基礎教育階段的數(shù)學教育終極目標可以描述為：會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界。其中，數(shù)學眼光體現(xiàn)的是數(shù)學抽象能力，與數(shù)學抽象關系密切的是直觀想象，直觀想象是實現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎^[1]。應用GeoGebra開展數(shù)學可視化教學，可以改變課堂教學中“只可意會不可言傳”的尷尬局面，幫助學生對空間形式與數(shù)量關系進行直觀想象和數(shù)學抽象，更好地理解知識，學會用數(shù)學眼光觀察世界，提高數(shù)學學科核心素養(yǎng)。筆者以動點最值問題為載體，展示GeoGebra可視化解題片段，闡述教學思路和方法。

一、例題展示與可視化破解思路

題目：如圖1所示，點在銳角△的邊上運動。分別作△和△的外接圓。問：點在什么位置，兩個圓的公共部分的面積最??？

中學數(shù)學中的動點問題往往是集代數(shù)與幾何知識于一體，題目具有較強的綜合性。學生解決動點問題需要具備一定的數(shù)學抽象和直觀想象能力。學生在解決動點問題的過程中，需要對數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系進行抽象思考，這有利于提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)，增強用聯(lián)系、運動、變化的觀點看問題的意識。對教師而言，動點問題講解往往是傳統(tǒng)課堂教學中的難點。教師教學以板書為主，難以將想象的圖形動態(tài)過程“告訴”學生，更談不上“告訴”學生為什么“想到”。學生在這種靜態(tài)的、“只可意會不可言傳”的課堂環(huán)境中，難以想象出圖形與圖形的位置關系變化過程，這不利于數(shù)學眼光的發(fā)展。長此以往，學生會失去學習數(shù)學的興趣和信心。

GeoGebra是一款跨平臺的、開源的動態(tài)數(shù)學軟件，功能強大、容易操作、交互性強，可生成表格、圖形，適合幾何、代數(shù)、統(tǒng)計和微積分教學。數(shù)學作為一門研究數(shù)量關系與空間形式的科學，數(shù)與形是其研究的兩個重要對象。GeoGebra同時具備處理數(shù)與形問題的功能，教師恰當?shù)剡\用GeoGebra可使數(shù)學問題直觀化、動態(tài)化，引導學生在可視化的環(huán)境下用數(shù)學眼光觀察世界。以下是應用GeoGebra解決該例題的教學實例。

二、教學片段與解題分析

學生1：可以用特殊法。連接，當⊥時，最短，則兩弓形所對的弦最短，兩個弓形（兩個圓的公共部分）的面積最小。

教師：非常好，這位同學用特殊法直接解決問題，簡單明了！大家認為怎樣。

學生2：點在動的時候，兩個圓的公共部分的面積會變化嗎？怎么看出來的？

教師：用GeoGebra軟件讓同學們“看”一下——點在邊上運動的時候，兩個圓的公共部分的面積會不會變，是怎么變的。

教師借助GeoGebra進行動態(tài)演示過點作邊上的高，垂足為。用鼠標拖動點讓其在邊上運動（如圖2）。

教師：大家看到了什么。

學生2：點動的時候，的長度在變，陰影部分的面積也就是兩個圓的公共部分的面積也在變。

教師：怎么變？什么時候陰影部分的面積最??？

學生2：點從點出發(fā)，的長度越來越小，陰影部分的面積也越來越小，當點來到點時，陰影部分的面積最小，離開點往點時，陰影部分的面積越來越大。

教師：看出來了嗎？點在什么位置，兩個圓的公共部分的面積最??？

學生：=時，也就是⊥時兩個圓的公共部分的面積最小。

教師展示另外一種解法^[2]，利用上述解法（原理）制作了GeoGebra課件用于演示。

分析：△是已知三角形，該三角形的邊和角都是定值。何時兩圓公共部分面積最小？求出兩個弓形面積最小的條件即可。

如圖3所示，考察以弦為邊界的弓形，設弓形弧對應的圓心角為（定角），弦的長為，設法將弓形的面積表示為的函數(shù)。作⊥于，則 ，所以弓形的面積 。

因為為定角，所以 為常量。當最小時，也有最小值。所以，當⊥時，兩個圓的公共部分的面積最小。

教師讓學生用同樣的方法將圖2中陰影部分的面積表示出來。

三、GeoGebra課件制作過程

步驟1：在菜單欄中選擇“描點”和“多邊形”工具繪制銳角△，并在銳角△的邊作出動點。選擇“圓（過三點）”工具分別繪制經(jīng)過、、三點與、、三點的圓。

步驟2：選擇“垂直”工具作出△邊上的高;通過“三角形任意兩邊垂直平分線的交點”找到△和△的外心，即兩外接圓的圓心;用“線段”工具找到兩外接圓半徑;通過不等式表示兩外接圓相交的陰影部分（涂色方法中的一種）。

步驟3：選擇“角度”工具度量兩弓形弧對應的圓心角和;在輸入框輸入公式計算出兩弓形的面積，并用文本工具展示。

四、總結與思考

上述案例中，教師借助GeoGebra進行可視化教學，不僅化解了傳統(tǒng)課堂上常見的尷尬局面，而且吸引了學生的注意力。在數(shù)學教學中，總有一些學生跟不上節(jié)奏，根本原因是不會用數(shù)學眼光看問題，沒有達到相應的思維水平，無法對數(shù)量關系與空間形式進行數(shù)學抽象和直觀想象，更談不上用數(shù)學語言回答問題。數(shù)學課堂教學離不開數(shù)學概念的生成、原理的發(fā)現(xiàn)和問題的解決，教師通過這些途徑，融合可視化技術、數(shù)學內(nèi)容與教學方法實施可視化教學，可以推動學生思維深化，促進學生深度學習^[3]。

在概念的生成中，教師借助GeoGebra進行可視化教學，可使學生在概念的形成和同化的過程中，發(fā)展數(shù)學眼光。例如，在小學“角的度量”的教學中，教師可以借助GeoGebra展示量角器的制作原理，制作量角器，使量角器的使用過程可視化;可以演示角（銳角、直角、鈍角、平角與周角）的動態(tài)生成過程，引導學生對數(shù)量關系與空間形式進行抽象，建立關于角的概念體系;在初中“絕對值”概念的教學中，可以借助GeoGebra設置兩輛汽車在數(shù)軸上反向而行相同路程的情境，進一步抽象出絕對值的概念及絕對值的符號表示。此外，借助GeoGebra開展可視化教學，可以加深學生對“點到原點的距離”幾何意義的理解，使其在對數(shù)量關系與空間形式進行抽象得到絕對值概念的過程中，提高抽象意識和空間觀念等數(shù)學核心素養(yǎng)。在高中“三角函數(shù)”概念的教學中，教師可以借助GeoGebra加深學生對三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）單位圓定義的理解（如圖4）。

在探究原理的過程中，教師可以借助GeoGebra進行可視化教學，滲透數(shù)學思想方法。例如，在“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”教學中，教師利用GeoGebra引導學生探究“三個二次”的聯(lián)系，根據(jù)一元二次不等式參數(shù)的變化，利用動態(tài)圖形幫助學生進行數(shù)與形關系的抽象，進一步滲透數(shù)形結合的思想，發(fā)展學生的數(shù)學眼光。在“雙曲線及其標準方程”教學中，教師使用GeoGebra的滑動條工具探究2與2的數(shù)量關系所對應的不同軌跡，化抽象為具體，讓學生感受軌跡的變化，領悟對應和極限的思想，發(fā)展用數(shù)學眼光觀察世界的素養(yǎng)。

GeoGebra是教師開展數(shù)學可視化教學的有力工具。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》在教學建議中強調(diào)“重視信息技術運用，實現(xiàn)信息技術與數(shù)學課程的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果”?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程資源開發(fā)與利用建議中也強調(diào)“將信息技術作為學生從事數(shù)學學習活動的輔助性工具。例如，使用有效的數(shù)學軟件繪制圖形，呈現(xiàn)抽象對象的直觀背景，加深對相關數(shù)學內(nèi)容的理解”。這都充分表明數(shù)學教學離不開信息技術的應用，利用信息技術創(chuàng)設可視化的教學環(huán)境，能夠有效地啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學問題的本質(zhì)，發(fā)展學生數(shù)學眼光，提高學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

注：本文系甘肅省教育廳2021年度優(yōu)秀研究生“創(chuàng)新之星”項目“高一學生數(shù)學眼光現(xiàn)狀調(diào)查及其教學策略研究”（項目編號：2021CXZX-793）的階段性研究成果。

參考文獻

[1] 史寧中.高中數(shù)學課程標準修訂中的關鍵問題[J].數(shù)學教育學報，2018，27（1）：8-10.

[2] 王林全，吳有昌.中學數(shù)學解題研究[M].北京：科學出版社， 2009.

[3] 張志勇.高中數(shù)學可視化教學：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺[J].數(shù)學通報，2018，57（7）：21-24.

（作者系甘肅省天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院碩士研究生）

責任編輯：祝元志