內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 程 雙 劉成龍
四川省內(nèi)江市第六中學(xué) (641100) 張先毅
指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要且常見的基本初等函數(shù),是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).具體來(lái)說,指數(shù)函數(shù)是高中函數(shù)概念、性質(zhì)的具體呈現(xiàn),為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)提供了經(jīng)驗(yàn)和方法,為后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).與此同時(shí),指數(shù)函數(shù)還是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體.因此,本文立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),旨在學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)理解的基礎(chǔ)上發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?馬云鵬認(rèn)為:“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力”[1];趙思林認(rèn)為:“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體在四基基礎(chǔ)上所形成的數(shù)學(xué)眼光,數(shù)學(xué)思維方式,數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)信念,數(shù)學(xué)價(jià)值觀等”[2];《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2017》)指出:“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的”[3],等等.可見,核心素養(yǎng)的概念界定普遍較為抽象,這為一線教師認(rèn)識(shí)核心素養(yǎng)帶來(lái)了難度.于是,《課標(biāo)2017》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包含的具體素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.[3]這六大素養(yǎng)的提出為一線教師明確了數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).
如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展核心素養(yǎng)?數(shù)學(xué)教學(xué)是教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地認(rèn)識(shí)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以促進(jìn)學(xué)生身心持續(xù)和諧發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)[4],而數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性,正是這些學(xué)科特點(diǎn)使得數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)概念的形成、命題的提出、模型的建構(gòu)無(wú)處不存在數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式[3],是獲取數(shù)學(xué)結(jié)果的基本手段,正如章建躍博士所言:數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”;數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得需要依靠邏輯推理來(lái)實(shí)現(xiàn),如幾何學(xué)家伍鴻熙所說:邏輯推理是數(shù)學(xué)的“命根子”;等等.顯然,數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)土壤.同時(shí),作為最具學(xué)科特色的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)頂層設(shè)計(jì)的理論指導(dǎo).因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理應(yīng)做到:依托數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng);通過問題解決讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)化過程,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生;通過反思活動(dòng)積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).
本節(jié)課選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第二章第1節(jié)指數(shù)函數(shù)第二課,內(nèi)容包括指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì).指數(shù)函數(shù)是繼高中函數(shù)概念后首次學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù),是高中函數(shù)概念、性質(zhì)的直接呈現(xiàn)和應(yīng)用.
在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、單調(diào)性、奇偶性、最值等基本性質(zhì),初步具備研究指數(shù)函數(shù)的知識(shí)、方法和能力.但指數(shù)函數(shù)一直以來(lái)都是學(xué)生公認(rèn)的難點(diǎn),學(xué)生存在一定的畏難情緒.
1.創(chuàng)設(shè)情境,觸發(fā)思考
情境1 某種細(xì)胞分裂時(shí),每次每個(gè)細(xì)胞分裂為2個(gè),則1個(gè)這樣的細(xì)胞第一次分裂分成2個(gè)細(xì)胞,第二次分裂成4個(gè)細(xì)胞,第三次分裂成8個(gè)細(xì)胞……
情境2 我國(guó)古代學(xué)者莊子在《莊子·天下篇》中有一句話:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”.
問題1 能用數(shù)學(xué)式子分別表達(dá)情境1、2中所包含的量與量間的關(guān)系嗎?
師生活動(dòng):在老師的引導(dǎo)下,學(xué)生觀察表達(dá)式得出共同特征,并給出統(tǒng)一表達(dá)式:y=ax.
設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,這一過程屬于水平數(shù)學(xué)化.對(duì)問題1得出的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式再抽象出具有一般性的式子,這一過程屬于垂直數(shù)學(xué)化.基于水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化思想提出具有指向性的問題,引導(dǎo)學(xué)生把握問題本質(zhì),挖掘題中的隱含條件,進(jìn)行抽象,列出表達(dá)式并建立相應(yīng)模型,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
2.合作探究,建構(gòu)新知
問題3 y=ax是函數(shù)嗎?
教師活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生分類思考.
預(yù)設(shè):學(xué)生通過討論達(dá)成共識(shí):當(dāng)a=0,x取非正數(shù)時(shí),y=ax無(wú)意義,不構(gòu)成函數(shù);當(dāng)a<0,x取分?jǐn)?shù)且分母為偶數(shù)時(shí),式子無(wú)意義,不構(gòu)成函數(shù);當(dāng)a>0時(shí),y=ax構(gòu)成函數(shù),并且a=1時(shí)為常數(shù)函數(shù).
在此基礎(chǔ)上,教師點(diǎn)明本節(jié)課的主題——指數(shù)函數(shù).
問題4 能根據(jù)前三個(gè)問題的探究歸納得到指數(shù)函數(shù)的概念嗎?
學(xué)生活動(dòng):學(xué)生得出函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量.
追問1 自變量x的取值范圍是什么呢?
學(xué)生活動(dòng):討論得出當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)表達(dá)式都有意義,即函數(shù)的定義域?yàn)镽.
設(shè)計(jì)意圖:通過問題3,引導(dǎo)學(xué)生分類討論,對(duì)y=ax是否為函數(shù)進(jìn)行判斷.既訓(xùn)練了學(xué)生邏輯推理能力,也感知了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.對(duì)問題3進(jìn)行抽象,得到問題4,讓學(xué)生從一般的數(shù)學(xué)問題抽象出更高層次的數(shù)學(xué)問題,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
學(xué)生活動(dòng):學(xué)生通過列表、描點(diǎn)、連線作出函數(shù)圖象,如圖1.
圖1
學(xué)生活動(dòng):學(xué)生作出函數(shù)圖象,如圖2.
圖2
探究根據(jù)函數(shù)圖象的走勢(shì)能得到什么結(jié)論?
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生借助函數(shù)圖象,將抽象的符號(hào)變成直觀的圖形,建立數(shù)與形的聯(lián)系.通過圖形,觀察變化規(guī)律、歸納得出結(jié)論,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).
追問3 根據(jù)圖象,你能得出那些指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?
學(xué)生活動(dòng):學(xué)生歸納出性質(zhì):
(1)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)0
(2)指數(shù)函數(shù)都過定點(diǎn)(0,1);
(3)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞).
教師活動(dòng):教師借助幾何畫板驗(yàn)證學(xué)生得出的性質(zhì).
師生活動(dòng):師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖:觀察圖象歸納出指數(shù)函數(shù)性質(zhì),教師運(yùn)用幾何畫板驗(yàn)證,進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和幾何直觀素養(yǎng).
3.強(qiáng)化理解,鞏固提升
例1 指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.
設(shè)計(jì)意圖:依據(jù)指數(shù)運(yùn)算原理解決問題,不僅強(qiáng)化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解,而且在知識(shí)的運(yùn)用過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
例2 設(shè)a,b,c,d均大于0,且不等于1,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖3,試判斷a,b,c,d的大小關(guān)系.
圖3
設(shè)計(jì)意圖:圖3是圖2的一般化,通過對(duì)圖2中函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的分析可以歸納出a,b,c,d的大小關(guān)系,并可以抽象出更一般的命題,再根據(jù)直線x=1與各函數(shù)圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小對(duì)命題加以證明.本例意在發(fā)展幾何直觀、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理素養(yǎng).
例3 比較下列各題中值的大小.(1)1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1,0.8-0.2; (3)1.70.3,0.93.1.
設(shè)計(jì)意圖:設(shè)置(1)和(2)意在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)模型的認(rèn)識(shí),發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).(3)是對(duì)(1)(2)的升華,意在進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).
例4 一種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來(lái)是a,在今后m年內(nèi),計(jì)劃使產(chǎn)量平均每年比上一年增加p%,寫出產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式.
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)問題,并用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表征,意在發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
本文以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為理論指導(dǎo)給出了指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)如圖4,有效地將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合,使得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有生根的土壤,并且讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加科學(xué),讓學(xué)生的發(fā)展更加充分.具體來(lái)講,對(duì)問題情景的不斷抽象,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和建模素養(yǎng);在師生合作、生生合作中,抽象得到指數(shù)函數(shù)的概念,通過繪制圖象、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);通過4個(gè)例題的解決有針對(duì)性地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),充分做到有的放矢.總的來(lái)看,本文所提供的指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)具有科學(xué)性、實(shí)用性和合理性.
圖4