黃秀旺 薛鶯

[編者按]強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》的重要變化之一。本刊第11 期刊登的《烏議初中代數(shù)推理教學(xué)》一文，比較透徹地分析了代數(shù)是一門(mén)怎樣的學(xué)科，由代數(shù)學(xué)科知識(shí)體系的形成及運(yùn)用過(guò)程給出了代數(shù)推理的含義和教學(xué)建議，并且辯證地認(rèn)識(shí)了代數(shù)推理的重要性和局限性。本期《專(zhuān)題研究》欄目，集中刊登一組關(guān)于初中代數(shù)推理及其教學(xué)的文章，重點(diǎn)從推理要素的層面給出初中代數(shù)推理的教學(xué)要義，并且針對(duì)初中代數(shù)推理的一種重要分類(lèi)（運(yùn)算推理、命題推理）展開(kāi)具體的教學(xué)研究，在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)一步闡述初中代數(shù)推理的教學(xué)價(jià)值。

摘要：代數(shù)推理是指從一定的條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)定義、代數(shù)公式、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，得到具體的數(shù)和代數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)量上的相等關(guān)系和不等關(guān)系等。代數(shù)推理可以大致分為運(yùn)算推理和命題推理。代數(shù)推理的教學(xué)要義有：恢復(fù)省略了的和壓縮掉的推理過(guò)程，讓推理“看得見(jiàn)”;融合合情推理與演繹推理，讓推理形成“閉環(huán)”開(kāi)發(fā)證明（說(shuō)明）類(lèi)問(wèn)題，彌補(bǔ)推理資源的不足;開(kāi)設(shè)強(qiáng)化推理技能的專(zhuān)題課，彌補(bǔ)推理訓(xùn)練的不足。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)：代數(shù)推理：運(yùn)算推理;命題推理

推理是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特征，推理能力一直是數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)的重要能力。但是在日常教學(xué)中，很多教師重視在幾何教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的推理能力，而忽視在代數(shù)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的推理能力。究其原因，代數(shù)的主要內(nèi)容是數(shù)與式的運(yùn)算，其程序化操作的特征讓很多教師誤以為其中沒(méi)有推理②。當(dāng)然，運(yùn)算本質(zhì)上是推理，但很多教師在教學(xué)中常常強(qiáng)調(diào)“算法”，而忽視“算理”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）在“課程內(nèi)容”初中部分的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域增加了“了解代數(shù)推理”的要求①，并且在附錄1中通過(guò)例66說(shuō)明“初中數(shù)學(xué)中，在圖形與幾何領(lǐng)域有推理或證明的內(nèi)容，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容”②。因此，有必要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)代數(shù)推理，并且思考如何展開(kāi)（或者加強(qiáng)）代數(shù)推理的教學(xué)。

一、代數(shù)推理的含義

（一）推理的含義

推理，邏輯學(xué)指思維的基本形式之一，是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過(guò)程。③新課標(biāo)指出：“推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力?！雹苡纱丝芍和评碇饕侵笍囊恍┦聦?shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論。

（二）代數(shù)推理的含義

張景中院士引用國(guó)外文獻(xiàn)指出：代數(shù)推理是“對(duì)常數(shù)以及變化的未知量進(jìn)行的定量推理”，而“定量推理可被看成是對(duì)一個(gè)情境中確定的量或者未知量進(jìn)行的心理操作，其目的是為了創(chuàng)建新的量以及構(gòu)建各個(gè)量之間的關(guān)系”。⑤謝春艷根據(jù)已有研究指出：代數(shù)推理常與代數(shù)思維緊密聯(lián)系，據(jù)此，代數(shù)推理可定義為解決代數(shù)問(wèn)題的一種推理，即人們?cè)诖鷶?shù)觀念系統(tǒng)作用下，能由若干數(shù)學(xué)條件，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，按照某些規(guī)定的法則，尋求某些數(shù)學(xué)或現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境的模式，推斷某一數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系或結(jié)構(gòu)的思維操作過(guò)程。⑥

新課標(biāo)沒(méi)有解釋代數(shù)推理的含義，但是根據(jù)其中“在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容”的說(shuō)明，我們可以分析數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的特征，明確其中推理的前提與結(jié)論的特征，從而給出代數(shù)推理的定義：從一定的條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)定義、代數(shù)公式、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，得到具體數(shù)和代數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)量上的相等關(guān)系和不等關(guān)系等。顯然，代數(shù)推理作為一種手段，其目標(biāo)可以是求得（發(fā)現(xiàn)）未知結(jié)果或結(jié)論，也可以是證明（確定）已知結(jié)果或結(jié)論。

二、代數(shù)推理的分類(lèi)

（一）推理的分類(lèi)

一般地，推理可分為合情推理和演繹推理，合情推理可分為歸納推理和類(lèi)比推理。值得一提的是，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)推理作出了這樣的分類(lèi)，并具體地解釋了歸納推理、類(lèi)比推理和演繹推理的含義、作用以及關(guān)系，但是新課標(biāo)沒(méi)有對(duì)推理作出分類(lèi)。對(duì)此，課標(biāo)修訂組核心成員孫曉天教授這樣闡述：“2022年版課標(biāo)沒(méi)有刻意區(qū)分演繹推理和合情推理，而是注重平衡推理反映的開(kāi)放、靈活與自信、專(zhuān)注之間的關(guān)系，并且在事實(shí)上給出了一個(gè)使兩者相互協(xié)調(diào)、成為一體的標(biāo)準(zhǔn)—‘思考現(xiàn)實(shí)世界?！雹哌@就要求我們更多關(guān)注推理的普遍意義，靈活乃至綜合使用各種推理建構(gòu)知識(shí)、解決問(wèn)題。

（二）代數(shù)推理的分類(lèi)

根據(jù)是對(duì)數(shù)與式的運(yùn)算，還是對(duì)數(shù)量關(guān)系的變形等，我們可以把代數(shù)推理大致分為運(yùn)算推理和命題推理。

運(yùn)算本質(zhì)上就是推理。運(yùn)算推理主要是從已知的數(shù)或式出發(fā)，依據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，形成運(yùn)算過(guò)程，獲得運(yùn)算結(jié)果的推理，是一種演繹推理。進(jìn)行運(yùn)算推理，也就是在運(yùn)算的過(guò)程中講清算理—當(dāng)然，熟練之后，可以不詳細(xì)地講算理，而直接依據(jù)算法操作，以提高效率，但是，要知道算理，即計(jì)算的依據(jù)是什么。

例如，計(jì)算123x12時(shí)，可以這樣講算理：123x12＝（100＋20＋3）x（10＋2）＝100 x10+100x2+20x10+20x2+3x10+3 x2=1000+200+200+40+30+6=1476。也就是，根據(jù)十進(jìn)位值制記數(shù)法，將123和12分別按數(shù)位（實(shí)際上是按計(jì)數(shù)單位“一”“十”“百”等）分解；根據(jù)乘法分配律，將式子展開(kāi)成若干個(gè)計(jì)數(shù)單位相乘后相加的形式；根據(jù)“個(gè)數(shù)和個(gè)數(shù)相乘得到結(jié)果的個(gè)數(shù)，計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位相乘得到結(jié)果的計(jì)數(shù)單位”和“相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加”的原理，求得最后的結(jié)果。

再如，計(jì)算（蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“2.8 有理數(shù)的混合運(yùn)算”的例3）時(shí)，可以這樣講算理：

（兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘）

（除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)）

（兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘）

（兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，并把絕對(duì)值9相乘）。

命題推理是指從若干代數(shù)命題（主要是假設(shè)的、運(yùn)算帶來(lái)的或現(xiàn)實(shí)事物的屬性中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系）出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出新的代數(shù)命題的推理，它包括歸納推理、類(lèi)比推理和演繹推理。

歸納推理如從“”的計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)（規(guī)律）—（a＂）＂＝a”＂（m、n是正整數(shù)）。

類(lèi)比推理如根據(jù)方程與不等式的相似性（都是數(shù)量關(guān)系，分別刻畫(huà)相等關(guān)系和不等關(guān)系），類(lèi)比解一元一次方程的依據(jù)（等式的性質(zhì)）、步驟（去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1）和結(jié)果形式（x＝a），得到解一元一次不等式的依據(jù)（不等式的性質(zhì)）、步驟（去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1）和結(jié)果形式（x＞a、x＜a、x≥a或x≤a）。

演繹推理如因?yàn)橐辉畏匠蘟x＋bx＋c＝0（a≠0）在判別式b2—4ac＞0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（大前提），又因?yàn)榉匠蘹＋5x—8＝0的判別式52—4x1x（—8）＞0（小前提），所以方程x＋5x—8＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（結(jié)論）。

三、代數(shù)推理的教學(xué)要義

（一）恢復(fù)省略了的和壓縮掉的推理過(guò)程，讓推理“看得見(jiàn)”

在圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)中，無(wú)論是獲得待求結(jié)論，還是證明給定結(jié)論，都常用“因?yàn)椤浴边@樣的推理形式來(lái)表達(dá)。而數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的教學(xué)，留給學(xué)生印象最深的恐怕是“……＝？”這樣的計(jì)算形式，即需要獲得一個(gè)“結(jié)果”。因此，學(xué)生在解諸如2x—5＝7的方程時(shí)，常出現(xiàn)諸如2x＝5＋7＝12＝12÷2＝6的錯(cuò)誤。對(duì)此，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的教學(xué)中，教師要盡可能把省略了的和壓縮掉的推理過(guò)程恢復(fù)，讓學(xué)生像在幾何學(xué)習(xí)中一樣“看見(jiàn)”推理過(guò)程。

例如，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“2.6有理數(shù)的乘法與除法”的例2及其解答過(guò)程如下：

計(jì)算：

解：

這里沒(méi)有出現(xiàn)“因?yàn)椤浴钡耐评硇问?，也沒(méi)有寫(xiě)出每一步計(jì)算的依據(jù)。事實(shí)上，以上計(jì)算包含如下推理：（1）因?yàn)橛欣頂?shù)加乘運(yùn)算律的分配律為a（b＋c）＝ab＋ac，所以（1／2＋5／6—／2）x（—36）＝1／2x（-36）+ 5／5x（—36）＋（—1／2）x（—36）。（2）因?yàn)椤皟蓴?shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘”，所以1／2x（—36）＝—18，5／6x（—36）＝—30，（—／12）x（—36）＝21。（3）因?yàn)椤巴?hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加”，所以—18—30＝—48。（4）因?yàn)椤爱愄?hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值”，所以—48＋21＝—27。因此，在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析得出上述推理過(guò)程，并且給每一步計(jì)算添加依據(jù)，從而讓學(xué)生充分感受代數(shù)推理，明晰算理。

在學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)運(yùn)算法則與規(guī)律的初期，尤其應(yīng)該這么做。實(shí)際上，有些學(xué)生不會(huì)計(jì)算（計(jì)算出錯(cuò)）的主要原因正是不理解（忽視了）運(yùn)算法則與規(guī)律。

再如，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)“9.4乘法公式”的例3第（1）小題及其解答過(guò)程如下：

用平方差公式計(jì)算：（5x＋y）（5x—y）。

解：（5x＋y）（5x-y）

=（5x）2-y =25x2-y2。

對(duì)于這一計(jì)算過(guò)程，有些教師和學(xué)生認(rèn)為是“套用公式”。實(shí)際上，這一計(jì)算過(guò)程也是代數(shù)推理：因?yàn)槠椒讲罟綖椋╝＋b）（a—b）＝a-b，所以，將a＝5x，b＝y(tǒng)代入，有 （5x+y）（5x-y）=（5x）2-y=25x2-y。

（二）融合合情推理與演繹推理，讓推理形成“閉環(huán)”

G.波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面。一方面，是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)。但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)像是一門(mén)試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”①實(shí)際上，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決（知識(shí)建構(gòu)）的過(guò)程中，合情推理和演繹推理的作用不同，相輔相成：前者用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；后者用于證明結(jié)論。因此，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的教學(xué)中，教師應(yīng)該盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)結(jié)論、證明結(jié)論的全過(guò)程，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、概括、猜想、驗(yàn)證、分析、論證等活動(dòng)，融合合情推理和演繹推理，形成推理“閉環(huán)”。

新課標(biāo)附錄1的例66（2）“研究?jī)晌粩?shù)a5平方的規(guī)律”，便引導(dǎo)學(xué)生先用歸納的方法猜想結(jié)論，再用演繹的方法證明結(jié)論。①

這樣的例子在教材中也有。例如，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第9章《整式乘法與因式分解》的復(fù)習(xí)題第9題：

觀察下列式子：

2x4+1=9， 4x6+1=25， 6x8+1=49， ......

探究以上式子的規(guī)律，并寫(xiě)出第n個(gè)等式，說(shuō)明第n個(gè)等式成立。

當(dāng)然，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生有時(shí)會(huì)受現(xiàn)有知識(shí)的制約，暫時(shí)不能證明結(jié)論。例如，學(xué)習(xí)一些基本的運(yùn)算法則和運(yùn)算律時(shí)，學(xué)生因?yàn)闆](méi)有學(xué)習(xí)基于皮亞諾公理體系的數(shù)和運(yùn)算的定義，所以很難嚴(yán)格證明結(jié)論（但是可以感受演繹推理思想②）。再如，對(duì)于蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第3章《代數(shù)式》的《閱讀》板塊提出的問(wèn)題“1＋3＋5＋7＋···＋（2n—1）的和是多少？”，學(xué)生因?yàn)闆](méi)有學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)歸納法以及數(shù)列的有關(guān)知識(shí)和方法，所以很難證明結(jié)論。對(duì)此，教師可以在學(xué)生用取特殊值計(jì)算后歸納的方法猜想結(jié)論之后，追問(wèn)“你的猜想正確嗎？”，從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到猜想的結(jié)論還需要進(jìn)一步證實(shí)：不僅需要再歸納驗(yàn)證，而且需要演繹論證。

（三）開(kāi)發(fā)證明（說(shuō)明）類(lèi)問(wèn)題，彌補(bǔ)推理資源的不足

相比于圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域很少出現(xiàn)證明（說(shuō)明）類(lèi)例題及習(xí)題，更多是求解類(lèi)例題及習(xí)題。雖然求解類(lèi)問(wèn)題的解決包含代數(shù)推理，但是，從問(wèn)題的呈現(xiàn)形式上看，并沒(méi)有引起學(xué)生對(duì)代數(shù)推理的直接反應(yīng)。對(duì)此，我們可以不失時(shí)機(jī)地開(kāi)發(fā)證明（說(shuō)明）類(lèi)問(wèn)題，充實(shí)到日常教學(xué)中，以彌補(bǔ)推理資源的不足。

例如，教學(xué)“等式的性質(zhì)”時(shí)，編制問(wèn)題：1．已知a＝b，請(qǐng)用等式的性質(zhì)說(shuō)明：2a+1_2b+1

2．已知2x—3y＝6，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y，并說(shuō)明為什么。

3．如圖1，“”“”“”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放“”的個(gè)數(shù)為多少？為什么？

再如，教學(xué)“不等式的性質(zhì)”時(shí)，編制問(wèn)題：

1．請(qǐng)用不等式的性質(zhì)說(shuō)明a＋3＞a＋1。

2．已知a＜b，請(qǐng)用不等式的性質(zhì)說(shuō)明-4a-3>-4b-3。

3．已知a＞1，請(qǐng)用不等式的性質(zhì)說(shuō)明a+1

（四）開(kāi)設(shè)強(qiáng)化推理技能的專(zhuān)題課，彌補(bǔ)推理訓(xùn)練的不足

推理能力的發(fā)展應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)問(wèn)題解決（知識(shí)建構(gòu)）的過(guò)程，包括表征（運(yùn)用符號(hào)建立模型）、一般化（歸納概括代數(shù)規(guī)律）、運(yùn)算（按照運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行程序性操作）、變形（按照等式和不等式的性質(zhì)進(jìn)行程序性操作）等環(huán)節(jié)。①在這些環(huán)節(jié)中，都要滲透推理論證的思想，落實(shí)推理論證的訓(xùn)練。因此，教師可以針對(duì)表征、一般化、運(yùn)算、變形等環(huán)節(jié)，開(kāi)設(shè)強(qiáng)化推理技能的專(zhuān)題課，彌補(bǔ)推理訓(xùn)練的不足。

比如，教學(xué)七年級(jí)的“代數(shù)式”時(shí)，可以將八年級(jí)、九年級(jí)涉及“代數(shù)式表征”環(huán)節(jié)的教學(xué)素材加以改造，提前滲透，要求學(xué)生說(shuō)明表征的道理，從而加強(qiáng)推理技能的訓(xùn)練。如蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“1.1 一元二次方程”中有兩個(gè)用于引入的情境：

1．如圖2，矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是19m，花圃的面積是24㎡。設(shè)花圃的寬是xm，花圃的長(zhǎng)是（19—2x）m，可以用方程x（19—2x）＝24來(lái)描述該花圃的寬與面積之間的數(shù)量關(guān)系。

2．某校圖書(shū)館的藏書(shū)在兩年內(nèi)從5萬(wàn)冊(cè)增加到9.8萬(wàn)冊(cè)。設(shè)圖書(shū)館的藏書(shū)平均每年增長(zhǎng)的百分率是x，圖書(shū)館的藏書(shū)一年后為5（1＋x）萬(wàn)冊(cè)，兩年后為5（1＋x）2萬(wàn)冊(cè)，可以用方程5（1＋x）2＝9.8來(lái)描述該圖書(shū)館藏書(shū)年平均增長(zhǎng)的百分率與藏書(shū)量之間的數(shù)量關(guān)系。

教師可以將這兩個(gè)情境改編成要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)式表征的問(wèn)題：

1．如圖2，矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄總長(zhǎng)度是19m，花圃的寬是xm，那么花圃的長(zhǎng)是m，花圃的面積是㎡。

2．某校圖書(shū)館今年藏書(shū)5萬(wàn)冊(cè)，預(yù)計(jì)圖書(shū)館的藏書(shū)平均每年增長(zhǎng)的百分率為x，那么明年圖書(shū)館的藏書(shū)為＿萬(wàn)冊(cè)，后年圖書(shū)館的藏書(shū)為＿萬(wàn)冊(cè)。

再如，可以在七年期上學(xué)期開(kāi)設(shè)“找規(guī)律”的專(zhuān)題課，讓學(xué)生將具體的代數(shù)例子一般化，并用符號(hào)表示一般化的代數(shù)規(guī)律，從而加強(qiáng)推理技能的訓(xùn)練。而這節(jié)專(zhuān)題課使用的素材可以廣泛選取，如選取上述蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第9章《整式乘法與因式分解》的復(fù)習(xí)題第9題—只讓學(xué)生“探索以上式子的規(guī)律，并寫(xiě)出第n個(gè)等式”。