唐 敏

（大連職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣電子工程學(xué)院，遼寧 大連 116037）

1 引言

行星齒輪箱以其結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比高、承載能力大的獨(dú)特特點(diǎn)被廣泛地集成到各種旋轉(zhuǎn)機(jī)械中［1，2］。由于工作環(huán)境惡劣，行星齒輪箱容易損壞，導(dǎo)致整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)性能下降甚至停機(jī)。為了有效地提高機(jī)器運(yùn)行的可靠性和降低維護(hù)成本，狀態(tài)評(píng)估在現(xiàn)代工業(yè)中是必不可少的［3］。

對(duì)于行星齒輪箱的狀態(tài)監(jiān)測(cè)，編碼器信號(hào)比傳統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)有許多優(yōu)點(diǎn)［4］。首先，編碼器信號(hào)消除了時(shí)變傳輸路徑引起的幅度調(diào)制現(xiàn)象。此外，編碼器信號(hào)可以直接從內(nèi)置的旋轉(zhuǎn)編碼器獲取，而不必侵入行星齒輪箱。最后，編碼器信號(hào)具有相對(duì)較高的信噪比。因此，基于編碼器信號(hào)的狀態(tài)評(píng)估方法在克服振動(dòng)分析的缺點(diǎn)的同時(shí)，為行星齒輪箱的狀態(tài)評(píng)估提供了另一個(gè)可行的解決方案［5］。

在文獻(xiàn)［6］中，首先從編碼器信號(hào)中測(cè)量軸的瞬時(shí)角速度，然后將其應(yīng)用于葉片的健康評(píng)估。文獻(xiàn)［7］研究了連接誤差和量化誤差對(duì)，用經(jīng)過(guò)時(shí)間法從編碼器信號(hào)中獲得的速度信息精度的影響，并提出了編碼器幾何補(bǔ)償算法，從而準(zhǔn)確地從編碼器信號(hào)中提取速度信息。此外，文獻(xiàn)［8］提出了一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和自相關(guān)局部倒譜相結(jié)合的齒輪箱多級(jí)故障檢測(cè)方法。文獻(xiàn)［9］提出了利用梳狀濾波、基尼引導(dǎo)的殘差奇異值分解和迭代馬氏距離識(shí)別行星齒輪箱的健康狀況。盡管編碼器信號(hào)分析取得了顯著進(jìn)展，但是現(xiàn)有的方法大多集中在恒定轉(zhuǎn)速條件下的編碼器信號(hào)分析，而對(duì)其時(shí)變故障特征的研究還不夠深入，因此，基于編碼器信號(hào)的變速箱故障檢測(cè)仍然具有挑戰(zhàn)性。

針對(duì)這一問(wèn)題，提出了一種基于局部多項(xiàng)式擬合稀疏算法與階次跟蹤（LPFSA-OT）的變速齒輪箱編碼器信號(hào)瞬態(tài)特征提取算法，用于識(shí)別變速箱在變速工況下的健康狀況。最后通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了提出方法的有效性。

2 基本理論

2.1 局部多項(xiàng)式擬合

考慮噪聲觀測(cè)y的近似多項(xiàng)式信號(hào)p：

式中：p∈RN很好地近似于d次多項(xiàng)式，w∈RN—具有零均值的高斯白噪聲；x(t)∈RN—故障引起的角瞬變。為了從噪音信號(hào)y中預(yù)估多項(xiàng)式信號(hào)p，提出了以下優(yōu)化問(wèn)題：

式中：N—信號(hào)長(zhǎng)度，d次多項(xiàng)式滿足d＜＜N。

為方便起見，將優(yōu)化問(wèn)題（3）轉(zhuǎn)換為矩陣形式，可以表示為：

式中：G—大小為N×(d+1)的范德蒙德矩陣，多項(xiàng)式數(shù)ɑ為大小(d+1)×1的向量。

優(yōu)化問(wèn)題（4）是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)最小二乘問(wèn)題，其解決方案可以被明確的表示為：

然后，多項(xiàng)式信號(hào)p由p^=Gɑ^=G(GTG)-1GTy給出。殘差由給出，可以將其重寫為其中H=I-G(GTG)-1GT。

然而，上述近似所有N-point數(shù)據(jù)內(nèi)的多項(xiàng)式信號(hào)的多項(xiàng)式擬合通常適用于相對(duì)短的信號(hào)。因此，對(duì)于具有N-point數(shù)據(jù)的長(zhǎng)信號(hào)，在M個(gè)局部塊內(nèi)執(zhí)行多項(xiàng)式擬合是合理的，該M個(gè)局部塊是通過(guò)在整個(gè)N-point數(shù)據(jù)上滑動(dòng)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的窗口而獲得的。上面的方法是所謂的局部多項(xiàng)式擬合。請(qǐng)注意，上述參數(shù)滿足，其中，P表示連續(xù)塊的重疊長(zhǎng)度，其范圍設(shè)置為0≤P≤L-1；[X]表示將X舍入為小于或等于X的最接近整數(shù)的運(yùn)算符。為了符號(hào)上的方便，引入大小為L(zhǎng)×N的矩陣Sm，將N-point劃分為M個(gè)段，每個(gè)段的P點(diǎn)重疊。相應(yīng)地，矩陣表示將第m個(gè)塊置于N-point數(shù)據(jù)中的第m位置的過(guò)程。對(duì)于范圍1≤m≤M中的每個(gè)m，相應(yīng)的局部塊定義為ym=Smy。例如，當(dāng)N=9，L=5且P=3時(shí)，矩陣S2可以表示為：

此外，值得注意的是，矩陣Sm和diɑg(sm)，其中diɑg(s)返回一個(gè)平方對(duì)角矩陣，其中向量s的元素位于主對(duì)角線上。例如，對(duì)應(yīng)于（7）中的矩陣S2的向量s2是s2=[0 0 1 1 1 1 1 0 0]，在基本介紹了局部塊和矩陣Sm之后，進(jìn)一步給出了局部多項(xiàng)式擬合的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

其中矩陣G的大小為L(zhǎng)×(d+1)。相應(yīng)地，第m塊的多項(xiàng)式系數(shù)ɑm和殘差wm分別為其中H=I-G(GTG)-1GT。

2.2 稀疏表示

稀疏表示已在圖像處理和信號(hào)處理中受到廣泛關(guān)注，其核心是在冗余字典上找到信號(hào)的最稀疏表示［10］?；谙∈栊运惴ǖ臄?shù)學(xué)模型可以表示為：

式中：y∈RN—被測(cè)信號(hào)；D∈RN×M和x∈RM—冗余字典和稀疏系數(shù)。此外，稀疏正則化器R(x)用于提高系數(shù)x的稀疏性，而λ＞0是保持?jǐn)?shù)據(jù)保真度和稀疏性之間平衡的正則化參數(shù)。

為了獲得令人滿意的稀疏表示性能，必須針對(duì)特定問(wèn)題仔細(xì)構(gòu)建冗余字典D和稀疏正則化器R(x)。在文獻(xiàn)［11］中，為了從噪聲振動(dòng)信號(hào)中提取出低振蕩分量和高振蕩分量，基于可變換的Q因子小波變換建立了超完備字典，并選擇l1=norm作為正則化器。此外，引入了廣義極大極小凹懲罰作為非凸正則化器，以提高l1=norm正則優(yōu)化問(wèn)題的性能。在文獻(xiàn)［12］中，為了從測(cè)量的振動(dòng)信號(hào)中提取出在時(shí)域中表現(xiàn)出組稀疏特性的故障瞬變，將重疊的組稀疏性合并到正則化器中，并將冗余字典D設(shè)置為單位矩陣I。優(yōu)化極小化算法（majorization minimization，MM）算法是一種將復(fù)雜問(wèn)題隱蔽為較簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法?？紤]關(guān)于u的目標(biāo)函數(shù)F最小化的凸優(yōu)化問(wèn)題：

可以通過(guò)迭代算法獲得優(yōu)化問(wèn)題（10）的解：

式中：Q—目標(biāo)函數(shù)F在（10）中的主化器，而i是迭代索引。

此外，主化器必須遵循約束：

在這里，給出了絕對(duì)函數(shù)||u的主化器，它將在以下算法推導(dǎo)中使用。

其中，C不依賴于u。

3 提出的瞬態(tài)特征提取算法

3.1 局部多項(xiàng)式擬合稀疏算法

從發(fā)生齒輪故障的行星齒輪箱獲取的編碼器信號(hào)通常是累積的角位置，諧波分量，故障引起的角瞬變和背景噪聲的混合物，該信號(hào)記錄受監(jiān)控軸的角位置，并可以表示為：

公眾保護(hù)意識(shí)不高、對(duì)相關(guān)法律的陌生是野生動(dòng)物非法貿(mào)易高發(fā)的主要原因。在一些邊遠(yuǎn)山區(qū)，野生動(dòng)物的保護(hù)工作沒有引起高度重視，一些短視行為使野生動(dòng)物的棲息場(chǎng)所被破壞。野生動(dòng)物的引種、馴養(yǎng)、繁殖等管理滯后，漏洞較多。加之，近年來(lái)，人們飼養(yǎng)的野生動(dòng)物數(shù)量、種類越來(lái)越多，瀕危等級(jí)越來(lái)越高，這引發(fā)了大量野生動(dòng)物貿(mào)易問(wèn)題。大量龜類、爬行類、鳥類，甚至威猛的老虎都成了人們飼養(yǎng)的寵物。炒作的價(jià)格、買賣利潤(rùn)高昂，刺激了野外偷獵和貿(mào)易。

式中：多項(xiàng)式分量p(t)∈RN—累積的角位置和諧波分量的混合，可以通過(guò)多項(xiàng)式很好地近似；x(t)∈RN和w(t)∈RN—故障引起的角瞬變和白高斯噪聲。

此外，應(yīng)該指出的是，故障瞬變表現(xiàn)出群體稀疏性，這意味著瞬態(tài)信號(hào)中的大幅度值不僅稀疏而且趨于形成群體。編碼器信號(hào)的更多基本特性在第4節(jié)中進(jìn)行了說(shuō)明。

為了從原始編碼器信號(hào)y(t)中提取時(shí)域瞬態(tài)特征x(t)，提出了一種基于局部多項(xiàng)式擬合和稀疏性的算法，并且可以采用相應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題表示為：

其中，多項(xiàng)式分量p(t)通過(guò)在L-point局部塊pm內(nèi)執(zhí)行多項(xiàng)式逼近來(lái)表示。局部塊的數(shù)量為M，多項(xiàng)式次數(shù)為d。另外，基于重疊群稀疏性構(gòu)造正則化函數(shù)用來(lái)促進(jìn)瞬態(tài)特征的群稀疏性，其中xn，K=[xn，xn+1，...，xn+K-1]∈RK，K表示組大小。

假設(shè)x是固定的，則僅針對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)ɑm執(zhí)行最小化。因此，優(yōu)化問(wèn)題（15）與應(yīng)用于信號(hào)y-x的（8）相同，（15）關(guān)于系數(shù)的解為：

將式（16）代入式（15），最優(yōu)化問(wèn)題式（15）可以表示為：

此外，通過(guò)H=I-G(GTG)-1GT，可以將優(yōu)化問(wèn)題式（17）進(jìn)一步寫為：

3.2 算法推導(dǎo)

在本節(jié)中，基于乘法器的交替方向方法和MM算法來(lái)推導(dǎo)迭代收斂算法，以解決優(yōu)化問(wèn)題式（18）。由于問(wèn)題式（18）的嚴(yán)格凸性，經(jīng)過(guò)多次迭代后即可輕松獲得最佳解。

其受um=Smx，m=1，2，...，M的約束，在ADMM應(yīng)用于約束優(yōu)化問(wèn)題（19）之后，得出以下迭代算法。

為了解決子問(wèn)題式（20）和式（21），詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程描述如下：

優(yōu)化問(wèn)題式（20）是最小二乘問(wèn)題，其解決方案可以明確表示為：

由于計(jì)算（23）的計(jì)算成本高，在將H=I-G(GTG)-1GT代入式（23）后使用矩陣逆引理［14］，則上述表達(dá)式可進(jìn)一步寫為：

矩陣GTG的大小為(d+1)×(d+1)，度d＜＜N，因此矩陣GTG和式（24）的求逆可以有效地求解。

為了使子問(wèn)題式（21）中的目標(biāo)函數(shù)：

F(x)=最 小 化，將F(x)定義為：

式中：Λ(v)—對(duì)角矩陣，其對(duì)陣元素為：

在MM算法更新迭代中使用式（25）：

然后通過(guò)下式迭代獲得最優(yōu)解：

3.3 階次跟蹤技術(shù)

當(dāng)行星齒輪箱在變速條件下運(yùn)行時(shí)，通過(guò)局部多項(xiàng)式擬合稀疏算法提取的時(shí)域瞬態(tài)特征x(t)是非平穩(wěn)的。因此，采用階次跟蹤技術(shù)以恒定的角度增量對(duì)時(shí)域瞬態(tài)特征x(t)進(jìn)行重采樣，這意味著將時(shí)域中的非平穩(wěn)瞬態(tài)特征x(t)轉(zhuǎn)換為如圖1所示的一個(gè)角度中的平穩(wěn)x(θ)領(lǐng)域。為了保證階次跟蹤的完美性能，準(zhǔn)確獲取瞬時(shí)相位是必不可少的。如上所述，原始編碼器信號(hào)y(t)記錄了旋轉(zhuǎn)分量的角位置，因此可以將其用作相位參考信號(hào)進(jìn)行信號(hào)重采樣。與原始編碼器信號(hào)y(t)相比，多項(xiàng)式信號(hào)p(t)作為相位參考信號(hào)是更好的選擇，因?yàn)樵诙囗?xiàng)式信號(hào)p(t)中有效地去除了干擾成分。因此，在所提出的方法中，將多項(xiàng)式信號(hào)p(t)選擇為用于信號(hào)重采樣的相位參考信號(hào)。

圖1 階次跟蹤技術(shù)示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the First Order Tracking Technology

3.4 算法流程

瞬態(tài)特征是行星齒輪箱存在機(jī)械故障的重要指標(biāo)，因此瞬態(tài)特征提取在狀態(tài)評(píng)估過(guò)程中是必不可少的。在本節(jié)中，提出了一種新穎的瞬態(tài)特征提取算法，該算法可以有效地從變速條件下獲取的噪聲編碼器信號(hào)中提取故障特征。在圖2中詳細(xì)說(shuō)明了所提出的方法LPFSA-OT的過(guò)程。在所提出的方法中，通過(guò)局部多項(xiàng)式擬合稀疏算法提取了與行星齒輪箱健康狀況相關(guān)的時(shí)域瞬態(tài)特征。之后，采用階次跟蹤將時(shí)域中的非平穩(wěn)瞬態(tài)特征轉(zhuǎn)換為角域中的平穩(wěn)瞬態(tài)特征。最后，基于角域中的瞬態(tài)特征識(shí)別健康狀況。

圖2 提出的用于行星齒輪箱狀態(tài)評(píng)估方法的流程圖Fig.2 The Flow Chart of the Proposed State Evaluation Method for Planetary Gearbox

4 仿真分析

4.1 仿真模型

在變速條件下運(yùn)行的故障行星齒輪箱的編碼器信號(hào)是多個(gè)組件的組合，可以表示為：

其中，

第一項(xiàng)是累積角位置，其中，f(t)代表瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)頻率。第二項(xiàng)表示由負(fù)載變化或齒輪嚙合引起的諧波分量，其中，A h和βh分別是第h次諧波的振幅和初始相位。qh是第h次諧波分量的諧波階次，可以選擇為整數(shù)和非整數(shù)。另外，第三項(xiàng)代表由齒輪故障引起的角瞬變，其中Bi和Ti是第i個(gè)瞬變的幅度和發(fā)生時(shí)間。采用余弦函數(shù)的一個(gè)后期來(lái)模擬角瞬變。最后，最后一項(xiàng)描述了由測(cè)量噪聲和旋轉(zhuǎn)編碼器的制造誤差引起的白高斯噪聲，其中，w(t)～N(0，σ2)和σ表示標(biāo)準(zhǔn)推導(dǎo)。在此仿真中，假設(shè)行星齒輪箱在信號(hào)采集過(guò)程h中經(jīng)歷了加速和減速過(guò)程，并且速度曲線可以表示為：

假設(shè)由負(fù)載變化和齒輪嚙合引起的諧波分量同時(shí)包含在編碼器信號(hào)中，并且振幅，初始相位和諧波階數(shù)分別為A1=6.55，β1=π 4，q1=1，A2=0.23，β2=π 6，q2=20。此外，在仿真信號(hào)中將故障順序設(shè)置為forder=2，這意味著角域故障瞬態(tài)的重復(fù)周期為360°/2=180°?？梢愿鶕?jù)轉(zhuǎn)速曲線f(t)和故障階躍forder確定相應(yīng)的時(shí)間。此外，將故障瞬變的振幅Bi設(shè)置為0.44。

模擬編碼器信號(hào)的采樣頻率和時(shí)間長(zhǎng)度分別為5000Hz和4s。圖3顯示了速度曲線，從中可以看出行星變速箱經(jīng)歷了一個(gè)很大的速度變化。圖4（a）顯示了累積的角位置，其中曲線的斜率與編碼器軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速成正比。此外，載荷變化和齒輪嚙合引起的諧波分量分別顯示在圖4（b）和（c）中。圖4（d）顯示了與（29）中的第三項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的故障引起的角瞬變。累積角位置、由負(fù)載變化引起的諧波分量、齒輪嚙合引起的諧波分量、角瞬變、高斯白噪聲，如圖4（a）～圖4（e）所示。

圖3 速度曲線Fig.3 Velocity Curve

圖4 模擬的編碼器信號(hào)Fig.4 Simulated Encoder Signal

（e）高斯白噪聲此外，從角度瞬變的放大視圖中可以發(fā)現(xiàn)，稀疏的大振幅值趨向于形成一個(gè)群，稱為瞬變特征的群稀疏性。在加入方差為0.1的高斯白噪聲后，合成編碼器信號(hào)，如圖5所示。然而，編碼信號(hào)中的累積角位置占主導(dǎo)地位，瞬態(tài)特征不可見，因此無(wú)法根據(jù)原始編碼信號(hào)直接識(shí)別健康狀況。

圖5 合成編碼器信號(hào)Fig.5 Synthesis Encoder Signal

4.2 參數(shù)選擇

在本節(jié)中，將討論一種自適應(yīng)參數(shù)選擇策略，以自動(dòng)選擇所提出方法LPFSA-OT算法的合適參數(shù)。

（1）塊長(zhǎng)度L，重疊長(zhǎng)度P和多項(xiàng)式次數(shù)d

為了盡可能多近似多項(xiàng)式信號(hào)p(t)，同時(shí)防止近似瞬態(tài)特征x(t)，每個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的塊必須包含幾個(gè)齒輪嚙合周期，這意味著L滿足L=[N*fs/fm]，其中N是周期的個(gè)數(shù)，fs和fm表示采樣頻率和嚙合頻率。注意，嚙合頻率fm是根據(jù)變速條件下行星齒輪箱的最小轉(zhuǎn)速vmin計(jì)算的。最小旋轉(zhuǎn)速度vmin的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)述如下。由于編碼器信號(hào)記錄了編碼器軸的角位置，因此首先通過(guò)計(jì)算原始編碼器信號(hào)的一階差分來(lái)獲得瞬時(shí)轉(zhuǎn)速。此后，應(yīng)用移動(dòng)平均濾波器以進(jìn)一步去除包含在瞬時(shí)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速中的干擾分量，從而獲得平滑的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線。最后，通過(guò)確定平滑的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速的最小值，可以容易地獲得最小轉(zhuǎn)速vmin。

在傳統(tǒng)的局部多項(xiàng)式擬合中，窗口移動(dòng)了一個(gè)點(diǎn)，即相鄰塊之間的重疊長(zhǎng)度P為L(zhǎng)-1，這不可避免地增加了計(jì)算復(fù)雜度。將重疊長(zhǎng)度P設(shè)置為[0.75*L]，可以同時(shí)降低計(jì)算復(fù)雜度，并保證所提出方法LPFSA-OT的良好性能。為了獲得令人滿意的近似值，通常建議將多項(xiàng)式度數(shù)d設(shè)為較大的值。但是，較大的多項(xiàng)式次數(shù)通常會(huì)導(dǎo)致過(guò)度擬合和數(shù)值不穩(wěn)定。在數(shù)值模擬和實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)3-7的多項(xiàng)式度數(shù)d適合于編碼器信號(hào)分析。因此，這里采用d=5。

（2）組大小K，懲罰參數(shù)μ，迭代次數(shù)iter

為了提高瞬態(tài)特征的群稀疏性，建議將組大小K設(shè)置為3-15，并采用K=10。此外，應(yīng)當(dāng)指出，K的上限可以隨著采樣率的增加而增加。懲罰參數(shù)μ是一個(gè)正標(biāo)量，僅影響算法收斂到全局最優(yōu)值的速度，因此可以將μ選為常數(shù)，建議μ=1.0。由于優(yōu)化問(wèn)題的凸性，可以在幾次快速迭代后獲得最優(yōu)解。在這里，將迭代次數(shù)iter設(shè)置為50，這可確保在節(jié)省計(jì)算時(shí)間的同時(shí)獲得最佳解決方案。

（3）正則化參數(shù)λ

正則化參數(shù)λ用于保持?jǐn)?shù)據(jù)保真度之間的平衡，并且對(duì)最終結(jié)果有很大的影響。因此，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)λ以說(shuō)明從原始編碼器信號(hào)y(t)提取時(shí)域瞬態(tài)特征x(t)很重要。針對(duì)該問(wèn)題，提出了諧波噪聲比指導(dǎo)的正則化參數(shù)選擇策略。HNR是指示信號(hào)z周期性的度量，當(dāng)z是無(wú)噪聲的周期性信號(hào)時(shí)，HNR趨于無(wú)窮大，定義為：

式中：γ—信號(hào)z的自相關(guān)函數(shù)，而τmax—具有局部最大值的滯后，如圖6所示。由于所提出的方法LPFSA-OT算法的目的是突出故障引起的瞬態(tài)特征并且瞬態(tài)特征在角域中具有很高的周期性，因此將與角域瞬態(tài)特征x(θ)的最大HNR相對(duì)應(yīng)的參數(shù)λ考慮為最佳值。

圖6 信號(hào)z的自相關(guān)函數(shù)Fig.6 Auto-Correlation Function of Signal z

4.3 效果評(píng)估

圖7給出了由一階差分和移動(dòng)平均濾波器獲得的平滑瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線，從中可以確定最小轉(zhuǎn)速為252rpm。因此，將塊長(zhǎng)度L設(shè)置為其中6是周期數(shù)N，20表示齒輪嚙合引起的諧波分量的諧波階次為q2。相應(yīng)地，重疊長(zhǎng)度P被設(shè)置為為了進(jìn)一步確定最優(yōu)λ，圖8中給出了相對(duì)于λ的HNR曲線。如圖8所示，隨著參數(shù)λ的增加，HNR單調(diào)增加，直到達(dá)到臨界點(diǎn)為止。（λ＝0.42，HNR＝1.151）。但是，當(dāng)λ繼續(xù)增加時(shí)，HNR逐漸減小。因此，確定與最大值HNR相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值λ＝0.42。

圖7 估算的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線Fig.7 Estimated Instantaneous Speed Curve

圖8 度量HNR與正則化參數(shù)λ之間的關(guān)系Fig.8 Relationship Between Metrics HNR and Regularization Parameters λ

圖9給出了通過(guò)提出方法獲得的結(jié)果，其中參數(shù)設(shè)置為L(zhǎng)=357，P=267，d=5，K=10，μ=1，iter=50，λ=0.42。多項(xiàng)式信號(hào)p(t)和時(shí)域瞬態(tài)特征x(t)如圖9（a）和（b）所示，從中可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)分量已從原始編碼器信號(hào)中成功提取。盡管如圖9（b）所示，可以清楚地檢測(cè)到時(shí)域的瞬態(tài)特征，但由于速度變化，瞬態(tài)并不均勻分布，這給識(shí)別故障類型帶來(lái)了困難。為了解決這個(gè)問(wèn)題，采用階躍跟蹤技術(shù)以恒定的角度增量對(duì)時(shí)域瞬態(tài)特征進(jìn)行重采樣。在此過(guò)程中，多項(xiàng)式信號(hào)p(t)被選作參考軸的瞬時(shí)相位。重新采樣的瞬態(tài)特征顯示在圖9（c）中，從中可以發(fā)現(xiàn)速度變化的影響已被有效消除，并且瞬態(tài)特征x(θ)在角域中是周期性的。為了進(jìn)一步識(shí)別相鄰瞬變的間隔，圖9（d）給出了幾個(gè)瞬變的放大圖?？梢钥闯?，瞬變等距間隔了180°，這對(duì)應(yīng)于角域中的預(yù)定義故障周期。結(jié)果表明，LPFSA-OT成功實(shí)現(xiàn)了變速箱行星齒輪箱的故障檢測(cè)，進(jìn)一步證實(shí)了編碼器信號(hào)在狀態(tài)評(píng)估中的可行性。此外，圖10示出了（15）中的目標(biāo)函數(shù)J(x，ɑ)的歷史，其中，在多次迭代之后目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值。以上結(jié)果表明，該方法可以快速收斂到全局最小值。

圖9 提出方法獲得的結(jié)果Fig.9 Results Obtained by the Proposed Method

圖10 目標(biāo)函數(shù)J(x,ɑ)的歷史Fig.10 History of Objective Function J(x,ɑ)

為了清楚地評(píng)估參數(shù)λ對(duì)所提出的方法的性能的影響，在圖11中顯示了在不同參數(shù)下提取的角域瞬態(tài)特征x(θ)。人們可以發(fā)現(xiàn)噪聲分量并未得到有效去除。當(dāng)參數(shù)λ設(shè)置為0.26時(shí)，小于臨界點(diǎn)0.42。而且，當(dāng)參數(shù)λ超過(guò)臨界點(diǎn)0.42時(shí)，瞬態(tài)特征變得稀疏并且難以識(shí)別。因此，可以合理地得出結(jié)論：HNR引導(dǎo)的正則化參數(shù)選擇策略為確定合適的參數(shù)λ提供了可靠的工具。

圖11 通過(guò)提出方法獲得的具有不同正則化參數(shù)λ的提取角域瞬態(tài)特征Fig.11 Extracted Corner Domain Transient Characteristics with Different Regularization Parameters Obtained by the Proposed Method

為了進(jìn)一步揭示LPFSA-OT的優(yōu)越性，還通過(guò)基于奇異值分解(SVD)的方法分析了合成編碼器信號(hào)。在基于SVD的方法中，首先使用奇異值分解獲得時(shí)域中的一系列位置分量，然后通過(guò)順序跟蹤技術(shù)將這些時(shí)域中的位置分量轉(zhuǎn)換為角域中的位置分量。與提出的方法不同，原始編碼器信號(hào)y(t)被選作相位參考信號(hào)進(jìn)行信號(hào)重采樣。出了時(shí)域和角域中的前5個(gè)位置分量，如圖12所示。根據(jù)分解結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)瞬態(tài)特征被分解為

第二至第四位置分量。時(shí)域中的位置成分、在角域中的位置分量然而，如圖12（a）、圖12（b）所示。瞬態(tài)特征表現(xiàn)出較大的失真，并受到其他干擾分量的強(qiáng)烈干擾，這不可避免地增加了識(shí)別被監(jiān)控設(shè)備健康狀況的難度。上述結(jié)果表明，當(dāng)對(duì)從在變速條件下運(yùn)行的行星齒輪箱獲取的編碼器信號(hào)執(zhí)行基于SVD的方法時(shí)，很難獲得令人滿意的結(jié)果。

圖12 通過(guò)基于SVD的方法獲得的結(jié)果Fig.12 Results Obtained by SVD Based Approach

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在本節(jié)中，通過(guò)從以變速狀態(tài)運(yùn)行的行星齒輪箱獲取的實(shí)際編碼器信號(hào)進(jìn)一步證實(shí)了LPFSA-OT的有效性。實(shí)驗(yàn)裝置如圖13（a）所示，它由驅(qū)動(dòng)馬達(dá)，行星齒輪箱，電磁制動(dòng)器和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)編碼器組成。磁性斷路器用于在輸出軸上加載，旋轉(zhuǎn)編碼器用于收集編碼器信號(hào)。此外，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，手動(dòng)調(diào)整了電機(jī)控制器，并且轉(zhuǎn)速經(jīng)歷了加減速過(guò)程。圖13（b）展示了行星齒輪箱的詳細(xì)結(jié)構(gòu)，該行星齒輪箱包含20齒的太陽(yáng)輪，82齒的齒圈和31齒的三個(gè)均勻分布的行星齒輪。請(qǐng)注意，當(dāng)太陽(yáng)輪和行星架分別連接到輸入軸和輸出軸時(shí)，齒圈靜止。根據(jù)行星齒輪箱的配置參數(shù)，計(jì)算出與輸出軸有關(guān)的故障順序，并在表1中列出，其中fs，fp，fr分別代表太陽(yáng)輪，行星齒輪和齒圈的故障順序。此外，齒輪嚙合頻率fm為82fo，其中fo為輸出軸的旋轉(zhuǎn)頻率。這里分析了以5000Hz采樣頻率從輸出編碼器收集的編碼器信號(hào)，以對(duì)行星齒輪箱進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)。

圖13 實(shí)驗(yàn)裝置、行星齒輪箱的示意圖Fig.13 Experimental Setup，Schematic Diagram of Planetary Gearbox

表1 行星齒輪箱相對(duì)于輸出軸的故障順序（Hz）Tab.1 Fault Sequence of Planetary Gearbox Relative to Output Shaft（Hz）

散齒是行星齒輪箱的常見故障類型。為了模擬該故障，將圖14所示的帶散齒的齒圈裝配到行星齒輪箱上。在圖15中顯示了在變速條件下收集的原始編碼器信號(hào)。但是，由于累積的角度位置分量在原始編碼器信號(hào)中占主導(dǎo)地位，因此沒有發(fā)現(xiàn)明顯的瞬態(tài)特征。

圖14 齒圈上的裂齒Fig.14 Split Teeth on Ring Gear

圖15 原始編碼器信號(hào)Fig.15 Original Encoder Signal

為了有效地提取瞬態(tài)特征，將所提出方法應(yīng)用于原始編碼器信號(hào)。瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線，如圖16所示。從該瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線確定了160.4rpm的最小轉(zhuǎn)速vmin。根據(jù)自適應(yīng)參數(shù)選擇方案，將幾個(gè)參數(shù)設(shè)置為μ=1，iter=50。度量HNR和正則化參數(shù)λ之間的關(guān)系，從中可以確定對(duì)應(yīng)于最大HNR的最佳參數(shù)λ=0.16，如圖17所示。通過(guò)提出方法獲得的結(jié)果，如圖18所示。圖18（a）和圖18（b）顯示了多項(xiàng)式信號(hào)p(t)和時(shí)域瞬態(tài)特征x(t)，從中可以發(fā)現(xiàn)齒輪故障引起的角瞬變清晰可見。為了進(jìn)一步識(shí)別出哪個(gè)組件有故障，將時(shí)域中的非平穩(wěn)瞬態(tài)特征轉(zhuǎn)換為角域中的平穩(wěn)瞬態(tài)特征，如圖18（c）所示。從圖18（d）的局部放大細(xì)節(jié)中，可以檢測(cè)到間隔為120°（即360/fr）的獨(dú)特瞬態(tài)特征，這為行星齒輪存在故障提供了有力的證據(jù)。

圖16 瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線的估算Fig.16 Estimation of Instantaneous Speed Curve

圖17 度量HNR和正則化參數(shù)λ之間的關(guān)系Fig.17 Measures the Relationship Between HNR and Regularization Parameters λ

圖18 提出方法獲得的結(jié)果Fig.18 Results Obtained by the Proposed Method

另外，基于SVD的方法也用于相同的編碼器信號(hào)，其結(jié)果如圖19所示。時(shí)域中的位置成分、在角域中的位置分量，如圖19（a）、圖19（b）所示。通過(guò)檢查分解結(jié)果，發(fā)現(xiàn)瞬態(tài)特征主要分解為第二和第三位置分量。為了清楚起見，第二和第三位置分量的局部放大圖，如圖20所示。瞬變特征被其他分量嚴(yán)重阻礙，這使得很難識(shí)別故障引起的角瞬變，尤其是第三和第六角瞬變。因此，與所提出的方法相比，基于SVD的方法無(wú)法有效提取瞬態(tài)特征。

圖19 通過(guò)基于SVD的方法獲得的結(jié)果Fig.19 Results Obtained by SVD Based Method

圖20 范圍（5600～6350）°的放大圖Fig.20 Enlarged View of the Range（5600～6350）°

6 結(jié)論

針對(duì)變速齒輪箱時(shí)變故障檢測(cè)問(wèn)題，提出了一種基于LPFSA與階次跟蹤的變速齒輪箱編碼器信號(hào)瞬態(tài)特征提取算法。通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得出如下結(jié)論：

（1）局部多項(xiàng)式擬合稀疏算法能夠有效的從原始編碼器信號(hào)中提取與齒輪故障相關(guān)的時(shí)域瞬態(tài)特征。且提出的迭代優(yōu)化算法能夠迅速收斂。

（2）階躍跟蹤技術(shù)以恒定的角度增量對(duì)時(shí)域瞬態(tài)特征進(jìn)行重采樣，可以消除速度變化造成的影響，實(shí)現(xiàn)時(shí)變轉(zhuǎn)速條件下的故障檢測(cè)。

（3）與基于奇異值分解的方法相比，LPFSA-OT能更準(zhǔn)確地提取暫態(tài)特征，成功實(shí)現(xiàn)了變速箱行星齒輪箱的故障檢測(cè)，進(jìn)一步證實(shí)了編碼器信號(hào)在狀態(tài)評(píng)估中的可行性。