吳靜

摘要：隨著基礎教育課程改革的推進，數(shù)學實驗作為一種有效的數(shù)學學習方式受到數(shù)學教師的認可。然而，在實踐過程中還存在選擇范圍偏“狹窄”、目標定位偏“功利”、 過程展開偏“粗糙”和方法呈現(xiàn)偏“單一”等問題。教師要通過適度開發(fā)資源、聚焦思維提升、優(yōu)化探究過程和豐富實驗策略等方式，有效解決問題。

關鍵詞：數(shù)學實驗;思維發(fā)展;小學數(shù)學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2022）01A-0074-07

《小學數(shù)學新課程標準（2011年版）》明確指出，學生應當有充足的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程[1]。作為變革學生學習方式的有效手段，“數(shù)學實驗”受到了專家和一線教師的廣泛關注。數(shù)學實驗倡導以“做”的方式引導學生參與數(shù)學知識的建構過程，積累豐富的活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模等關鍵能力。為了能更好地體現(xiàn)數(shù)學實驗的育人價值，教師需要立足學生的數(shù)學學習現(xiàn)實，客觀、理性地分析實驗教學中存在的問題，積極尋找有效的教學對策。

一、數(shù)學實驗教學問題分析

隨著基礎教育課程改革的推進，一線教師研究數(shù)學實驗的熱情不斷高漲，在日常教學中能不斷嘗試設計實驗活動，引導學生主動建構數(shù)學知識，生成對數(shù)學概念、方法的理解。但是，由于時間、精力、能力有限，對數(shù)學實驗的重視不能一以貫之，實驗設計的隨意性、程式化等問題依然存在。

（一）選擇范圍偏“狹窄”，缺乏可用性資源

小學數(shù)學教材中蘊含著豐富的實驗資源，有部分已經(jīng)由教材編寫者開發(fā)而被使用，還有大量內(nèi)容被忽視，未得到有效利用。實驗資源的匱乏，使學生錯失深度理解數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)探究方法的機會。教師要充分利用一切教學資源，系統(tǒng)開發(fā)適合學生探索的數(shù)學實驗活動，將抽象的、靜態(tài)的知識講解轉變?yōu)橹庇^的、動態(tài)的知識建構，幫助學生自主獲得探究的方法和能力。

（二）目標定位偏“功利”，缺乏延展性思考

數(shù)學實驗是為了解決某個數(shù)學問題而開展的數(shù)學活動。經(jīng)歷數(shù)學知識和方法的探究過程，獲取解題的方法和數(shù)學結論不是數(shù)學實驗唯一的目的，更重要的是幫助學生在實驗過程中獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，提升和發(fā)展數(shù)學思考能力、探究能力和創(chuàng)新能力。目前，很多數(shù)學教師在引導學生實驗時直奔結果，忽略了實驗中潛藏著的教育價值，尤其缺少對思維品質提升的關注和引導，矮化了數(shù)學實驗的功能。

（三）過程展開偏“隨意”，缺乏最優(yōu)化規(guī)劃

豐富的數(shù)學實驗資源只有被有效利用，才能彰顯其應有的教育教學價值。實際上，日常的數(shù)學實驗過程和學生思維發(fā)展“契合度”不是很高，出現(xiàn)探索時間縮減、操作活動不聚焦等問題，并未真正掃除學生的思維障礙、打開學生的思考空間。實驗過程能否充分展開受主、客觀因素的影響，比如實驗材料的選擇、實驗路徑的設計以及對實驗結果的反思等，這些都需要教師進行深入思考和系統(tǒng)規(guī)劃。

（四）方法呈現(xiàn)偏“單一”，缺乏多樣化表達

和科學實驗類似，數(shù)學實驗方法具有多樣性、豐富性的特點。掌握基本的數(shù)學實驗方法，有利于學生靈活解決問題，提高實驗能力。對此，大部分教師并未給予足夠的重視，常常是“見招拆招”，既沒有給予多樣化的方法指導，也沒有引導學生對基本的實驗方法進行系統(tǒng)的梳理。因此，學生在解題時，難免出現(xiàn)“只知實驗而不知如何實驗”的窘境。

二、數(shù)學實驗教學有效路徑探尋

如何從兒童的立場和視角出發(fā)，解決數(shù)學實驗中存在的問題，讓數(shù)學實驗真正推進學生的數(shù)學學習？筆者結合自身的教學實踐，談談具體的做法。

（一）適度開發(fā)，豐富實驗資源

實踐表明，現(xiàn)有的實驗資源已經(jīng)不能滿足學生數(shù)學學習的需求。教師要適度開發(fā)實驗內(nèi)容，豐富資源儲備。所謂“適度”，一是立足實驗內(nèi)容的維度，選擇適合的切點;二是重視實驗的質量，選擇適合的數(shù)量。

1.教材資源的開發(fā)

現(xiàn)有小學數(shù)學教材中的例題、習題以及“練一練”“做一做”“你知道嗎”等內(nèi)容，都是寶貴的實驗資源。教師要從教與學的角度進行理性分析，將這些課程資源開發(fā)成數(shù)學實驗的內(nèi)容。如：蘇教版小學數(shù)學教材第九冊第8頁的“練一練”（如圖1），可以開發(fā)成一個數(shù)學實驗。

筆者借助幾何畫板，將這一練習設計成如下實驗環(huán)節(jié)：

（1）猜想1：長方形和平行四邊形面積相等嗎？

（2）驗證：通過計算、圖形轉化等方式證明猜想。

（3）操作：拉動平行四邊形的上底邊，變形成一個同底等高的平行四邊形，提問：平行四邊形面積和長方形面積還相等嗎？

（4）猜想2：還能找到和平行四邊形面積相等的平行四邊形嗎？怎么找？

（5）實驗驗證：你能拉出這樣的平行四邊形嗎？

以上案例中，教師將數(shù)學問題改造成數(shù)學實驗活動，改變了題目的呈現(xiàn)方式，打開了學生的思維空間，引導學生實現(xiàn)從“一個問題的解答”走向“一類問題的探索”。

2.學生資源的利用

學生在學習過程中會不斷生成自己的想法，并以個性化的方式進行表達。教師要充分挖掘這些資源，開發(fā)新的實驗內(nèi)容。如：將特殊平行四邊形? ? ?轉化成長方形，求證平行四邊形面積公式。再如：在解決“三角形和平行四邊形面積相等，高相等，平行四邊形底4厘米，三角形底是多少厘米？”問題時，可讓學生猜想三角形和平行四邊形高的關系，再引導學生先利用已有的學習經(jīng)驗——三角形面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半，否定“底相等”，進而通過畫圖將三角形底邊延長至原來的2倍，驗證猜想，并求出三角形的底邊長度。

3.其他資源的挖掘

網(wǎng)絡資源、教輔材料以及課外讀物等，都是數(shù)學實驗內(nèi)容開發(fā)的寶貴資源。教師要善于從這些信息中挖掘實驗元素，開發(fā)出適合學生學習的內(nèi)容。如：某位教師在設計長方體體積練習時，把教輔材料上的數(shù)學問題“將一個長12厘米、寬8厘米的長方形紙片，做成一個高是2厘米的無蓋長方體紙盒，求這個紙盒的體積”設計成數(shù)學實驗活動，讓學生進行動態(tài)的、開放式的探究，具體設計如下：

（1）改造問題：將一個長12厘米、寬8厘米的長方形紙片，做成一個無蓋的長方體紙盒，求這個紙盒的體積。

（2）提問：根據(jù)長方體展開圖的學習經(jīng)驗，想一想，怎樣才能做成一個無蓋長方體紙盒？在4個角上剪長方形可以嗎？

（3）想象：剪下的正方形邊長如果是整厘米數(shù)，最短是幾厘米？最長呢？

（4）操作驗證：剪下4個邊長1厘米、2厘米、3厘米的正方形，能做成一個無蓋長方體紙盒嗎？小組合作，動手操作，并計算出長方體的體積。

（5）拓展：想一想，還能做成體積更大的長方體紙盒嗎？不浪費材料是否可以呢？

（6）再實驗探究：引導出示2種剪拼方法，并求體積。（如圖2）

教師經(jīng)過教學加工，將題目改造成了“條件缺失”的數(shù)學問題，看似提高了解題難度，實際上為學生創(chuàng)造性地解決問題創(chuàng)設了一個廣闊的思維空間。

（二）聚焦關鍵，提升思維品質

數(shù)學實驗是以“實驗”為手段，以“思維”提升為目的的一種數(shù)學學習活動。教師要聚焦“學生思維發(fā)展”這一核心，立足學生學習實際，把握關鍵點，在提升實驗活動品質的基礎上，不斷提升學生的思維品質。

1.探尋問題“本源”，找準思維起點

學起于思，思源于疑。問題是撬動思維、開啟數(shù)學探索的源頭，數(shù)學實驗同樣需要問題驅動。教師要基于學生的數(shù)學現(xiàn)實，從學生的“真問題”入手，引發(fā)數(shù)學思考，從而激發(fā)實驗解題的內(nèi)在需求。如教學“三角形內(nèi)角和”時，可以這樣提問：“三角形三邊長度之間有特定的關系，那么三個內(nèi)角之間是否也具有某種固定不變的關系呢？”再以△ABC為研究對象，在幾何畫板上進行數(shù)學實驗（如圖3）：

（1）實驗1：多次拉動頂點A，改變其大小，觀察“隨著∠A的變化，∠B和∠C會怎樣變化”。

（2）猜想：你有什么發(fā)現(xiàn)？（3個內(nèi)角大小相互制約，∠A增加的度數(shù)和∠B、∠C減少的度數(shù)和可能相等，即三角形內(nèi)角和固定不變）

（3）實驗2： 逐漸將頂點A拉向底邊，∠A逼近180°。

（4）猜想：三角形內(nèi)角和可能是多少度？

教師由三角形“三邊關系”引發(fā)學生對“三個內(nèi)角關系”的思考，為研究三個內(nèi)角關系提供了智力背景和動力基礎。隨后，教師借助幾何畫板展開兩個層次的實驗，引導學生經(jīng)歷“三個內(nèi)角之間有關系→三角形3個內(nèi)角和可能固定不變→三角形內(nèi)角和可能是180°”的思考過程，從“模糊”到“清晰”，不斷加深對三角形內(nèi)角和的認識。

2.直面數(shù)學“問題”，把控思維走向

學生已有的經(jīng)驗和思維方式是數(shù)學學習的基礎，但同時也會成為思維發(fā)展最大的“阻力”。教學中，教師要直面“問題”，幫助學生借助數(shù)學實驗克服思維定式，并及時轉向，探尋正確的思維路徑，構建新的知識和方法。

如：教學平行四邊形面積時，教師可先將長方形框架變形為平行四邊形，猜想平行四邊形面積計算方法為“鄰邊相乘的積”，接著設計如下實驗：

（1）實驗1：繼續(xù)拉動平行四邊形框架，觀察鄰邊長度和面積，會有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）否定猜想：鄰邊長度不變，但平行四邊形的面積在變小，說明面積大小不是鄰邊相乘的積。

（3）回顧：再次觀察長方形變平行四邊形的過程，思考為什么面積會變小。

（4）猜想：平行四邊形的面積大小和它的高度有關，可能“平行四邊形面積=底×高”。

（5）實驗2：在方格圖上任意畫3個平行四邊形，觀察底、高和面積，檢驗猜想。

（6）結論：平行四邊形面積=底×高。

對于學生可能存在的認知“誤解”，教師積極應對，先暴露問題，再通過兩個實驗活動，幫助學生澄清錯誤、探尋新的思路。實驗1的設計“一舉兩得”，不僅使學生發(fā)現(xiàn)自身的認知問題，否定原有的猜想，還使學生從中受到啟發(fā)，體悟并發(fā)現(xiàn)影響平行四邊形面積的關鍵要素——高，由此形成新的猜想;實驗2則為學生重構新的面積計算方法創(chuàng)造了條件。

3.揭示知識“本質”，提升思維水平

數(shù)學實驗有助于學生在“做”中感悟數(shù)學知識的本質，促進對數(shù)學知識的深度理解。實驗中，教師要聚焦關鍵，引導學生在活動中自主探尋和揭示知識的本質。如：為了讓學生在計算平行四邊形面積時注意用“對應”的底、高相乘，教師可以設計如下實驗活動：

（1）問題：平行四邊形面積=底×高，那么是不是任意底、高相乘都能得到平行四邊形的面積？為什么？

（2）實驗：依次以平行四邊形2條鄰邊為底，分別把平行四邊形轉化成長方形，思考：對應的底和高分別是長方形的什么？

（3）發(fā)現(xiàn)：平行四邊形是轉化成長方形求面積的，而對應的底和高正是轉化成的長方形的長和寬。

（4）結論：計算平行四邊形面積時，需要注意用“對應”的底和高相乘。

學生學習數(shù)學要“知其然”，更要“知其所以然”。以上案例中，教師設計了類似面積推導的簡單數(shù)學實驗，積極溝通平行四邊形底、高和長方形長、寬之間的對應關系，揭示了“對應底、高相乘求面積”的原理。

4.彌合知識“罅隙”，拓寬思維空間

數(shù)學知識之間有著密切的聯(lián)系，實驗能幫助學生發(fā)現(xiàn)、溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化、結構化。如：教學梯形面積時，教師可將習題（如圖4）改造成實驗活動，借助釘子板操作，幫助學生溝通梯形和平行四邊形、三角形和長方形之間的聯(lián)系，進而統(tǒng)一面積計算公式。具體如下：

（1）問題（釘子板上出示第一個圖形）：能找到和它面積相等的梯形嗎？有沒有簡單的方法？

（2）實驗1：高不變，調整上底和下底的長度，找出面積相等的梯形。

（3）結論：高相等，梯形上、下底和相等，面積就相等。

（4）思考：怎樣才能找到和梯形面積相等、高相等的其他圖形？

（5）猜想：上、下對邊和與梯形上、下底和相等。

（6）實驗2：高不變，調整上底和下底的長度，找出面積相等的長方形、平行四邊形和三角形。

（7）溝通：平行四邊形、三角形、長方形都可以看作特殊的梯形，都可以利用梯形面積公式求出面積。

教師以“找和已知梯形面積相等圖形”為目標導向，設計以梯形為基準的兩個層次的實驗活動，以此加深學生對梯形面積公式的理解，并不斷拓展學生的思維空間，溝通圖形之間的聯(lián)系，主動建構多邊形面積新體系。

（三）精心策劃，優(yōu)化探究過程

好的實驗活動能遵循學生的認知規(guī)律，與學生的思維走向同步，有效啟發(fā)、引領學生思維的發(fā)展。設計、規(guī)劃實驗路徑時，教師要特別關注實驗過程和學生思維進程的匹配度，優(yōu)化探究過程，使數(shù)學學習真實發(fā)生。

1.由“易”到“難”，設計探究方案

數(shù)學實驗是學生獨立自主探索數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學結果的“支架”，學生應該成為實驗的策劃者、設計者和實施者。教學中，教師要著力引導學生根據(jù)教學目的，由易到難，自主設計實驗方案。如：教學“表面涂色的正方體”時，可創(chuàng)設稍復雜的問題情境——把一個表面涂色的正方體沿著每條棱等分成10份，切分成若干個小正方體，問：“3個面涂色、2個面涂色和1個面涂色的小正方體分別有多少個？”這一設問迫使學生思考并明確在沒有正方體模型的情況下，通過找規(guī)律獲得解決方法是最佳方案。隨后，可以通過提問“怎么找規(guī)律？”“從每條棱等分幾份的正方體開始研究？什么時候結束？”，引導學生進行以下實驗活動的設計：

（1）實驗：依次觀察每條棱等分3份、4份和5份的正方體，找出3個、2個和1個面涂色的正方體個數(shù)。

（2）形成猜想：找3個、2個、1個面涂色的正方體個數(shù)的方法和規(guī)律。

（3）驗證：找每條棱等分成6份或7份的小正方體進行實際驗證，或者借助直觀圖說理驗證。

“找規(guī)律”的關鍵不在于得到規(guī)律，而在于找規(guī)律的過程中積累的探究經(jīng)驗和形成的探究方法。實驗活動方案的設計，應更充分體現(xiàn)這一思想，著力幫助學生發(fā)展實驗能力。

2.由“粗”到“細”，經(jīng)歷探究過程

數(shù)學實驗是基于直觀、操作獲得結論的，其結果屬于合情推理所得，不一定正確、可靠，但實驗過程應該是充分而嚴謹?shù)?。教學中，要力求彰顯求真、求實的實驗態(tài)度和精神。如：教學點到直線的距離時，教師可設計如下實驗活動：

（1）問題：從直線外一點向直線畫3條線段（其中一條是垂直線段），哪條最短？

（2）實驗1：垂直線段是最短的嗎？你能利用線繩比較3條線段的長度嗎？（提供和垂直線段等長的線繩）

（3）問題：還能找出最短的線段嗎？

（4）實驗：利用手中的線繩找一找。（將線繩一頭固定在線外一點上，拉直，另一頭繞固定點旋轉）

（5）結論：點到直線的垂直線段最短，而這條垂直線段的長度就是點到直線的距離。

通常教學該內(nèi)容時，教師由于缺乏相應的實驗手段，并不要求學生通過實驗證明點到直線的垂直線段最短。以上案例中，教師巧妙利用線繩作為實驗工具，利用畫圓的原理，證實“點到直線的所有線段中，垂直線段最短”。以線繩替代圓規(guī)驗證猜想，讓學生經(jīng)歷了探究的全過程，使所得結論更可靠、可信。

3.由“點”到“面”，優(yōu)化探究路徑

實踐表明，很多時候學生的數(shù)學學習會偏離預設的實驗軌道。教師要綜合考慮各方面的因素，在最近發(fā)展區(qū)設計問題、規(guī)劃實驗路徑，讓學生在實驗中充分經(jīng)歷知識的形成過程。

如：教學三角形三邊關系時，為了避免實驗活動的隨意性，教師在組織學生圍小棒探究三邊關系時，提供一根10厘米長的藍色小棒和6厘米、10厘米和12厘米三種型號的小棒各若干根，然后展開如下實驗：

（1）實驗1：同桌合作，選擇每種型號的小棒，把它任意剪成2段（每段是整厘米數(shù)），與藍色小棒圍三角形。

（2）問題1：①提問：選6厘米、10厘米小棒任意剪2段后，與藍色小棒圍成三角形了嗎？為什么？②猜想：2根小棒長度和大于藍色小棒長度，就能圍成三角形。

（3）問題2：①提問：選12厘米小棒剪2段后，與藍色小棒圍成三角形了嗎？②情況1：圍成三角形，證實猜想;情況2：不能圍成三角形，結論存疑。

（4）實驗2：將剪成1厘米、11厘米的小棒和10厘米小棒圍三角形，思考“猜想是不是真的出錯了？”

（5）結論：任意兩根小棒長度和大于第三根小棒長度，才能圍成三角形。

教師并沒有放手讓學生任意圍三角形，而是設計了兩個層次的實驗活動，由點到面逐步推進，幫助學生經(jīng)歷三角形三邊關系的探索過程。先著力研究“兩邊長度和與藍色小棒的長度關系”，初步形成“兩邊之和大于藍邊就能圍成三角形”的猜想，再以“剪12厘米長的小棒和藍色小棒圍三角形”為突破口，將研究視角從藍色小棒轉向任意小棒，從而建立“三角形任意兩邊長度和大于第三邊”的全面認知。

（四）豐富策略，提升實驗能力

學生實驗能力的提升，要依托豐富多樣的實驗策略的積累和運用。在日常教學中，絕大多數(shù)學生有實驗意識，能主動想到借助實驗解決問題，但因為缺乏相應的實驗方法和技巧而止步不前。教學中，教師要豐富實驗策略，幫助學生通過經(jīng)歷和反思實驗過程，掌握一些基本的實驗方法，提升實驗能力。

1.比較實驗法

比較實驗法指以某個圖、式為標準，改變其關鍵要素，觀察前后的變化，從而發(fā)現(xiàn)或驗證圖形或算式的性質和變化規(guī)律。如：教學“商不變的規(guī)律”時，可以12÷2=6為標準算式，改變被除數(shù)和除數(shù)的大小，探索商的變化規(guī)律。具體如下：

（1）計算：10÷5，32÷4，48÷8的商，哪個算式的商和12÷2相等？

（2）實驗：除了48÷8，你還能找到和12÷2的商相等的算式嗎？

（3）猜想：以12÷2=6為標準，觀察和它相等的算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（4）驗證：是不是只要被除數(shù)、除數(shù)同時乘相同的數(shù)，商就不變呢？（舉例驗證）

2.控制變量實驗法

控制變量實驗法指實驗結果受到多個因素影響，且各個變量的變化情況比較復雜時，通過控制某些變量，使其中一個量發(fā)生變化，從而獲得各變量與研究量關系的一種方法。如：教學“釘子板上的多邊形”時，由于邊點數(shù)和內(nèi)點數(shù)與釘子板上的多邊形面積之間的關系比較復雜，教師可設計以下實驗活動：

（1）實驗1：先將內(nèi)點數(shù)設定為0，只研究邊點數(shù)和面積的關系。

（2）結論：（邊點數(shù)-2）×0.5=面積。

（3）實驗2：任意在釘子板上圍一個多邊形，觀察和研究邊點數(shù)、內(nèi)點數(shù)和面積之間的關系。

（4）結論：（邊點數(shù)-2）×0.5+內(nèi)點數(shù)=面積。

3.累積實驗法

累積實驗法指實驗量較大，測算實驗數(shù)據(jù)有一定的困難時，可先進行小樣本測算，推算總量或累積后測算平均值的方法。如教學“1億有多大”時，為了測算1億張紙有多厚，可先數(shù)出100張同樣的紙測厚度，再依次乘6個10求得1億張紙的厚度。

4.假設成立實驗法

假設成立實驗法指以假設“成立”為前提進行操作，檢驗實際結果是否與假設一致的方法。如實際結果和假設一致，則可“證實”已有猜想，反之則“證偽”。如為了檢驗平行四邊形公式對于下圖（如圖5）同樣適用，教師可引導學生通過將平行四邊形轉化成長方形進行檢驗：

（1）猜想：平行四邊形能轉化成長方形嗎？

（2）想象：如果可以轉化，你能想象出轉化后的長方形，并將它畫下來嗎？

（3）實驗：現(xiàn)在你能通過剪拼等方式，將平行四邊形轉化成長方形嗎？

（4）拓展：還能將長方形畫在哪兒？怎么轉化？

（5）結論：無論怎么轉化，都能將平行四邊形轉化成長方形，說明任意一個平行四邊形面積都等于底乘高。

除了以上實驗方法，還有理想法、替代法等策略。教學中，教師不僅要幫助學生通過實驗推動思維發(fā)展，從而獲得數(shù)學結論，還要幫助學生積累實驗方法和經(jīng)驗，提升學生的實驗能力，讓實驗成為學生學習數(shù)學的重要方式，為學生的數(shù)學學習架橋鋪路。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.2

責任編輯：丁偉紅