(jié)構(gòu)[7]，如：克里普克結(jié)構(gòu)、樹狀結(jié)構(gòu)、Adian結(jié)構(gòu)、表征結(jié)構(gòu)、有窮結(jié)構(gòu)、無窮結(jié)構(gòu)，等等。這些都是定義在有窮或者無窮集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。具體而言：

（1）動態(tài)邏輯的語義源于模態(tài)邏輯的語義，動態(tài)邏輯的程序和命題都可以在克里普克框架結(jié)構(gòu)上加以解釋，而克里普克框架的具體結(jié)構(gòu)及其包含的元數(shù)的個數(shù)都是由所涉及集合上定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定的。

（2）可以給出量化動態(tài)邏輯在算術(shù)結(jié)構(gòu)上的解釋性推理[7]308-311。事實上，任意動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)都可以通過添加適當(dāng)?shù)木幋a和解碼功能對算術(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展而得到；而且每個自然數(shù)集上的結(jié)構(gòu)都可以擴(kuò)展成算術(shù)結(jié)構(gòu)。

（3）動態(tài)邏輯表達(dá)力的強(qiáng)弱依賴于“該邏輯是在哪種結(jié)構(gòu)中加以解釋”。例如：當(dāng)對所有結(jié)構(gòu)進(jìn)行統(tǒng)一解釋時，一階邏輯、量化動態(tài)邏輯、正則量化動態(tài)邏輯、帶有富測試的量化動態(tài)邏輯形成了一個表達(dá)力越來越強(qiáng)的邏輯序列。但是在任意算術(shù)結(jié)構(gòu)上，前三種邏輯的表達(dá)力是一樣的，最后一種邏輯的表達(dá)力比前三種邏輯強(qiáng)[7]308-311。

（4）動態(tài)邏輯可以對有窮結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼。例如，可以對“如線性序排列的一階有窮詞庫S中的”有窮結(jié)構(gòu)S進(jìn)行編碼，進(jìn)而可以研究結(jié)構(gòu)S1與結(jié)構(gòu)S2是否同構(gòu)。研究表明：富詞庫與窮詞庫的主要區(qū)別在于：富詞庫允許具有“給定有窮基數(shù)而且具有指數(shù)多個兩兩不同構(gòu)的”結(jié)構(gòu)，而窮詞庫僅僅允許“給定有窮基數(shù)而且具有多項式個兩兩不同構(gòu)的”結(jié)構(gòu)[7]319-320。事實上，同構(gòu)概念本身就是比較作為論域的集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。

（5）動態(tài)邏輯中的一些定義都是在某種結(jié)構(gòu)中加以定義的。例如：一個程序α可以在結(jié)構(gòu)S中展開（unwind），當(dāng)且僅當(dāng)，存在 m?N（N是自然數(shù)集）且存在有窮計算序列 σ1,...,σm?CS(α)，使得 f(α)=f(σ1)∪…∪f(σm)，其中CS(α)是可枚舉的有窮計算序列集，f是意義函數(shù)。這一定義就是在結(jié)構(gòu)這一概念上加以定義[7]344。

（6）動態(tài)邏輯中的一些命題需要借助結(jié)構(gòu)這一概念才能夠加以闡述的。例如，動態(tài)邏輯的如下命題：“如果S是一個不帶有真子結(jié)構(gòu)的無窮結(jié)構(gòu)，則NEXT0在S中不展開”[7]344-347。闡釋這一命題需要借助真子結(jié)構(gòu)和無窮結(jié)構(gòu)這兩個概念。

（7）動態(tài)邏輯中的諸多歸納證明，都是施歸納于解釋動態(tài)邏輯的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如：能夠?qū)gent能力進(jìn)行推理的類型命題動態(tài)邏輯關(guān)于濾過引理的證明，同時施歸納于公式ψ或類型A以及良基FL-子公式關(guān)系的結(jié)構(gòu)[14]。由此可見，在語義方面，動態(tài)邏輯不但涉及各種各樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而且這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)所的作用也是多種多樣的。

四、結(jié)束語

對于動態(tài)邏輯來說，無論是其與現(xiàn)代邏輯各分支共有的普遍特征，如：符號化、公理化、形式化，還是其獨(dú)有特征（即程序化、結(jié)構(gòu)化），這些特征的根源都在于：數(shù)學(xué)與邏輯的交互規(guī)定，數(shù)學(xué)與邏輯互相構(gòu)成對方的本質(zhì)，以及數(shù)學(xué)內(nèi)部代數(shù)與幾何的根本矛盾，這種矛盾所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)的歷史階段和體系結(jié)構(gòu)——幾何、代數(shù)、微積分。微積分統(tǒng)一了代數(shù)與幾何，作為微積分基礎(chǔ)的實數(shù)系統(tǒng)和集合論統(tǒng)一了時間和空間，實現(xiàn)了空間的時間化和時間的空間化，這樣就開啟了通過離散表征連續(xù)的人工智能時代，以集合論為語言、具有程序化和結(jié)構(gòu)化特征的動態(tài)邏輯成為這個時代典型的標(biāo)記。