田 統(tǒng)，楊 瑤，韓光信

(吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022)

近年來(lái)磁懸浮技術(shù)展現(xiàn)了良好的應(yīng)用前景，除了在機(jī)械、交通、工業(yè)生產(chǎn)等傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)以外，磁懸浮技術(shù)在智能家居[1]、汽車(chē)設(shè)計(jì)[2]、生物醫(yī)藥[3]等領(lǐng)域都有了全面的發(fā)展.磁懸浮球系統(tǒng)作為簡(jiǎn)化的磁懸浮模型，可以為其他磁懸浮技術(shù)的研究奠定基礎(chǔ).文獻(xiàn)[4]在模糊控制中采用重心法解模糊，得到模糊論域范圍內(nèi)精確的輸出量，優(yōu)化了PID控制器的參數(shù).文獻(xiàn)[5]提出了一種基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制方法，與傳統(tǒng)的觀測(cè)器相比增加了非線性觀測(cè)誤差反饋，這有助于提高狀態(tài)估計(jì)的快速性和精確性.文獻(xiàn)[6]提出了一種通過(guò)迭代學(xué)習(xí)規(guī)律，利用過(guò)去和當(dāng)前的誤差對(duì)控制信號(hào)進(jìn)行不斷修正,并實(shí)現(xiàn)預(yù)期控制效果.該算法對(duì)系統(tǒng)模型的依賴(lài)性不高，控制器對(duì)參數(shù)的變化不敏感，因此有較強(qiáng)的魯棒性.文獻(xiàn)[7]針對(duì)系統(tǒng)被控對(duì)象變化時(shí)的自適應(yīng)問(wèn)題,提出了一種反饋線性化和在線參數(shù)辨識(shí)相結(jié)合的非線性自適應(yīng)控制方法.該方法無(wú)須在平衡位置進(jìn)行線性化，并對(duì)不同對(duì)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示其具有良好的穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)性能.文獻(xiàn)[8]針對(duì)氣隙速度的不可測(cè)和輸出受限的問(wèn)題，采用狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和估計(jì)，再將擾動(dòng)的估計(jì)值作為連續(xù)滑模控制器(CSMC)的補(bǔ)償量，以克服不確定性和外界擾動(dòng)，但抖振較為嚴(yán)重，抗擾動(dòng)能力不強(qiáng).

對(duì)于磁懸浮球系統(tǒng)，PID控制具有不依賴(lài)模型的優(yōu)點(diǎn)，參數(shù)的尋優(yōu)過(guò)程要占用大量的計(jì)算資源；反步控制方法的跟蹤性能優(yōu)越但很難保證魯棒性；滑模變結(jié)構(gòu)控制由于本身的開(kāi)關(guān)不連續(xù)性，必然存在抖振問(wèn)題[9].在迭代算法中，迭代方程的選擇是非常關(guān)鍵、又非常困難的，迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，都會(huì)導(dǎo)致迭代失敗.三步法是一種新的基于模型的非線性控制設(shè)計(jì)方法，最初是為了解決現(xiàn)代汽車(chē)控制工程中出現(xiàn)的問(wèn)題，在跟蹤控制方面適用性極強(qiáng)[10].三步法的設(shè)計(jì)思路主要是在PID控制的基礎(chǔ)上加入了前饋控制，由類(lèi)穩(wěn)態(tài)控制、動(dòng)態(tài)前饋控制、誤差反饋控制組合而成的非線性控制器，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)清晰，容易理解.本文針對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題，基于三步法設(shè)計(jì)了非線性跟蹤控制器，由仿真結(jié)果可以看出基于三步法設(shè)計(jì)的非線性控制器跟蹤性能更加優(yōu)越.

1 磁懸浮球系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)描述

1.1 磁懸浮球系統(tǒng)的工作原理

磁懸浮球系統(tǒng)由小球、功率放大器、光電傳感器和控制器所組成[11]，如圖1所示.其工作原理為系統(tǒng)通上電之后，電磁鐵產(chǎn)生引力將小球吸在可移動(dòng)空間的頂部，改變電流大小從而操控引力，使小球離開(kāi)初始位置達(dá)到新的穩(wěn)定懸浮狀態(tài).

圖1 磁懸浮球系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)圖

整個(gè)系統(tǒng)可以分為電磁鐵電路部分和磁懸浮球的動(dòng)力學(xué)兩部分[12].電磁鐵電路部分主要由電流感應(yīng)電阻Rc和線圈電感Lc串聯(lián)組成，Ic和Vc分別為流經(jīng)電磁鐵線圈的電流和線圈兩端的電壓.磁懸浮小球的動(dòng)力學(xué)部分主要由小球和位置傳感器組成[13]，其中m為小球質(zhì)量；xb為小球位置；Fc為電磁鐵產(chǎn)生的電磁力；Fg為小球受到的重力.另外，實(shí)際系統(tǒng)還配置了一個(gè)與線圈串聯(lián)的電流檢測(cè)電阻Rs.

1.2 磁懸浮球系統(tǒng)的建模

電磁鐵電路部分主要通過(guò)控制電磁鐵產(chǎn)生的磁場(chǎng)來(lái)控制小球的位置，而電磁鐵的磁場(chǎng)強(qiáng)度由流經(jīng)電磁鐵線圈的電流來(lái)控制[14].在電磁鐵電路方面，由基爾霍夫電壓定律可以得到：

(1)

在電磁鐵磁路方面，由磁路的基爾霍夫定律、畢奧-薩伐爾定律可以得到：

(2)

其中μ0為真空磁導(dǎo)率；A為磁導(dǎo)截面積；N為線圈匝數(shù).由于以上3個(gè)參數(shù)均為常數(shù)，故我們定義一個(gè)常數(shù)Km=-μ0AN2.

根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)小球受力分析可得：

(3)

(4)

2 基于三步法的非線性控制器的設(shè)計(jì)

同大多數(shù)非線性控制方法一樣，三步法是一種對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型具有較強(qiáng)依賴(lài)的非線性控制方法.其主要包含3個(gè)設(shè)計(jì)步驟，即類(lèi)穩(wěn)態(tài)控制、參考前饋控制、誤差反饋控制，其結(jié)構(gòu)如圖2所示[15].

圖2 三步法結(jié)構(gòu)框圖

將根據(jù)磁懸浮球系統(tǒng)模型對(duì)三步法控制器各步控制律進(jìn)行推導(dǎo)，首先要對(duì)系統(tǒng)輸出y進(jìn)行連續(xù)求導(dǎo)，直到控制輸出與控制輸入關(guān)系的出現(xiàn)[16]，

(5)

(1)類(lèi)穩(wěn)態(tài)控制

(6)

將式(5)整理可得穩(wěn)態(tài)控制律，此時(shí)u=us，

us=(Rs+Rc)x3.

(7)

因?yàn)閡s的當(dāng)前狀態(tài)并不是系統(tǒng)最終的穩(wěn)態(tài)，所以式(7)表示的控制輸入是一個(gè)類(lèi)穩(wěn)態(tài)控制，該控制依靠系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)但并不是穩(wěn)定狀態(tài).當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)不斷變化時(shí)，為了能夠根據(jù)參考信號(hào)及時(shí)傳送給控制量，提高系統(tǒng)的快速性，在此基礎(chǔ)上引入動(dòng)態(tài)前饋控制.

(2)參考動(dòng)態(tài)前饋控制

(8)

將式(8)重新整理可得到前饋控制律：

(9)

(3)誤差反饋控制

由于系統(tǒng)存在外界干擾會(huì)影響系統(tǒng)跟蹤，所以在前兩步的基礎(chǔ)上引入誤差反饋控制來(lái)提高系統(tǒng)跟蹤性能.令u=us+uf+ue，將u代入式(6)，此時(shí)的控制律變?yōu)椋?/p>

(10)

定義跟蹤誤差e1=y*-y，重新整理式(10)得到誤差方程

(11)

對(duì)e1求導(dǎo)并帶入上式得：

(12)

(13)

式(13)是一個(gè)仿射誤差系統(tǒng)，為了使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)合適的控制律ue.由式(13)可知系統(tǒng)e1，e2形式簡(jiǎn)單，可以將e3看成是子系統(tǒng)的虛擬控制輸入，為了方便實(shí)現(xiàn)，將e3考慮為形式最為簡(jiǎn)單的PID結(jié)構(gòu)，可寫(xiě)為：

(14)

(15)

為了使子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，根據(jù)勞斯判據(jù)可得參數(shù)應(yīng)滿足：

k0<0,k2<0,k0+k1k2>0 ,

(16)

其中式(15)對(duì)于虛擬控制輸入誤差η是魯棒穩(wěn)定的，則存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)V1(χ,e1,e2)滿足輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性條件

(17)

其中α>0，γ>0.

定義Lyapunov函數(shù)為：

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行求導(dǎo)得到：

(19)

由此，系統(tǒng)的誤差反饋控制律可寫(xiě)為：

(20)

(21)

反饋控制部分與二階系統(tǒng)相比，由原來(lái)的PID結(jié)構(gòu)變成了PIDD結(jié)構(gòu)，當(dāng)然控制器的增益依然是狀態(tài)依賴(lài)的.

結(jié)合以上推導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)控制、參考動(dòng)態(tài)前饋控制和誤差反饋控制，得總控制律：

(22)

整個(gè)控制器的推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單清晰，避免了高階非線性系統(tǒng)所帶來(lái)的多次微分，即使系統(tǒng)階次在升高，但控制器的大部分形式并沒(méi)有太大的改變，保持了傳統(tǒng)工程中的通俗易懂.

3 仿真結(jié)果與分析

在磁懸浮球系統(tǒng)三步法設(shè)計(jì)控制器中，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)有4個(gè)，分別為k0,k1,k2,k3.采用試探法確定出合適的參數(shù)k0=80,k1=3 900,k2=46 000,k3=1 900.取平衡位置xb0=9 mm.圖3和圖4給出跟蹤方波輸入(0.009→0.015→0.01→0.014)的仿真結(jié)果.圖5和圖6給出了跟蹤正弦信號(hào)r(t)=0.009+0.001sinπt的仿真曲線.作為對(duì)比，同時(shí)給出了ESO-CSMC控制策略的響應(yīng)曲線[17].顯然，三步非線性控制超調(diào)量小，調(diào)節(jié)時(shí)間短，并且不存在抖振現(xiàn)象，跟蹤效果明顯優(yōu)于ESO-CSMC.

t/s圖3 方波輸入小球位置變化曲線

t/s圖4 方波輸入電流輸出

t/s圖5 正弦輸入小球位置變化曲線

t/s圖6 正弦輸入電流輸出

4 結(jié) 論

本文以單自由度磁懸浮球系統(tǒng)跟蹤控制為研究?jī)?nèi)容，設(shè)計(jì)了一種三步非線性控制器，分別跟蹤了方波、正弦兩種參考輸入.仿真結(jié)果表明，三步非線性控制器調(diào)節(jié)時(shí)間短、超調(diào)量小，跟蹤效果好，不存在抖振，與現(xiàn)有控制算法相比具有一定的優(yōu)越性.