陜西省漢中市龍崗學(xué)校(723100)唐宜鐘 周 娟

在某些解析幾何題目中,圖形中點(diǎn)、線、角等量是有生成、變化順序的: 即由初始量A生成并引起B(yǎng)的變化,B的變化又引起C的變化,量依次生成、變化,直到最終需要證明或者計(jì)算的結(jié)論.一般來說,越靠前的量,基本信息越多,越容易求得.后面的量又由前面的量計(jì)算求得.因此,找準(zhǔn)初始變量并合理表達(dá),是破題的關(guān)鍵.

在實(shí)際教學(xué)中,教師往往根據(jù)解答解析幾何的經(jīng)驗(yàn),給學(xué)生做答.很少有人提出生成順序和初始變量的想法,學(xué)生解答問題時(shí)也糊里糊涂.下面筆者試舉幾例進(jìn)行說明.

例1 已知拋物線C:x2=2py(p >0),直線l:y=mx ?3 與拋物線C相切,且原點(diǎn)到直線l的距離為(1)求拋物線C的方程;

(2) 如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),PE與拋物線的準(zhǔn)線垂直,且垂足為E,QR⊥EF與拋物線交于R,求?PQR面積的最小值.

解(1)x2=4y；

(2)題目敘述繁雜,點(diǎn)、線眾多,此時(shí)需要關(guān)注圖形中點(diǎn)、線的生成順序,找準(zhǔn)基本量,按照生成的邏輯鏈條,依次表達(dá)各量,才不至于在解題過程中瞻前顧后,顧此失彼.顯然,本題的初始變量為P,P的變化引起了點(diǎn)Q和E的變化,直線EF和點(diǎn)Q又生成了點(diǎn)R,進(jìn)而形成三角形PQR,其生成順序如圖，故本題可先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),再依次生成各點(diǎn)、線的坐標(biāo)和方程,最終得解.

例2 (2019 年浙江卷) 如圖,已知點(diǎn)F(1,0) 為拋物線y2=2px(p >0),點(diǎn)F為焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線上,使得?ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F右側(cè).記?AFG、?CQG的面積為s1、s2.

事實(shí)上,從圖形的生成過程可以看出本題中點(diǎn)的生成是一個(gè)閉合回路,其也可以反向生成.如已知定點(diǎn)C和定點(diǎn)A,在拋物線上任取一點(diǎn)N,直線CN交拋物線于點(diǎn)L,直線AN交拋物線于點(diǎn)M,則直線ML過定點(diǎn)B.根據(jù)本題中的量可以很容易反推出來.其生成順序如圖:

例4 (2019 年全國(guó)二卷)已知點(diǎn)A(?2,0),B(2,0)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G

(i)證明: ?PQG是直角三角形;

(ii)求?PQG面積的最大值.

解(1)

(2)(i)略.

對(duì)于第(ii)問,在橢圓中,如果使用點(diǎn)的生成想法,點(diǎn)P為初始變量,點(diǎn)G是最后生成的,點(diǎn)G的坐標(biāo)表示起來比較困難.我們嘗試改變一下想法,從邊長(zhǎng)和角度方面理解生成過程.