夏乾冬 陶家友

摘要：要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，首先要落實(shí)運(yùn)算推理的教學(xué)。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算的整個(gè)過程中充分關(guān)注推理的元素。具體而言，要明晰運(yùn)算對象，選擇運(yùn)算律和運(yùn)算法則;依據(jù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則，形成運(yùn)算方法;調(diào)整推理路徑，優(yōu)化運(yùn)算方法。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);運(yùn)算推理;運(yùn)算對象﹔運(yùn)算方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）要求加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，尤其是要加強(qiáng)初中代數(shù)中演繹推理的教學(xué)。究其原因，數(shù)與式的運(yùn)算（變形）主要表現(xiàn)出程序化操作的特征（而沒有表達(dá)為“因?yàn)椤浴钡耐评硇问剑沂谴鷶?shù)的核心內(nèi)容。這就容易導(dǎo)致師生在熟練的操作中忘記運(yùn)算本質(zhì)上就是推理（從已知的數(shù)或式出發(fā)，依據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，形成運(yùn)算過程，獲得運(yùn)算結(jié)果的演繹推理），并且忽視運(yùn)算以外代數(shù)內(nèi)容中的推理。由此，代數(shù)推理可分為運(yùn)算推理和命題推理：前者更具有代數(shù)的特殊性，后者更接近推理的一般性。因此，要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，首先要落實(shí)運(yùn)算推理的教學(xué)，讓運(yùn)算思維可見。

運(yùn)算是一種復(fù)雜的認(rèn)知活動，一般包括明晰運(yùn)算對象、形成運(yùn)算方法、優(yōu)化運(yùn)算方法等環(huán)節(jié)。在整個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分關(guān)注推理的元素，以落實(shí)運(yùn)算推理的教學(xué)。

一、明晰運(yùn)算對象，選擇運(yùn)算律和運(yùn)算法則

相比于小學(xué)階段，初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算的一個(gè)顯著特征是運(yùn)算對象的拓展，從自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)（包括正小數(shù)）拓展到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，從數(shù)拓展到代數(shù)式（當(dāng)然，運(yùn)算也從加、減、乘、除拓展到乘方、開方）。在運(yùn)算對象拓展的過程中，運(yùn)算律保持不變，從而得到相應(yīng)的運(yùn)算法則，并且實(shí)現(xiàn)從數(shù)的特殊運(yùn)算結(jié)果向式的一般運(yùn)算規(guī)律的提升。所以在運(yùn)算過程中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生明晰運(yùn)算對象，從而選擇合適的運(yùn)算律和運(yùn)算法則作為算理依據(jù)，為通過推理形成運(yùn)算方法做好準(zhǔn)備。

例1 計(jì)算：（1）—3＋5；（2）（-1）100x5+（-4）÷2; 3

教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：這幾個(gè)式子的運(yùn)算對象分別是什么？應(yīng)該依據(jù)什么進(jìn)行運(yùn)算？從而發(fā)現(xiàn)：（1）的運(yùn)算對象是—3和5，運(yùn)算是加法，根據(jù)運(yùn)算對象的特征，可以依據(jù)異號兩數(shù)相加的法則進(jìn)行運(yùn)算；（2）的運(yùn)算對象有—1、100、5、—4、2，運(yùn)算有乘方、乘法、除法以及加法，因此可以依據(jù)乘方的意義、有理數(shù)的乘法法則和除法法則以及加法法則進(jìn)行運(yùn)算（當(dāng)然，因?yàn)槭嵌嗖竭\(yùn)算，一般規(guī)定的運(yùn)算順序也是重要的運(yùn)算依據(jù)，并且前一步的運(yùn)算結(jié)果會成為下一步的運(yùn)算對象）；（3）的運(yùn)算對象是兩個(gè)分式，運(yùn)算是減法，因此可以依據(jù)異分母分式相減的法則以及分式的基本性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。

二、依據(jù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則，形成運(yùn)算方法

要想得到運(yùn)算結(jié)果，需要通過一定的運(yùn)算方法（怎樣算），展開相應(yīng)的運(yùn)算過程。而運(yùn)算方法不是憑空產(chǎn)生的，不是“想當(dāng)然”的結(jié)果，需要基于一定的運(yùn)算道理（為什么這樣算）產(chǎn)生，也就是依據(jù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則推理形成。正如課標(biāo)研制（修訂）組組長史寧中教授談到代數(shù)推理時(shí)指出的：“算律決定算理，算理決定算法，這個(gè)思想非常重要?！雹偎栽谶\(yùn)算過程中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則形成運(yùn)算方法，即在明晰算理的基礎(chǔ)上掌握算法—這是落實(shí)運(yùn)算推理教學(xué)的關(guān)鍵。

例2 計(jì)算：（1）（3＋22）2；

（2）（-2a2）3+a·a。

教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生利用內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)思維過程，依據(jù)每一步的算理得到每一步的算法，展開運(yùn)算推理，分別如圖1、下頁圖2所示。

此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生在橫式書寫中添加每一步的依據(jù)（理由），第（1）小題的添加過程省略，第（2）小題的添加過程如下：

這樣做，可避免學(xué)生跳步計(jì)算，增加運(yùn)算的準(zhǔn)確性。比如，第（1）小題的計(jì)算中很容易出現(xiàn)由完全平方公式認(rèn)識不清導(dǎo)致的（3＋22）2＝3＋8的錯(cuò)誤，第（2）小題的計(jì)算中很容易出現(xiàn)由積的乘方法則認(rèn)識不清導(dǎo)致的（—2a2）3＝—2a6的錯(cuò)誤］。而且，可讓學(xué)生充分感受運(yùn)算推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成言之有據(jù)（有理）的習(xí)慣。

三、調(diào)整推理路徑，優(yōu)化運(yùn)算方法

基于運(yùn)算對象，依據(jù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則展開運(yùn)算的方法通常不唯一，即具有一定的靈活性。運(yùn)算方法的選擇不僅會影響運(yùn)算的正確率，而且關(guān)系到數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和表征關(guān)系的理解。所以在運(yùn)算過程中，特別是在依據(jù)運(yùn)算法則按部就班地得到運(yùn)算結(jié)果后，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找不同的運(yùn)算依據(jù)（包括運(yùn)算公式）及對象表征（比如幾何表征），從而調(diào)整推理路徑，優(yōu)化運(yùn)算方法。

例3 計(jì)算：

對于第（1）小題，學(xué)生通常會依據(jù)有理數(shù)、正分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算法則和乘法運(yùn)算法則，按運(yùn)算順序完成各步運(yùn)算，得到最終結(jié)果。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)乘法對加法的分配律優(yōu)化運(yùn)算方法：先做分?jǐn)?shù)乘整數(shù)運(yùn)算，再做整數(shù)加減法運(yùn)算。

對于第（2）小題，學(xué)生通常會依據(jù)乘方、開方的意義和小數(shù)、整數(shù)乘法、減法的運(yùn)算法則，按運(yùn)算順序完成各步運(yùn)算。但是，算出12.52—102＝56.25比較煩瑣，得到56.25＝7.52比較困難。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生再依據(jù)平方差公式和積的乘方法則優(yōu)化運(yùn)算方法：因?yàn)?2.52—102＝（12.5＋10）x（12.5-10）=22.5x2.5=225x0.25=152x0.52 ＝（15x0.5）2＝（7.5）2，所以12.52—102＝7.5。此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生通過幾何表征，依據(jù)勾股定理和圖形的放縮來優(yōu)化運(yùn)算方法：12.52—102表示斜邊長為12.5、一條直角邊長為10的直角三角形的另一條直角邊長（如圖3所示），該直角三角形邊長縮小2.5倍后是斜邊長為5、一條直角邊長為4的直角三角形，顯然其另一條直角邊長為3，于是縮小前直角三角形的另一條直角邊長為7.5，所以、12.52—102＝7.5。