江蘇省南通市海門證大中學(xué) (226100) 周雅俊

平面解析幾何在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中放入幾何與代數(shù)主題中，核心思想是以代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生多角度地研究問(wèn)題、多層次地探究問(wèn)題，達(dá)到做一道會(huì)一類，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.筆者在與學(xué)生一起解題時(shí)，和學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)了一類圓錐曲線的定值問(wèn)題的一些性質(zhì)，整理成文.本文僅以焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線加以說(shuō)明，僅作拋磚引玉，期待得到大家的指點(diǎn).

圖1

性質(zhì)1中是過(guò)右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)作一條直線，得出交點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為定值.類似的可以過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線，于是得到如下性質(zhì).

同為有心二次曲線,雙曲線也具有相似的性質(zhì)，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)了以下的性質(zhì).

圖2

性質(zhì)2、3、4的證明類似于性質(zhì)1，這里就不贅述了，有興趣的讀者可以自己嘗試去證明.這樣的話可以歸納出有心圓錐曲線的兩個(gè)共同的性質(zhì)，這里僅以焦點(diǎn)在x軸上有心圓錐曲線作說(shuō)明.

共同性質(zhì)1 在一個(gè)有心圓錐曲線中，左右頂點(diǎn)分別是A1、A2，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)是P，過(guò)點(diǎn)P的直線l與這個(gè)圓錐曲線交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作x軸的垂線m,設(shè)直線A1M、A2N相交于點(diǎn)T，則點(diǎn)T在定直線m上.

共同性質(zhì)2 在一個(gè)有心圓錐曲線中，左、右頂點(diǎn)分別是A1、A2，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與這個(gè)圓錐曲線交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線A1M、A2N相交于點(diǎn)T，則點(diǎn)T在右準(zhǔn)線上.

從廣義上來(lái)說(shuō)，圓也是圓錐曲線，當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過(guò)圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐的對(duì)稱軸垂直，結(jié)果為圓 ，這樣也可以得到一個(gè)推廣.

與有心二次曲線有所不同，拋物線與對(duì)稱軸只有一個(gè)交點(diǎn)，由射影幾何的知識(shí)知道：一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).這樣的話可以大膽地猜想拋物線與對(duì)稱軸的另一個(gè)交點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)處，經(jīng)過(guò)小心地求證，于是就有了以下的性質(zhì).

圖3

推廣4 在拋物線y2=2px(p>0)中，過(guò)x軸上一點(diǎn)S(s,0)，作直線l與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線m，直線OM與直線m相交于點(diǎn)T，則點(diǎn)T在定直線x=-s上.

在性質(zhì)1中，當(dāng)M、N兩點(diǎn)無(wú)限接近至重合時(shí)，這時(shí)M、N、T三點(diǎn)重合，直線l也就變成了橢圓的切線.性質(zhì)3、5也可以進(jìn)行類似的演繹，得到相似的結(jié)論.這樣可以得到圓錐曲線的一個(gè)公共性質(zhì),這里僅以焦點(diǎn)在x軸上的加以說(shuō)明:在一個(gè)圓錐曲線中，焦點(diǎn)是F，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)是P，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線l，與這個(gè)圓錐曲線交于M、N兩點(diǎn)，則直線PM、PN與這個(gè)圓錐曲線相切.類似上面的三個(gè)推廣，這個(gè)性質(zhì)也可以加推廣.

推廣7 在拋物線y2=2px(p>0)中，x軸上有兩點(diǎn)S(s,0)，T(t,0)(t>0)，s+t=0，過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線l，與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，則直線SM、SN拋物線相切.

一道好的試題研究?jī)r(jià)值不應(yīng)僅僅停留在解法上，還應(yīng)該對(duì)試題本身做深入的探究，挖掘深層次的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，通過(guò)變式教學(xué)、引導(dǎo)學(xué)生探究、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)[1].試題要發(fā)揮其最大功效，要進(jìn)行拓展研究，挖掘試題的原理.馬波教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究》中說(shuō)到：開(kāi)展解題研究，選擇適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，從解題的某一個(gè)側(cè)面加以總結(jié)、概括、提升.教師在試題講解時(shí)應(yīng)該注意創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，大膽地假設(shè)、小心地求證，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).