譚 輝

(廣東省佛岡縣石角鎮(zhèn)佛岡中學(xué),511600)

培育核心素養(yǎng)以“全面發(fā)展的人”為根本出發(fā)點(diǎn)和最終歸宿,是新時(shí)期教育的育人目標(biāo).為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),學(xué)習(xí)方式必須發(fā)生根本性的變革.“深度學(xué)習(xí)”教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目的推進(jìn),恰逢其時(shí)[1].在日常教學(xué)中,經(jīng)常會(huì)遇到對(duì)于某種題型,老師反復(fù)講述,學(xué)生課堂上感覺聽明白了,但考試時(shí)又反復(fù)出錯(cuò).出現(xiàn)這種情形的根本原因,是由于學(xué)生無法對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效泛化遷移來解決新的背景問題,或?qū)W生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣和方法.要想有效地解決以上問題,單靠教師反復(fù)講授,學(xué)生大量刷題是無法解決的.

針對(duì)上述問題,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在教學(xué)過程中,要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特征與學(xué)生的實(shí)際情況和認(rèn)知規(guī)律,優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)和突出主線,引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),使得每個(gè)學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)自己的潛能和優(yōu)勢(shì),保持對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的持久興趣.落實(shí)上述要求的關(guān)鍵便是實(shí)施深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)提倡單元學(xué)習(xí),即在整體視角下確定教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計(jì)教學(xué)情境、把握課程內(nèi)容,使學(xué)生深度參與、邏輯連貫地完整學(xué)習(xí)[2].本文以高三復(fù)習(xí)課“排列組合”為例,探究深度學(xué)習(xí)理念下的單元教學(xué)設(shè)計(jì)策略和路徑.

一、確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.單元學(xué)習(xí)目標(biāo)制訂的原則

單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的確立,原則上要有利于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng),使學(xué)生掌握能體現(xiàn)本學(xué)科的解題本質(zhì)及其思想方法.通過制定單元學(xué)習(xí)目標(biāo),可以使教師的教學(xué)過程清晰地展開,使教師的“教學(xué)目標(biāo)”與學(xué)生的“學(xué)習(xí)目標(biāo)”統(tǒng)一起來.制定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)時(shí),應(yīng)做好以下幾個(gè)方面:一是單元教學(xué)內(nèi)容分析,包括分析新課標(biāo)及高考要求,分析本單元核心內(nèi)容,且能與其它單元相互聯(lián)系與支撐；二是對(duì)學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行分析,包括學(xué)生的現(xiàn)有水平及其最近發(fā)展區(qū),學(xué)生通過本單元學(xué)習(xí)后,學(xué)科的核心素養(yǎng)應(yīng)得到怎樣的發(fā)展等.明確單元學(xué)習(xí)目標(biāo),有利于樹立教師的學(xué)科整體觀,避免教學(xué)時(shí)出現(xiàn)孤立性和盲目性,突出其對(duì)于重點(diǎn)知識(shí)和能力的要求,促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的達(dá)成.

2.“排列組合”單元教學(xué)目標(biāo)

排列組合是高考的一個(gè)難點(diǎn),也是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的一個(gè)預(yù)備知識(shí).由于題目背景具有較強(qiáng)實(shí)踐性及復(fù)雜性,學(xué)生理解起來可能存在困難,故在重視排列組合解題技巧方法的同時(shí),還應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng).根據(jù)上述教學(xué)內(nèi)容分析,結(jié)合學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展要求,制定如下單元教學(xué)目標(biāo):

(1)通過實(shí)例了解分類加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義；

(2)通過實(shí)例理解排列組合的概念,自主探究計(jì)數(shù)技巧,并能利用其去解決一些實(shí)際問題,特別是概率問題；

(3)通過應(yīng)用排列組合知識(shí)去解決實(shí)際問題,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng).

二、單元學(xué)習(xí)活動(dòng)過程設(shè)計(jì)

圍繞單元學(xué)習(xí)目標(biāo)及主題,結(jié)合學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備等情況,設(shè)置好一個(gè)具有整體性,兼具實(shí)踐與綜合開放性的單元學(xué)習(xí)活動(dòng)過程,是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.故單元學(xué)習(xí)活動(dòng)過程設(shè)計(jì)應(yīng)按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行:一是設(shè)計(jì)好具有一定層次的學(xué)習(xí)任務(wù)單,促進(jìn)學(xué)生在任務(wù)單的引領(lǐng)下,經(jīng)歷自主探究、解決問題的過程,激發(fā)學(xué)生有意義的深度學(xué)習(xí).二是對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)及可能遇見的困惑作出預(yù)判,給出相對(duì)應(yīng)的方案,引導(dǎo)好學(xué)生進(jìn)行多角度的深度思考,以此來加強(qiáng)教師與學(xué)生的深度互動(dòng),加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解及充分發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).最后要給予一定的反饋練習(xí),檢測(cè)學(xué)生掌握情況,進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì).具體到“排列組合”復(fù)習(xí)課，其單元學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)如下：

1.課前學(xué)習(xí)任務(wù)單

問題14位同學(xué)每人從三門不同的課程中任意選修一門,不同的選法有共有幾種?

問題2從5張不同的名片中任意選3張,共有幾種不同的選法?

問題3從5張不同的名片中任意選3張分給3個(gè)人,共有幾種不同的分法?

設(shè)計(jì)意圖以實(shí)際問題為背景,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.通過問題1使學(xué)生加深對(duì)分類加法及分步乘法的理解.通過問題2和3,使學(xué)生在比較的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)排列與組合是兩個(gè)特殊且重要的計(jì)數(shù)原理，“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素”,這是排列與組合數(shù)均具有的共同特征,它強(qiáng)調(diào)元素的不重復(fù),與問題1中元素可重復(fù)相對(duì)應(yīng).但排列與組合的不同之處在于,所取出的m個(gè)元素是否再按順序排列.學(xué)生可能對(duì)“順序”的理解有一定的困難,可結(jié)合實(shí)際例子加深學(xué)生對(duì)排列及組合數(shù)的理解.

2.深度探究

例1(1)6名學(xué)生排成一排,其中甲乙必須相鄰，有幾種排法?如果甲乙不能相鄰,則有幾種排法?

(2) 10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,解決以下問題；

① 求恰好有一件次品有多少取法；

② 求恰好有一件次品的概率；

③ 求至少有一件次品的概率.

設(shè)計(jì)意圖通過特定情境訓(xùn)練,回顧排列組合常見的幾個(gè)解題技巧，分別是相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、對(duì)立法等.同時(shí)通過概率問題的引入,使學(xué)生知道排列組合是概率統(tǒng)計(jì)的預(yù)備知識(shí).在教學(xué)與探究過程中,注意現(xiàn)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合,讓學(xué)生通過對(duì)問題的深度思考和相互探究來理解問題的本質(zhì),充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2(1)把6本不同的書,平均分成三堆,共有幾種分法?

(2)把6本不同的書,平均分給三個(gè)人,共有幾種分法?

(3) 6名同學(xué)到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館,甲館安排1人,乙館安排2人,丙館安排3人,則不同的安排方法共有多少種?

(4)把6本不同的書,分給三個(gè)人,每人至少分一本,共有幾種分法?

設(shè)計(jì)意圖分組及分配問題是近幾年高考最常見的一類問題,學(xué)生應(yīng)熟練掌握.問題(1)主要是回顧平均分組的處理方法,問題(2)和(3)是一個(gè)定額分配問題,可直接進(jìn)行組合處理，學(xué)生可能會(huì)采用先分組后排列的方法處理問題(2),此時(shí)教師可結(jié)合問題(4)向?qū)W生提出需要深度概括的問題,即如何處理一般性的分組分配問題.學(xué)生在通過充分參與、交流,概括出解決此類問題的一般性方法為:定額分配,組合處理;隨機(jī)分配,先分組,后排列,在分組時(shí)要注意是否存在平均分組.

例3(1)由數(shù)字1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù),共有幾種不同組合?

(2)在1,3,5,7,9中隨機(jī)取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中隨機(jī)取2個(gè)數(shù)字,共可以組成幾個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?

(3)從班委會(huì)5名成員中選出3名,分別擔(dān)任A，B，C三個(gè)職位.其中甲、乙二人不能擔(dān)任A職位,則不同的選法共有幾種?

設(shè)計(jì)意圖有些實(shí)際問題對(duì)元素或位置提出特殊要求,要求優(yōu)先處理好有特殊要求的元素或位置.但在優(yōu)先處理的過程中,往往又要對(duì)其進(jìn)行分類討論,把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，這種處理技巧是高考常見的一種考題類型,也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理素養(yǎng)不可多得的好題材.

問題(1)的處理較為常規(guī),問題(2)較之(1),除了特殊元素優(yōu)先處理外,還要對(duì)其進(jìn)行分類討論,相當(dāng)于優(yōu)先處理“0”這個(gè)元素.對(duì)“0”這個(gè)元素的所有可能結(jié)果進(jìn)行討論，要引導(dǎo)學(xué)生在分類討論時(shí)做到不重不漏.學(xué)生可能會(huì)從對(duì)立面來解決該問題,教師可抓住這個(gè)好時(shí)機(jī),讓學(xué)生對(duì)比一下兩種做法,再引入問題(3),讓學(xué)生合作探究出結(jié)果,以此提升學(xué)生處理這類問題的能力.

3.感悟高考

(1)(2021年全國(guó)乙卷改編)將5名志愿者分配到4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每位志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有多少種?

(2)(2014年新課標(biāo)1卷)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),求周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率.

(3)(2015年四川卷理科)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有幾個(gè)?

(4)(2013年浙江卷)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排,且A，B均在C的同側(cè),則不同的排法有幾種?

設(shè)計(jì)意圖通過前面的深度學(xué)習(xí)后再給出高考題目,讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)以致用,使學(xué)生學(xué)會(huì)在不同的實(shí)際背景中抓住問題的本質(zhì),從而發(fā)展學(xué)生綜合應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、思考

深度學(xué)習(xí)是指在教師的引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,通過積極探究和實(shí)踐,體會(huì)成功及獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生從提高“解題能力”轉(zhuǎn)向提高“解決問題的能力”,是新時(shí)期教育的育人方向及目標(biāo).單元學(xué)習(xí)正是深度學(xué)習(xí)所提倡的,即從宏觀格局看教材,有助于改變局限于數(shù)學(xué)要素的碎片化學(xué)習(xí),引導(dǎo)教師更加關(guān)注數(shù)學(xué)要素之間的聯(lián)系.在每節(jié)課開始前，應(yīng)從內(nèi)容、學(xué)科本質(zhì)、學(xué)情、教法等作出合理分析,對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)整合,合理優(yōu)化資源和調(diào)配教學(xué)內(nèi)容,選擇合適的教學(xué)策略,從而明確教學(xué)任務(wù),提出具有一定挑戰(zhàn)性的教學(xué)目標(biāo),引導(dǎo)學(xué)生積極探究[3].本節(jié)課就是基于深度學(xué)習(xí)理念進(jìn)行設(shè)計(jì),教師提出探究問題與學(xué)生深度互動(dòng),學(xué)生深度合作進(jìn)行探討得出結(jié)論,加深對(duì)知識(shí)的理解,真正實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

單元教學(xué)不只是一種形式,它改變以往課堂上教師只關(guān)心自己的教而忽視學(xué)生的學(xué),凸顯學(xué)生的主體性.作為一線數(shù)學(xué)教師,只有在整體上把控教學(xué)內(nèi)容,才能做到重點(diǎn)突出，游刃有余,才能更好地發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).所以，在日常備課和教學(xué)過程中，要有意識(shí)地培養(yǎng)和落實(shí)單元整體設(shè)計(jì),把教學(xué)內(nèi)容放在整體中全局考慮,提升自我.