廣東省惠州市惠陽區(qū)第五中學 (516200) 嚴 婷

深度學習是指在教師引領(lǐng)下，學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程[1].與機械、被動的淺層學習相比，深度學習更加強調(diào)學生的主體性地位，更加注重學生探索、理解、反思、創(chuàng)造的過程，更加注重數(shù)學知識的本質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系和思想方法.通過深度學習，可以加深學生對知識的理解，促進知識的遷移與運用,培養(yǎng)自主學習，合作探究能力，激發(fā)其內(nèi)在學習動機.同時，深度學習也是提升數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑之一.因此，在高中數(shù)學教學中，研究如何構(gòu)建深度學習課堂，讓深度學習真正發(fā)生，具有十分重要的意義.

一、核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學深度學習課堂的構(gòu)建策略

在高中數(shù)學課堂教學中，深度學習是否發(fā)生，主要看是否具備以下幾個特征：聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，活動與體驗，本質(zhì)與變式，遷移與應用[1].為落實核心素養(yǎng)，促進深度學習，針對以上特征，提出以下幾點構(gòu)建深度學習課堂的策略.

(一)讀懂學生，讀透教材，確立促進高級素養(yǎng)發(fā)展的學習目標

學生并不是空著腦袋走進教室，而是帶著已有經(jīng)驗來的，教師只有真正讀懂學生的基礎(chǔ)、需要、特點、困惑，才能讓課堂教學更加扎實高效.例如，在學習“直線與平面垂直”這一課前，學生已能直觀感知線面垂直的關(guān)系，也能舉出大量線面垂直的生活實例，但由于他們將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識相對薄弱，所以要將這種直觀感覺轉(zhuǎn)化為嚴格定義還有一定困難.此外，雖然學生已有研究線面平行、面面平行判定方法的基礎(chǔ)，但要將這種研究經(jīng)驗遷移過來，也存在一定困難.

在深度學習課堂中，學生不僅要學習有邏輯、有結(jié)構(gòu)、有體系的知識，還要領(lǐng)悟其中蘊含的數(shù)學思想方法.這就需要教師讀透教材的編排體系、編寫意圖，讀懂知識的建構(gòu)原理，讀懂蘊含的思想方法.“直線與平面垂直”是人教A版必修第二冊第八章第六節(jié)第二小節(jié)的內(nèi)容，是空間中線線垂直的延續(xù)，也是面面垂直的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用.與空間中線線垂直、面面垂直不同，線面垂直不是用空間角來定義，而是用線線垂直來定義的.定義本身既是判定，也是性質(zhì)，蘊含著線線垂直可與線面垂直相互轉(zhuǎn)化.此外，線面垂直判定定理把定義中要求的與任意一條直線垂直轉(zhuǎn)化為只要求與兩條相交直線垂直，也蘊含著“空間問題平面化”，以簡馭繁的數(shù)學思想.

因此，基于以上對學生，教材的分析，將本節(jié)課的學習目標確定如下：

(1)能從實例中抽象概括出直線與平面垂直的定義，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)；

(2)在探究直線與平面垂直的過程中發(fā)展合情推理能力，進一步感悟數(shù)學中“以簡馭繁”的轉(zhuǎn)化思想，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；

(3)能在直線與平面垂直的情境中利用定義和判定定理進行證明，培養(yǎng)分析問題，解決問題的能力.

(二)引導學生“親身”經(jīng)歷知識的發(fā)生與建構(gòu)過程，使學生真正成為課堂的主體

深度學習是觸及學生心靈的教學[1].在深度學習課堂中，教師應給學生提供“親身經(jīng)歷”知識發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展過程的機會，讓學生成為活動的主體.學生在全身心體驗知識復雜內(nèi)涵的過程中，也將發(fā)生豐富的內(nèi)心體驗，在這個過程中，學生不僅能理解知識，還能體會到更深刻的情感及數(shù)學思想方法.例如，在“直線與平面垂直”教學中，如果直接告訴學生線面垂直的定義和判定定理，然后通過大量的題目讓學生機械地記憶、模仿、證明，那這樣學生不明白知識的來龍去脈，時間一長就很容易遺忘，也無法將知識的學習轉(zhuǎn)化為理性成長的精神養(yǎng)分.因此，在深度學習課堂中，教師應引導學生像數(shù)學家一樣經(jīng)歷從直觀感受，一步步歸結(jié)到線線位置關(guān)系，最后得到線面垂直定義的過程；經(jīng)歷直觀感知-操作確認-思辨論證探索線面垂直判定定理的過程，讓學生在這個過程中體會研究立體幾何的一般方法，感受數(shù)學的科學性、邏輯性和嚴謹性.

(三)實施有深度的提問，引導學生深度理解，鍛煉學生思維深度

教育心理學認為，學生的思維過程往往從問題開始.所以，在深度學習課堂中，教師的提問應是有深度的，應能抓住問題本質(zhì)來提問，引導學生探究知識的本源，不僅知道是什么，還能積極探尋為什么.例如，在得出線面垂直判定定理的猜想后，可以提出這樣一個問題：根據(jù)基本事實3的推論3，經(jīng)過兩條平行直線，也是有且只有一個平面，那為什么不能依據(jù)直線與平面內(nèi)兩條平行直線垂直判斷線面垂直？引發(fā)學生對判定條件本質(zhì)的思考，促進學生對判定定理的深度理解.

二、核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學深度學習課堂的教學實踐

(一)創(chuàng)設情境，引入新課

情境1 詩人王維《使至塞上》中“大漠孤煙直，長河落日圓”描述了大漠中雄偉壯闊的景象，那從數(shù)學的角度，你看到了什么呢？

情境2 觀察圖1，旗桿與地面具有怎樣的位置關(guān)系？你還能舉出生活中類似的例子嗎？

圖1

設計意圖：通過具體例子，讓學生直觀感知直線與平面垂直的幾何關(guān)系，學會用數(shù)學的眼光觀察世界，提升數(shù)學抽象素養(yǎng).

(二)自主學習，合作探究

任務一：建構(gòu)直線與平面垂直的定義

問題1 在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時間的變化(圖2)，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？

圖2

追問1：旗桿所在直線AB是否與平面內(nèi)所有直線都垂直呢(圖3)？由此，你能用簡潔的語言給出直線與平面垂直的定義嗎？

圖3

師生活動：教師借助信息技術(shù)呈現(xiàn)旗桿影子的變化情況，學生通過觀察易得旗桿所在直線始終與其影子所在直線保持垂直.然后，教師引導學生依據(jù)異面直線垂直的定義，分析得到旗桿所在直線與地面上不經(jīng)過B點的直線也是垂直的，進而得出旗桿所在直線與地面上所有直線都垂直.再結(jié)合學生先前接觸過的“任意一個數(shù)”“任意一個人”引導其理解“所有”與“任意”的關(guān)系，最終概括出直線與平面垂直的定義.

追問2：直線與平面垂直的定義中，“任意一條”能改為“無數(shù)條”嗎？

師生活動：引導學生舉出反例，如圖4.

圖4

設計意圖：通過引導學生觀察思考，把直觀、模糊的感知抽象化，確切化，歸納得出直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學生的抽象概括能力.追問2，通過舉反例進行概念辨析，加深學生對定義中“任意一條”的理解.

問題2在得到直線與平面垂直的定義后，為表述方便，你覺得還有哪些輔助性的概念需要建立？(圖5，圖6)

圖5

圖6

師生活動：引導學生類比線線垂直的相關(guān)概念，給出垂線、垂面、垂足等概念及其圖形表示.

設計意圖：建立相關(guān)概念，知道線面垂直的符號表示，讓學生理解數(shù)學概念的基本學習思路.

任務二：探究直線與平面垂直的判定定理

問題3 用定義來判斷線面垂直方便嗎？你有判斷線面垂直更簡單易行的方法嗎？

師生活動：學生易得用定義法需要驗證直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，無法操作.教師引導學生類比線面平行判定定理的研究思路，將無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題.學生通過反例很快排除直線垂直平面內(nèi)“一條”直線就判斷線面垂直的猜想，進而很容易猜想應垂直平面內(nèi)“兩條”直線.

追問3：直線垂直于平面內(nèi)兩條怎樣的直線，才能判定線面垂直呢？

師生活動：學生通過舉反例排除垂直兩條平行直線，進而猜想直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線可以判斷線面垂直.

問題4 如圖7，準備一塊三角形的硬紙片，做一個試驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).

圖7

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直，為什么？

師生活動：教師引導學生動手實踐，驗證猜想.學生易想到當折痕AD垂直BC時，AD垂直于桌面.教師也可借助GeoGebra軟件動態(tài)演示BD邊在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)過程(圖8)，再次驗證.同時引導學生分析為什么,這是因為依據(jù)基本事實推論2，平面α可看作是由BD,DC兩條相交直線唯一確定的，所以當直線AD垂直這兩條相交直線時，就可保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直.

圖8

追問4：兩條平行直線也可確定一個平面，那么能否依據(jù)直線與平面內(nèi)兩條平行直線垂直判定線面垂直呢？你能從向量的角度給出解釋嗎？

師生活動：先前動手操作只停留在實驗驗證階段，教師可通過追問，引導學生從平面向量基本定理角度來理解定理，讓學生在定理未證明的情況下仍能認可定理的正確性、合理性.

設計意圖：讓學生進一步體會線面垂直向線線垂直的轉(zhuǎn)化，體會直觀感知、操作確認、思辨論證的研究立體幾何的一般過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

問題5 你能分別用圖形語言和符號語言表示定理嗎？

設計意圖：進行三種語言的轉(zhuǎn)換是為了促進學生對判定定理的理解，為發(fā)展邏輯思維能力奠定基礎(chǔ).

(三)例題講解，理解新知

例 求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.

師生活動：引導學生根據(jù)題意畫出示意圖，并把文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言，并與學生共同分析證明思路，規(guī)范證明過程的書寫.

設計意圖：讓學生在這一過程中認識到證明線面垂直有兩種方法：定義法和判定定理法，提高思維的靈活性.

(四)達標檢測，鞏固新知

1.如圖9，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求證：AC⊥平面SDB.

圖9

2.如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.

圖10

設計意圖：檢驗學生能否靈活運用判定定理進行證明，培養(yǎng)其分析問題，解決問題的能力.

(五)反思小結(jié)

1.本節(jié)課你學到了哪些知識？是通過怎樣的方法學習的？知識和方法中蘊含了哪些數(shù)學思想？

2.線面垂直的定義和判定與之前學過的線面平行的定義和判定在知識結(jié)構(gòu)、思想方法上有何異同？

設計意圖：通過梳理本節(jié)課所學知識，進一步體會立體幾何的研究內(nèi)容和方法，培養(yǎng)學生的反思習慣，幫助學生建立系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識體系.

(六)作業(yè)布置

必做題：教材152頁練習第3題，163頁習題8.6第5題.

選做題：查閱資料，了解數(shù)學家證明線面垂直判定定理的方法、模型.

設計意圖：必做題是為了讓學生掌握利用線線垂直來證明線面垂直這種常用方法；選做題滲透數(shù)學文化是為了讓學生體會數(shù)學嚴謹求實，不斷創(chuàng)新的精神.

總之，深度學習課堂應以提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目標，充分發(fā)揮學生的主體性地位，引導其經(jīng)歷知識的生成過程，促進其深度理解.