劉永平，魏凌強，魏永峭，李自軍

（1.蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050；2.浙江午馬減速機有限公司設計部，浙江 溫州 325019）

1 引言

行星輪系是一種重要的齒輪傳動機構，具有結構緊湊、體積小、質量輕、承載能力強及傳遞功率范圍大等優(yōu)點，已廣泛應用于機械制造、航空航天、汽車船舶、工程機械等各個行業(yè)［1］。但是行星輪系的設計是一個復雜的問題，其計算參數(shù)多、計算過程繁瑣，可能因為計算次數(shù)有限而漏掉最優(yōu)解，且依照齒輪設計手冊也容易忽略掉一些設計基準和要求，使整個行星輪系傳動很難達到預期的各種性能指標，導致傳動過程中出現(xiàn)振動和噪聲問題［2-4］。

已知某型號的行星減速機具體參數(shù)，通過計算分析，發(fā)現(xiàn)該型號減速機不滿足行星減速機設計要求的基本約束條件之中的約束條件，各嚙合齒數(shù)之間有公約數(shù)且太陽輪齒數(shù)是行星輪數(shù)目的整數(shù)倍，這勢必對整個輪系運行的平穩(wěn)性產(chǎn)生影響，導致產(chǎn)生一定程度的噪聲問題。針對上述問題，這里利用Kisssoft軟件，仿真分析齒數(shù)關系對傳動性能的影響，以及相同參數(shù)下，分析不同部件作為輸入端時對傳動系統(tǒng)性能的影響。以傳動誤差、齒面載荷分布以及接觸斑點的優(yōu)劣作為判斷行星輪系傳動精度高低的依據(jù)，得出最優(yōu)的設計參數(shù)，為漸開線行星齒輪減速機的設計提供了一定的理論方法和依據(jù)。

2 行星輪系設計參數(shù)分析

2.1 行星輪系參數(shù)基本約束條件

行星傳動各齒數(shù)不能隨意選取，必須依據(jù)行星傳動的特點，滿足鄰接條件、同心條件及裝配條件等基本約束條件，才能進行正常傳動［5］。

（1）鄰接條件

鄰接條件要求相鄰兩個行星齒輪不互相碰撞，可用下式表示：

（2）同心條件

為保證中心輪和行星架軸線重合條件下的正確嚙合，由中心輪和行星輪組成的各嚙合副的實際中心距必須相等，即為同心條件，可用下式表示：

（3）裝配條件

裝配條件要求n個行星輪能均勻裝入輪系中，并且和太陽輪正確嚙合而沒有錯位，可用下式表示：

式中：z1、z2、z3—太陽輪、行星輪和內齒圈的齒數(shù)；np—行星輪的數(shù)目；d12—行星輪齒頂圓的直徑；cosα12、cosα23—太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈的實際嚙合角。

2.2 主要性能指標

（1）傳遞誤差

傳遞誤差是指剛性條件下從動輪的實際占有位置與理想位置的差異，如圖1所示。圖中：A—主動輪齒廓；B—從動輪齒廓；B′—形變后從動輪齒廓。工作載荷下的齒輪的動態(tài)特性主要是由傳遞誤差曲線的波動幅值來決定的，波動幅值愈大，振動愈大，即傳遞誤差的幅值是振動的直接激勵［6］。當內齒圈固定，太陽輪作為輸入端，行星架作為輸出端時，行星輪系的傳遞誤差TE可用下式表示：

圖1 傳遞誤差圖Fig.1 Transmission Error

式中：φx、φt—行星架和太陽輪的轉角；

行星架和太陽輪的初始轉角。

對于行星輪系傳遞誤差TE的計算主要基于齒輪制造誤差TE（1由齒輪精度的單項誤差構成，例如齒距累計偏差fp、齒廓偏差fα等）和齒輪接觸變形TE2構成，其表達式如下：

式中：D—輪齒接觸變形量。

（2）嚙合剛度

如果將齒輪傳動的嚙合過程近似看做一個彈性變化的過程，則齒輪得接觸剛度是隨著齒輪轉動而不斷發(fā)生變化的，這將導致輪齒間的嚙合沖擊，進而引起系統(tǒng)動態(tài)響應的變化，使系統(tǒng)產(chǎn)生振動和噪聲。為了從本質上減小齒輪噪聲，應使輪齒副傳動過程中的剛度變化盡量柔和。一般來說，齒輪法向嚙合剛度可用下式表示［6-9］：

法向嚙合剛度和切向嚙合剛度之間的關系為：

式中：T—齒輪的負載扭矩；

Δθ—齒輪的轉角；

Fn—齒輪嚙合點的法向力；

rb—齒輪的基圓半徑；

δ—齒輪副沿嚙合線方向的線性變形。

這里根據(jù)Weber-Banaschek法和Hook公式，將齒輪的綜合彈性變形分為齒輪本身的變形、齒輪齒根處彈性變形、局部接觸變形和赫茲變形。一般，嚙合力的作用下，齒輪的變形主要由彎曲、剪切和壓縮變形組成，利用懸臂梁模型來模擬齒輪的變形，如圖3所示，這里采用能量法求得齒輪的彎曲剛度Kb、剪切剛度Ks和齒根壓縮引起的剛度Kɑ，可以分別利用式（10）～式（12）計算得到。另外，在計算輪齒變形時應考慮齒輪的赫茲變形，如圖4所示。即在計算系統(tǒng)嚙合剛度時需要加上赫茲接觸剛度Kh，可用式（13）計算得到。

圖2 輪齒嚙合懸臂梁模型Fig.2 Gear Meshing Cantilever Beam Model

圖3 赫茲剛度Fig.3 Hertz Stiffness

圖4 行星輪系三維模型Fig.4 Three-Dimensional Model of Planetary Gear Train

式中：F—齒輪齒面載荷；

E和G—齒輪的彈性模量和剪切模量；

Ix、Ax—距離齒輪固定端X處截面的慣性矩和截面面積；

θ—齒輪副的嚙合壓力角。

綜合可得，太陽輪和行星輪一對輪齒的總嚙合剛度為：

式中：下標s—太陽輪；下標p—行星輪。

3 行星輪系設計參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)該漸開線行星齒輪減速機相關型號與參數(shù)，如表1所示。利用Solidworks軟件建立精確的三維模型，如圖1所示，該輪系以太陽輪作為輸入，行星架為輸出，額定輸出力矩為330Nm，額定輸入轉速為3000rpm。

表1 原齒輪基本參數(shù)表Tab.1 Original Gear Basic Parameters

上述條件為行星齒輪減速機設計的基本條件，為了減少輪系傳動的振動和噪聲，提高其傳動平穩(wěn)性，在嚙合的各齒輪副之間應最好沒有公約數(shù)，且太陽輪的齒數(shù)也不宜為行星輪數(shù)目的整數(shù)倍。這里利用Kisssoft軟件對這兩個要求進行研究，分析不同形式下對行星輪系傳動性能的影響大小，得出最佳的配齒方式。

在工況條件及模數(shù)、齒寬、壓力角等齒輪基本原參數(shù)不變的條件下，只改變齒數(shù)，在Kisssoft軟件中精篩選，可得到78組數(shù)據(jù)，如圖5所示。

圖5 齒輪齒數(shù)方案分布圖Fig.5 Gear Tooth Number Scheme Distribution

依據(jù)齒輪最小彎曲疲勞強度和最小接觸疲勞強度、各嚙合齒輪副之間的齒數(shù)有無公約數(shù)和太陽輪的齒數(shù)是否為行星輪數(shù)目的整數(shù)倍，篩選出六組數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 齒輪齒數(shù)方案表Tab.2 Gear Tooth Number Scheme

對原齒輪齒數(shù)及篩選獲得的六組齒數(shù)方案在Kisssoft軟件中，進行具體的仿真分析。為了清晰了解不同齒數(shù)方案對傳遞誤差、最大法向剛度、最大切向剛度以及最大應力的影響，將計算數(shù)據(jù)進行了圖形化比較，具體如圖6～圖9所示。

圖6 傳遞誤差對比圖Fig.6 Transmission Error Comparison

圖9 最大應力對比圖Fig.9 Maximum Stress Comparison

圖8 最大切向剛度對比圖Fig.8 Maximum Tangential Stiffness Comparison

圖7～圖10中，橫坐標（1～7）分別代表不同的齒數(shù)方案，1為原齒數(shù)方案、（2～7）分別為表2中第一組到第六組齒數(shù)方案。

圖7 最大法向剛度對比圖Fig.7 Maximum Normal Stiffness Comparison

圖10 傳遞誤差曲線圖Fig.10 Transfer Error Curve

通過對上面圖表分析，雖然原方案的最大法向剛度和最大切向剛度相比其它六組方案略低，但綜合比較下來，第七組齒數(shù)方案的行星輪系各項指標最優(yōu)，即當行星輪系中太陽輪齒數(shù)不能整除行星輪數(shù)目，且太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈齒數(shù)互質時，其傳遞誤差值和最大應力值均比其它齒數(shù)方案小。

為使計算結果更加直觀，對第七組齒輪方案和原齒數(shù)方案進行TCA輪齒接觸分析，如圖11～圖13所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，傳遞誤差由原齒數(shù)方案的1.847μm減小至0.292μm，降低了84.2%；且可明顯發(fā)現(xiàn)原齒數(shù)方案的齒面載荷沿齒寬方向分布不均，存在一定的偏載現(xiàn)象，最大載荷為1335.547N/mm2，該齒數(shù)方案齒面載荷沿齒寬方向分布均勻、基本不存在偏載現(xiàn)象，最大載荷為998.281N/mm2，降低了25.3%。

圖11 剛度曲線圖Fig.11 Stiffness Curve

圖12 齒面接觸載荷及分布圖Fig.12 Tooth Surface Contact Load and Distribution Diagram

圖13 傳遞誤差對比圖Fig.13 Transmission Error Comparison

4 行星輪系輸入端仿真分析

目前，齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)激勵分為外部和內部兩種激勵。其中，外部激勵是指激勵由外部施加給傳動系統(tǒng)的，大部分由原動機的主力矩引起。反之，由傳動系統(tǒng)內部產(chǎn)生的激勵稱為內部激勵。大多數(shù)研究旨在通過改變輪系結構參數(shù)或者輪齒修形來改善輪系內部激勵，達到減振、降噪的目的，而忽視了改善外部激勵［10-12］。

行星輪系的輸入端可以為太陽輪、行星架及內齒圈，本節(jié)在不改變輪系結構參數(shù)和激勵特性的情況下，通過改變行星輪系的激勵位置，研究分析輪系的動態(tài)特性，實現(xiàn)減振、降噪的目的。

對原齒數(shù)方案及上述得到的六組齒數(shù)方案進行仿真分析，將不同齒數(shù)方案得到的傳遞誤差、最大法向剛度、最大切向剛度以及最大應力的將數(shù)據(jù)進行圖形化比較，具體如圖14～圖17所示。

圖14 最大法向剛度對比圖Fig.14 Maximum Normal Stiffness Comparison

圖15 最大切向剛度對比圖Fig.15 Maximum Tangential Stiffness Comparison

圖16 最大應力對比圖Fig.16 Maximum Stress Comparison

圖14-圖17中，橫坐標1-7分別代表不同的齒數(shù)方案，1為原齒數(shù)方案、2-7分別為表2中第一組到第六組齒數(shù)方案。

圖17 某型號行星減速機實體Fig.17 Planetary Reducer Entity of a Certain Type

通過對上面圖表分析，可以得出當行星輪系把行星架作為輸入端時，其工作狀態(tài)要比把太陽輪或內齒圈作為輸入端時優(yōu)良。以第七組齒數(shù)方案為例，當行星架作為輸入端時，相比太陽輪作為輸入端，傳遞誤差由0.292μm減小至0.157μm，降低了46.2%；太陽輪作為輸入端時法向剛度為383.4678N/μm，切向剛度為46.3794N/μm，當行星架作為輸入端時法向剛度降為325.6931N/μm，切向剛度降為10.4201N/μm，分別降低了15%和77.5%；太陽輪為輸入端時齒面最大載荷為998.281N/mm2，行星架作為輸入端時齒面最大載荷為464.438N/mm2，降低了53.5%。另外，通過TCA齒面接觸分析可得出，當行星輪系以行星架作為輸入端時，其齒輪彎曲強度和接觸強度要優(yōu)于于太陽輪和內齒圈作為輸入端時的強度。

最后，基于已得到的理論仿真結果，以第七組最優(yōu)參數(shù)作為方案，加工出一臺減速機實體，如圖18所示。并在齒輪箱檢測儀中進行試驗，如圖19所示。結果表明，檢測數(shù)據(jù)十分接近理論數(shù)據(jù)。通過實驗驗證，為該型號減速機的減振降噪提供了可行的依據(jù)。

圖18 齒輪箱檢測儀Fig.18 Gear Box Detector

5 結論

這里在Solidworks軟件中建立了漸開線變位直齒輪行星輪系的精確模型，之后導入Kisssoft軟件中進行TCA輪齒接觸仿真分析。通過嚙合的各對齒輪之間是否有公約數(shù)，太陽輪的齒數(shù)是否為行星輪數(shù)目的整數(shù)倍，及行星輪系不同輸入端情況下的不同齒數(shù)方案的對比分析，這里得到以下結論：

（1）當嚙合齒輪副的齒數(shù)之間存在互質關系時，齒面應力基本不存在偏載現(xiàn)象，且滿足行星輪與內齒圈之間的互質是最重要的；

（2）當滿足太陽輪齒數(shù)不為行星輪數(shù)目的整數(shù)倍時，行星輪系的傳遞誤差、嚙合剛度及齒面接觸應力比可以整除的要好；

（3）漸開線行星輪齒輪減速機由行星架作為輸入端時，其工作性能比太陽輪和內齒圈作為輸入端時要優(yōu)良。