黃瑞，宋健，肖宇，劉謀海，溫和

（1.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南長沙 410082；2.國網(wǎng)湖南省電力有限公司，湖南長沙 410004；3.智能電氣量測與應(yīng)用技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙 410004）

同步相量測量單元（phasor measurement unit，PMU）作為現(xiàn)代電網(wǎng)智能感知層的重要數(shù)據(jù)入口，在電網(wǎng)故障診斷、電壓穩(wěn)定性監(jiān)視、低頻振蕩分析、暫態(tài)穩(wěn)定性分析和控制等方面發(fā)揮著重要作用，高精確度和實(shí)時(shí)性的同步相量測量算法是保證PMU 穩(wěn)定高效工作的先決條件［1，2］.隨著現(xiàn)代電網(wǎng)規(guī)模的不斷增大，配電網(wǎng)將面臨如下變化，（1）以光伏發(fā)電為代表的分布式電源大規(guī)模接入，可能導(dǎo)致配電網(wǎng)電壓和功率的振蕩；（2）電動汽車的大規(guī)模無序充電，可能致使配電網(wǎng)電壓跌落；（3）電動汽車和分布式電源大規(guī)模應(yīng)用，可能造成配電網(wǎng)諧波含量上升.這些改變使配電網(wǎng)中的PMU 面臨著強(qiáng)諧波、強(qiáng)噪聲和測量信號動態(tài)多變等環(huán)境，使得同步相量測量算法的設(shè)計(jì)面臨巨大挑戰(zhàn)［3-5］.

為了應(yīng)對配電網(wǎng)全新測量環(huán)境的挑戰(zhàn)，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多改進(jìn)型或者全新的PMU 測量算法.根據(jù)基本原理，主要分為兩類：1）基于離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法，如文獻(xiàn)［6-8］等針對同步相量和頻率測量誤差與濾波器頻響特性的關(guān)系，根據(jù)最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，構(gòu)建DFT 類算法的等效數(shù)字濾波器組，提高了DFT 類動態(tài)同步相量測量算法的抗諧波能力.文獻(xiàn)［9］將泰勒相量模型分解為基本分量和若干子分量，然后用DFT 分別求出各分量，最后進(jìn)行合成與修正，減輕了功率振蕩對測量精度的影響.文獻(xiàn)［10］研究了DFT 在非同步采樣條件下的相角誤差分布規(guī)律后，用相角差對被測頻率跟蹤測量，得到精度較高的頻率值.文獻(xiàn)［11］提出了一種基于頻率偏移的DFT 修正方法，能實(shí)現(xiàn)動態(tài)變化過程的相量測量.盡管基于DFT 的算法具有很強(qiáng)的抗諧波能力和較高的計(jì)算效率，但由于頻譜泄漏的影響，此類算法在間諧波或帶外干擾存在時(shí)性能較差.2）基于泰勒動態(tài)相量模型和最小二乘法的算法，文獻(xiàn)［12］引入強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波器，由理論殘差與實(shí)際殘差的失配情況來調(diào)整測量過程，增強(qiáng)對動態(tài)信號的跟蹤能力.文獻(xiàn)［13］提出了泰勒加權(quán)最小二乘算法（Taylor Weighted Least squares，TWLS），其實(shí)質(zhì)是采用窗函數(shù)抑制旁瓣干擾和帶外噪聲.文獻(xiàn)［14］將加權(quán)最小二乘算法中的泰勒多項(xiàng)式替換為通帶波紋更低且阻帶衰減更高的Sinc 插值多項(xiàng)式，提高了此類算法在頻偏、諧波振蕩和線性調(diào)頻條件下的測量精度，但是間諧波干擾對算法精確度的影響很大.

綜合上述背景，為提高泰勒動態(tài)相量模型類算法的抗諧波與頻偏干擾性能，本文提出一種結(jié)合改進(jìn)矩陣束和二階泰勒動態(tài)相量模型的同步相量測量方法.先用改進(jìn)矩陣束估計(jì)電網(wǎng)基波頻率，然后結(jié)合泰勒二階多項(xiàng)式與最小二乘法修正頻率估計(jì)值，同時(shí)求出同步相量的幅值與相角參數(shù)，最后使用我國同步相量檢測規(guī)范中的測試案例對所提算法進(jìn)行仿真測試，驗(yàn)證本文算法的準(zhǔn)確度和實(shí)用性.

1 泰勒動態(tài)相量模型

根據(jù)電力系統(tǒng)同步相量標(biāo)準(zhǔn)可知，在不含噪聲等干擾的理想環(huán)境下，配電網(wǎng)電壓波形可用如下模型表示：

式中：A，φ1和f1分別為電壓波形的幅值、初相位和基波頻率，在理想的電網(wǎng)中，它們均為常數(shù).由于負(fù)荷動態(tài)變化和噪聲干擾等因素存在，實(shí)際電力系統(tǒng)中電壓波形的幅值和頻率會動態(tài)變化，考慮時(shí)變幅值和頻率的電壓波形動態(tài)模型可表示為：

式中：令P(t)=A(t)ejφ(t)，易知P（t）能夠表征電壓幅值和頻率隨時(shí)間變化的特征，被稱為動態(tài)相量.

基于動態(tài)相量的時(shí)變特性，將P（t）用二階泰勒多項(xiàng)式表示為

式中：系數(shù)p0、p1和p2分別為動態(tài)相量P（t）的零階導(dǎo)數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).此處也可以使用高階泰勒多項(xiàng)式，但是二階多項(xiàng)式已經(jīng)能夠提供符合標(biāo)準(zhǔn)要求的測量精度.將式（3）代入式（2）中整理可得：

式中：“*”代表共軛運(yùn)算符.

在實(shí)際電網(wǎng)中，電壓/電流信號中還有基波成份以外諧波與間諧波成份.信號模型（4）只考慮電網(wǎng)中的基波成份，無法精確表征含有諧波和間諧波分量的電網(wǎng)信號.因此將（4）擴(kuò)展為多頻動態(tài)相量模型為

式中：M代表電網(wǎng)信號中的頻率成份數(shù)，Ph（t）是第h個(gè)頻率分量對應(yīng)的動態(tài)相量，亦稱動態(tài)諧波（或間諧波）相量.

假設(shè)以采樣頻率fs對電網(wǎng)電壓x（t）進(jìn)行離散采樣，則離散化后得到的N點(diǎn)采樣序列為：

式中：T=1/fs且Zh=，對于采樣序列中的N個(gè)采樣點(diǎn)（為了保證t=0 為中心點(diǎn)，N取奇數(shù)），由式（6）可以得到N個(gè)線性方程：

式中：X為采樣序列，pall=［p1，…，ph，…，pM］T由所有頻率成份fh對應(yīng)動態(tài)相量的二階泰勒多項(xiàng)式系數(shù)組成，且ph=1/2［ph（0），ph（1），ph（2），ph*（0），ph*（1），ph*（2）］；系統(tǒng)矩陣GM=［B1，…，Bh，…，BM］，且Bh=［EhΠ2，；其中Eh是N×N對角矩陣，元素為；Π2是N×3 矩陣，下標(biāo)2 代表二階泰勒動態(tài)相量，其表達(dá)式為

因?yàn)榍蠼鈩討B(tài)相量就是求解系數(shù)向量pall.因?yàn)閄已知，若是已知GM，系數(shù)向量pall可用最小二乘法求出：

式中：“H”是埃爾米特復(fù)共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符，若已知Z，則能求出系數(shù)向量.由Zh=可知，頻率fh的精確度會直接影響到最后動態(tài)相量系數(shù)矩陣的準(zhǔn)確度，本文選擇改進(jìn)矩陣束算法計(jì)算頻率fh，實(shí)現(xiàn)過程如第2節(jié)所述.

2 改進(jìn)矩陣束算法計(jì)算同步相量

2.1 矩陣束算法

在數(shù)值計(jì)算理論［15］中，矩陣束定義為：

式中：f（t，λ）是函數(shù)g（t）和h（t）的束函數(shù)，包含了輸入信號的極點(diǎn)特征（在本文中，信號極點(diǎn)就是Z=ej2πfT）；λ是約束參數(shù)，為了保證約束生效，g（t）與h（t）不能是正比例關(guān)系.對于實(shí)際電網(wǎng)信號，本文提出的改進(jìn)矩陣束算法將噪聲、諧波和間諧波等看作無效干擾信息，只關(guān)注基波頻率成份，所以建立如下信號模型：

式中：k代表序列索引，y（kT），x（kT）和n（kT）分別代表采樣序列、理想信號序列和干擾序列.

第一步，使用采樣序列中的連續(xù)N點(diǎn)構(gòu)造（NL）×（L+1）型Hankel矩陣如下所示：

式中：L為矩陣束參數(shù)，其取值會影響改進(jìn)矩陣束算法的抗干擾性能，一般選取N/3≤L≤N/2比較合適［16］.

第二步，對Hankel矩陣Y進(jìn)行奇異值分解.為了區(qū)分輸入信號的基波成份與干擾成份，改進(jìn)矩陣束算法的核心思想是找出代表基波頻率成份的奇異值，因此需要對采樣信號構(gòu)成的Hankel 矩陣Y進(jìn)行奇異值分解：

式中：U為（N-L）×（N-L）型酉矩陣，V為（L+1）×（L+1）型酉矩陣，S為包含Hankel 矩陣Y所有奇異值的（NL）×（L+1）型對角矩陣.

第三步，利用奇異值分布規(guī)律濾除噪聲等干擾成份.對于無噪聲或者其他干擾的理想信號，矩陣S的對角元素會以一對降序排列的非零奇異值σ1和σ2開始，其余元素均為0.但是當(dāng)噪聲等干擾存在時(shí)，矩陣S的其余對角元素便不再為零.為了將噪聲干擾成份造成的奇異值與電網(wǎng)信號頻率造成的奇異值區(qū)分開，本文使用自適應(yīng)定階方法（見2.2節(jié)）計(jì)算出頻率成份個(gè)數(shù)M.然后將噪聲等干擾成份對應(yīng)的σi（i=2M+1，2M+2，…）設(shè)置為零，于是得到新的奇異值對角矩陣S′.

第四步，構(gòu)造矩陣束.在上一步使用奇異值分布規(guī)律濾除干擾后，可以使用U、V和S′構(gòu)造矩陣束，取V的右奇異向量：

將V′去除最后一行得到V1，去除第一行得到V2，然后重構(gòu)兩個(gè)矩陣：

經(jīng)過干擾濾除和重構(gòu)之后，Y1和Y2被認(rèn)為由理想信號構(gòu)成，如下所示：

經(jīng)過上述步驟處理后得到的Y1和Y2不會滿足正比例關(guān)系，故可以使用Y1和Y2構(gòu)造矩陣束F（λ）=Y2-λY1.

第五步，提取矩陣束極點(diǎn)信息，求出基波頻率.由文獻(xiàn)［15］可知，極點(diǎn)Z可以通過求解矩陣束F（λ）的廣義特征值求出.因此可以將對Z的求解轉(zhuǎn)化為對Y1+Y2特征值的求解，此處Y1+為矩陣Y1的廣義偽逆矩陣：

求出Y1+Y2的特征值Z后，結(jié)合Z=可以得到電網(wǎng)信號的基波頻率為：

2.2 自適應(yīng)定階方法

對于如式（5）所示的信號模型，每個(gè)頻率fh成份會使奇異譜中出現(xiàn)一對連續(xù)的奇異值，分別處于奇異譜序列的奇數(shù)與偶數(shù)位置.一般來說，由電網(wǎng)信號頻率成份產(chǎn)生的奇異值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于因噪聲而產(chǎn)生的奇異值.定階算法需要將有效信號成份盡可能從背景噪聲中區(qū)別出來，才能保證矩陣束算法準(zhǔn)確計(jì)算信號各成份的頻率值.基于此，本文提出一種基于奇異值均值的自適應(yīng)定階方法，其步驟如下.

第一步，將奇異值分奇偶位置進(jìn)行重新排序

其中σi為奇異值矩陣S的對角線元素；

第二步，計(jì)算每個(gè)頻率fh對應(yīng)奇異值的均值，即奇異值均值序列

第三步，對奇異值均值序列進(jìn)行歸一化，求出奇異值均值歸一化序列Snor，各元素為

其中ρi為Smean的第i個(gè)元素，ρmax為Smean的第一個(gè)元素（也是值最大的元素）.

第四步，定義噪聲奇異值的均值閾值η為

第五步，令M為序列Snor中所有大于η的個(gè)數(shù)，即為電網(wǎng)信號頻率成份個(gè)數(shù).

2.3 同步相量參數(shù)計(jì)算

求出電網(wǎng)信號各頻率fh之后，結(jié)合公式（9）就能求出多頻動態(tài)相量系數(shù)向量pall=［p1，…，ph，…，pM］T，其中的基波動態(tài)相量系數(shù)為

故同步相量的相位角參數(shù)為

同步相量的幅值參數(shù)為

修正后的基波頻率參數(shù)為

2.4 算法流程圖

基于改進(jìn)矩陣束的動態(tài)同步相量測量方法流程如圖1 所示.首先將采樣信號序列構(gòu)造成Hankel 矩陣；接著對Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解處理，利用奇異值序列進(jìn)行自適應(yīng)定階得到電網(wǎng)信號中的有效頻率成份數(shù)M；然后根據(jù)奇異值分解結(jié)果和頻率成份數(shù)M構(gòu)建矩陣束，求解矩陣束的特征值后求出各信號成份的粗估計(jì)頻率值；最后利用求出的粗頻率值構(gòu)建基于二階泰勒動態(tài)相量模型的多頻系統(tǒng)矩陣，并用最小二乘法估計(jì)出二階動態(tài)相量系數(shù)，進(jìn)而計(jì)算電網(wǎng)信號基波分量幅值、相位和頻率參數(shù)，即為同步相量.

圖1 基于改進(jìn)矩陣束的動態(tài)同步相量測量方法流程圖Fig.1 Flow chart of the improved matrix pencil method for dynamic phasor estimation

3 算法測量精度分析

為了測試提出算法的精確度和魯棒性，本文根據(jù)我國檢測規(guī)范——《GB/T 26862-2011 電力系統(tǒng)同步相量測量裝置檢測規(guī)范》對算法的關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行測試.根據(jù)重要性與實(shí)用性原則，主要從檢測規(guī)范中規(guī)定的頻率誤差、幅值誤差、相角誤差、幅值調(diào)試和頻率偏移影響等方面進(jìn)行測試.在所有實(shí)驗(yàn)中，采樣頻率fs設(shè)置為2 400 Hz，觀測窗口長度分別為1、2 和3 周期.對采樣序列進(jìn)行逐點(diǎn)滑窗計(jì)算，并取1 周波（80 次計(jì)算）中的最大絕對誤差作為測試結(jié)果報(bào)告.另外，為直觀展示本文算法改進(jìn)效果，選取了TWLS算法作為對比算法進(jìn)行性能分析.

3.1 頻率測量誤差測試

我國同步相量測量裝置檢測規(guī)范規(guī)定，同步相量測量裝置在45～55 Hz 范圍內(nèi)，頻率測量誤差不能超過0.002 Hz.測試信號如式（29）所示.Un為電力系統(tǒng)額定電壓.

表1 中記錄了改進(jìn)矩陣束算法在不同頻率下的頻率測量最大絕對誤差，可以看出，算法測量精度均在10-15數(shù)量級，完全符合標(biāo)準(zhǔn)要求，同時(shí)觀測窗長對算法精度無影響.

表1 頻偏下頻率測量最大絕對誤差Tab.1 Maximum absolute error of frequency estimation under frequency deviation conditions

3.2 相量測量誤差測試

由同步相量的定義知，相量包含幅值與相角兩個(gè)基本參數(shù).本小節(jié)根據(jù)同步相量測量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定分別對改進(jìn)矩陣束算法的幅值和相角測量精度進(jìn)行分析和評估，測試信號如式（30）所示.

3.2.1 幅值誤差測試

幅值測量誤差計(jì)算公式如式（31）所示，其中額定電壓Un為，電壓基準(zhǔn)值取Un的1.2 倍，此處為70 V.測試電壓幅值選取范圍為0.1Un～2.0Un，變化步長為0.1Un，標(biāo)準(zhǔn)要求在所有測量條件下的幅值測量誤差不能超過0.2%.

圖2 中的測試結(jié)果顯示，雖然改進(jìn)矩陣束算法的測量精度隨著電壓值變大而稍微降低，其理論精度為10-13數(shù)量級，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于TWLS 算法的10-6數(shù)量級，且觀測窗長的變化對靜態(tài)信號測量精度無影響.

圖2 電壓幅值測量最大絕對誤差Fig.2 Maximum absolute error of voltage amplitude measurement

3.2.2 相角誤差測試

圖3 展示了改進(jìn)矩陣束算法在不同幅值情況下的相角測量精度.在所有測試條件下，算法的相角測量精度均能達(dá)到10-13數(shù)量級，不但滿足低于0.2°的要求，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于TWLS 算法的10-3數(shù)量級.與幅值測量結(jié)果不同的是，相角測量精度隨著觀測窗長變小而提高.

圖3 相角測量最大絕對誤差Fig.3 Maximum absolute error of phase angle measurement

3.3 幅度調(diào)制影響測試

在實(shí)際電網(wǎng)中，同步相量恒定不變的理想情況并不存在，相量的幅值和相角參數(shù)一定處于不同程度的動態(tài)變化中.為了保證同步相量裝置對動態(tài)信號具有良好的測量性能，檢測規(guī)范規(guī)定：在調(diào)制頻率范圍0.1～4.5 Hz 和幅度調(diào)制量為0.1Un測試條件下，基波電壓幅值測量誤差值應(yīng)小于等于0.2%，相角測量誤差應(yīng)小于等于0.5°.在幅度調(diào)制影響測試實(shí)驗(yàn)中，調(diào)制頻率依次增加0.1 Hz，生成41組不同測試信號如式（32）所示.

改進(jìn)矩陣束算法對每組測試信號的幅值、相角和頻率測量精度結(jié)果分別如圖4-圖6 所示.從圖4可以看出，在調(diào)制頻率0.1～4.5 Hz 范圍中，電壓幅值測量誤差均小于0.1%，完全滿足檢測規(guī)范的精度要求.另外幅值測量精度與調(diào)制頻率大小和觀測窗長有關(guān)，表現(xiàn)在：第一，幅值測量精度隨著調(diào)制頻率增大而降低；第二，幅值測量精度隨著觀測窗口長度增大而降低.從圖5 可以看出，改進(jìn)矩陣束算法相角測量精度均小于0.1°，完全滿足檢測規(guī)范要求，同時(shí)相角測量精度隨著調(diào)制頻率增大而降低.與幅值測量精度結(jié)果不同，觀測窗長度雖然影響相角測量精度，但是并未呈現(xiàn)比例關(guān)系.三種不同觀測窗情況下，2周期觀測窗測量結(jié)果表現(xiàn)較差；而在調(diào)制頻率4～4.5 Hz 范圍內(nèi)，三種不同長度觀測窗提供的相角測量精度一樣.從圖6 可以看出，改進(jìn)矩陣束算法的頻率測量精度雖然隨著調(diào)制頻率增大而減小，但在各測試條件下均能優(yōu)于TWLS算法.

圖4 幅度調(diào)制下電壓幅值測量最大絕對誤差Fig.4 Maximum absolute error of voltage amplitude measurement under amplitude modulation

3.4 頻率偏移影響測試

在實(shí)際電網(wǎng)中，由于用電負(fù)荷與發(fā)電功率的不平衡，會導(dǎo)致實(shí)際電網(wǎng)頻率偏離標(biāo)稱頻率，因此需要測試改進(jìn)矩陣束算法在頻率偏差條件下的同步相量測量性能.實(shí)驗(yàn)中，采用綜合矢量誤差指標(biāo)表示測量精度，其定義如下：

式中：TVE 是綜合矢量誤差，Pr和Pi分別為理想信號相量的實(shí)部與虛部，Pr（t0）和Pi（t0）分別為實(shí)測相量的實(shí)部與虛部.

檢測規(guī)范要求規(guī)定：在基波頻率45～55 Hz 范圍內(nèi)，1 級同步相量測量裝置的綜合矢量誤差應(yīng)小于1%.基波頻率在45～55 Hz 之間以0.5 Hz 為步長進(jìn)行變化，測試信號如式（29）所示，測得改進(jìn)矩陣束算法的綜合矢量誤差如圖7所示.因?yàn)門WLS算法總是以電力系統(tǒng)標(biāo)稱頻率為參考值，所以測量精度受到頻率偏差影響極大；而改進(jìn)矩陣束算法在所有頻率偏差情況下，均有很高測量精度，誤差數(shù)量級小于10-12%，同時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明增大觀測窗長度會導(dǎo)致算法的綜合矢量誤差變大.

圖7 頻偏下最大綜合矢量誤差Fig.7 Maximum total vector error under frequency deviation

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于改進(jìn)矩陣束的同步相量測量算法.通過引入矩陣束算法能夠在不同干擾情況下精確測量電網(wǎng)基波頻率的優(yōu)勢，結(jié)合二階多頻動態(tài)相量模型可以表征同步相量變化率和加速度的特點(diǎn)，本文提出的算法能夠精確表示電網(wǎng)信號的動態(tài)特性，同時(shí)也能降低諧波與間諧波成份的干擾.實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該方法無論是在頻率偏差情況下，還是在電壓幅值調(diào)制情況下，均有較好的測量性能，可以精確測量電網(wǎng)信號的幅值、相角和頻率參數(shù).此外，利用同步相量檢測規(guī)范中的測試案例，驗(yàn)證了提出算法的精確度和魯棒性，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.