北京師范大學廣州實驗學校(510700)楊 雪

1 “同構法”簡介

在解決含參的不等式問題時,常見的解法包括: 分類討論或轉化為函數的最值問題進行研究.除此之外,還可通過分析不等式的結構,將不等式中的元素轉換成相同的結構,據此構造函數,通過研究函數的性質進行求解.具體如下: 即將F(x)≥0 等價的變形為f[g(x)]≥f[h(x)],通過研究函數f(x)的單調性,將問題轉化為研究g(x)與h(x)之間的大小關系,該解法即為“同構法”.

2 利用“同構法”證明或解不等式

例1 證明:x2?xlnx≤ex?1.

分析本題可通過多次求導,再利用函數和導函數的關系判斷函數的最值進行證明.本文利用同構的思想進行求解.

解析原不等式等價于:等價于:x ?lnx≤ex?1?lnx.根據經典不等式: ex≥x+1,即可得: ex?1?lnx≥x ?1?lnx+1=x ?lnx成立.

評注本題通過對數恒等式[1]將不等式的兩側變形出相同的結構x ?lnx,實現了“同構”,簡化了證明過程.

例2 若函數f(x) 為定義在R上的偶函數,當x ∈(?∞,0)時,f′(x)>ex?e?x,求不等式f(2x?1)?f(x?1)>ex?1(ex ?1)(1?e2?3x)的解集.

分析解題的方向是將上述不等式的右側通過等價變形轉換為左側的形式,再結合題干信息完成“同構”.

解析令g(x)=f(x)?ex ?e?x,則g′(x)=f′(x)?ex+e?x,當x ∈(?∞,0)時,f′(x)>ex ?e?x,故g′(x)>0即g(x) 在(?∞,0) 上單調遞增;∵f(x) 是偶函數,根據函數奇偶性的性質可知函數g(x)也是偶函數,考慮不等式f(2x?1)?f(x?1)>ex?1(ex?1)(1?e2?3x),對其右側令其模仿左側進行“同構”變形ex?1(ex?1)(1?e2?3x)=(e2x?1?ex?1)(1?e2?3x)=e2x?1?ex?1?e?x+1+e1?2x,原不等式等價于f(2x?1)?e2x?1?e1?2x >f(x?1)?e?x+1?ex?1,即g(2x?1)>g(x?1),∵g(x)為偶函數,在(?∞,0)上遞增,所以在(0,+∞)上遞減,上述不等式等價于|2x?1|<|x?1|,解得:.

例2 變式、已知f(x)是R上可導的圖象不間斷的偶函數,導函數為f′(x),且當x>0 時,滿足f′(x)+2xf(x)>0,求不等式e1?2xf(x ?1)>f(?x)的解集.

解析不等式e1?2xf(x ?1)>f(?x) 等價于:f(x ?1)>f(x)e2x?1,兩邊同乘以得:.令,上述不等式等價于h(x ?1)>h(x).現考慮函數h(x) 的性質,因為h′(x)=,結合f′(x)+2xf(x)>0(x>0),所以h′(x)>0.所以h(x)在(0,+∞)上單調遞增,易知該函數為偶函數,所以h(x)在(?∞,0)上單調遞減.故(x ?1)2>x2,解得

3 利用“同構法”計算參數范圍

評注對于同一個函數,變形的視角不同,最終“同構”后的函數也不相同.

4 利用“同構法”判斷零點個數

如圖1,可以判斷:F(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增;G(x) 在(0,+∞) 上單調遞減.容易證明:F(x)>G(x) 恒成立,原問題轉化為直線y=a與函數F(x)與函數G(x)交點個數的問題.

顯然可得: 當a ∈(0,e) 時,原問題只有一個零點;當a=e 時,原問題有兩個零點;當a ∈(e,+∞)時,原問題有三個零點.

5 反思與總結

在利用同構法進行解題時,需要通過觀察、分析發(fā)現題干中函數結構的共性,通過整理等變形手段將等式(或不等式)兩側進行同構.再完成同構后,即可構造函數,利用函數的單調性簡化不等式.整理變形的技巧包括(但不限于)移項、通分、對數恒等式等等;有時也需對等式(或不等式)兩側進行添項后完成同構.

根據上面的例題顯示,對于含指、對數的結構時常見的變形技巧有: