“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)兩大基本概念，數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是一種模式轉(zhuǎn)換為另一種模式^[1]，教師開(kāi)展數(shù)形結(jié)合教學(xué)有助于學(xué)生利用已知探索未知。數(shù)形可視化不限于數(shù)學(xué)學(xué)科，也適用于多學(xué)科整合。教師引導(dǎo)學(xué)生掌握“數(shù)”“形”概念，有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維能力。筆者結(jié)合數(shù)學(xué)和音樂(lè)教學(xué)實(shí)踐介紹數(shù)形可視化的應(yīng)用。

一、認(rèn)識(shí)數(shù)形可視化

（一）數(shù)形可視化的定義和演化過(guò)程

數(shù)形可視化是利用信息技術(shù)將抽象概念轉(zhuǎn)換成數(shù)形圖像，幫助學(xué)習(xí)者直觀感知，使抽象問(wèn)題具體化、繁雜文字?jǐn)?shù)據(jù)條理化，進(jìn)而解決問(wèn)題的過(guò)程^[2]。具體來(lái)講，它是運(yùn)用軟件和技術(shù)，以學(xué)習(xí)者為中心，按照認(rèn)知規(guī)律，將對(duì)數(shù)字的感知、認(rèn)知、想象、推理及其發(fā)展變化過(guò)程，轉(zhuǎn)換為可視化資源，幫助學(xué)習(xí)者有效學(xué)習(xí)的方式。

筆者從數(shù)形分化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)形可視化三個(gè)階段闡述數(shù)形可視化的演化過(guò)程。其一，從數(shù)形分化來(lái)看，教師基于現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)與形的抽象，用數(shù)和形解釋當(dāng)前所看到的現(xiàn)象或者問(wèn)題，用數(shù)來(lái)表征概念，用形來(lái)重組概念，分別發(fā)揮其不同作用，幫助學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)世界。其二，從數(shù)形結(jié)合來(lái)看，將數(shù)與形的特點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合，用原有的數(shù)、形的抽象概念解釋現(xiàn)象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)將抽象概念具體化、簡(jiǎn)單化，發(fā)揮數(shù)之“以數(shù)助形”和形之“以形解數(shù)”的作用，并且數(shù)與形是雙向可逆的。其三，從數(shù)形可視化來(lái)看，充分利用信息技術(shù)支撐，以學(xué)生為中心，根據(jù)認(rèn)知規(guī)律，用數(shù)字化圖像可視化表征數(shù)形結(jié)合，讓轉(zhuǎn)化者和使用者更加直觀地理解數(shù)與形表達(dá)的抽象概念，有效學(xué)習(xí)、深入理解。

（二）數(shù)形可視化的特點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合，力求“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”，堅(jiān)持“利、逆、高”的發(fā)展理念，以適應(yīng)智能化教與學(xué)的變革。利，就是有利轉(zhuǎn)換，通過(guò)信息技術(shù)、智能化、軟件呈現(xiàn)等，降低學(xué)習(xí)者認(rèn)知成本。逆，就是可逆轉(zhuǎn)換，通過(guò)交互與可逆轉(zhuǎn)換，呈現(xiàn)認(rèn)知最佳點(diǎn)，幫助學(xué)習(xí)者有效學(xué)習(xí)、有效歸納。高，就是高度可視化和高度提煉，不論是理論到實(shí)踐的化歸，還是實(shí)踐到理論的提煉，高度轉(zhuǎn)換就能降低學(xué)習(xí)成本、認(rèn)知成本和制作成本。

（三）數(shù)形可視化的類(lèi)型

目前，軟件工具趨于模板化、智能化、操作簡(jiǎn)單化，有利于使用者掌握，實(shí)現(xiàn)數(shù)形可視化。數(shù)形可視化分為兩類(lèi)：一類(lèi)為抽象到具體的正向轉(zhuǎn)化;另一類(lèi)為具體到抽象的逆向化歸。正向轉(zhuǎn)化包括“文字和數(shù)據(jù)可視化”“思維與推理過(guò)程可視化”“抽象問(wèn)題具體化”等。在開(kāi)展文字意境理解、定理推論證明、技能實(shí)操演示等教學(xué)時(shí)，教師可通過(guò)可視化（呈現(xiàn)），幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)，解決問(wèn)題。逆向化歸包括“思想統(tǒng)籌”“數(shù)據(jù)整理”“結(jié)論化歸”等。在開(kāi)展數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、觀點(diǎn)宏觀提煉等教學(xué)時(shí)，教師通過(guò)合理的分析與提煉，幫助學(xué)生更好歸納內(nèi)化。正向轉(zhuǎn)化與逆向化歸并不孤立，二者相輔相成，緊密?chē)@有利轉(zhuǎn)換和最佳呈現(xiàn)，為“減負(fù)”與“提效”服務(wù)。

二、設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與教學(xué)策略

（一）數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)遵循表達(dá)準(zhǔn)確、轉(zhuǎn)換精確、重點(diǎn)清晰、體貼和諧四項(xiàng)原則。所謂表達(dá)準(zhǔn)確，就是數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供理解每階段內(nèi)容學(xué)習(xí)所需的前后聯(lián)系元素，將文字、數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的可視化，確保知識(shí)表達(dá)的準(zhǔn)確性。為何強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)換精確，因?yàn)殡p向轉(zhuǎn)換存在誤差，轉(zhuǎn)換準(zhǔn)確率的高低決定了“減負(fù)率”，也決定了“學(xué)與教”效率的高低。數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)做到有利轉(zhuǎn)換與精確轉(zhuǎn)換。雙向轉(zhuǎn)換表達(dá)要清晰，特別是重點(diǎn)或要點(diǎn)，言簡(jiǎn)意賅、清晰表達(dá)，能快速引導(dǎo)學(xué)生的注意力集中到最重要的知識(shí)點(diǎn)上，減輕認(rèn)知負(fù)擔(dān)，數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)與選材應(yīng)當(dāng)小而精，盡量以單一重點(diǎn)或要點(diǎn)為背景，這就是重點(diǎn)清晰準(zhǔn)則。數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)以學(xué)生為中心，以學(xué)習(xí)認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)并不針對(duì)個(gè)體，而是充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)訴求，進(jìn)行引導(dǎo)，使交互更友好、更普適，這就是體貼和諧準(zhǔn)則。

（二）數(shù)形可視化的教學(xué)策略

數(shù)形可視化的應(yīng)用必定基于庫(kù)的建設(shè)。庫(kù)，需要學(xué)習(xí)者與教學(xué)者或研究者（以下合稱教研者）共同建構(gòu)，需要集體的同化與順應(yīng)，需要互聯(lián)網(wǎng)、軟件和技術(shù)智能化的支持。教研者創(chuàng)建數(shù)形可視化云端，學(xué)習(xí)者在紙上（或設(shè)備上）完成作品后，可通過(guò)設(shè)備掃描，上傳至云端。教研者下載作品至PC端，借助軟件與技術(shù)，作可視化或抽象化處理，反饋到學(xué)習(xí)者，并積累入庫(kù)。庫(kù)與庫(kù)之間，共創(chuàng)、共生、共享、共贏，服務(wù)于教學(xué)。入庫(kù)后，任何時(shí)段，學(xué)習(xí)者或教研者都可鏈接庫(kù)，檢索（如“凸多邊形外角和”“正三角形內(nèi)任意點(diǎn)到三邊的距離和等于正三角形的高的證明”“檢驗(yàn)”“演唱技巧”等），即可調(diào)用資源，進(jìn)行教研或?qū)W習(xí)。

當(dāng)庫(kù)滿足學(xué)習(xí)者需求，學(xué)習(xí)者只需通過(guò)設(shè)備與網(wǎng)絡(luò)，訪問(wèn)庫(kù)，檢索關(guān)鍵詞，選擇適當(dāng)資源，即可個(gè)性化學(xué)習(xí);如庫(kù)暫時(shí)無(wú)法滿足需求，可通過(guò)尋求教研者幫助，共建庫(kù)，以滿足學(xué)習(xí)者需求，共享共贏。通過(guò)庫(kù)與庫(kù)的鏈接，構(gòu)建更大庫(kù)，擴(kuò)大資源數(shù)量與覆蓋面。學(xué)習(xí)者可為教研者，教研者可為學(xué)習(xí)者，相輔相成，共建共生。

三、數(shù)形可視化典型案例與效果分析

（一）凸多邊形外角和360°的證明

筆者通過(guò)實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)形可視化，利用Geogebra軟件，呈現(xiàn)三角形、四邊形、五邊形、六邊形等凸多邊形的外角（可隨意改變多邊形的邊長(zhǎng)與形狀），利用函數(shù)，顯示多邊形每個(gè)外角的度數(shù)以及求和結(jié)果。筆者設(shè)置可控制條，拉動(dòng)多邊形外角的邊（可逆，往外或往內(nèi)），逐步將多邊形拉緊，直到多邊形變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)，多邊形外角和形成一個(gè)周角360°（如圖1）。筆者借助軟件進(jìn)行直觀演示，引發(fā)學(xué)生思考：“凸多邊形外角和是否都是360°？”

學(xué)生這是通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察，猜想：多邊形的外角和等于360°。筆者接下來(lái)給出它的數(shù)學(xué)證明，讓學(xué)生明白“凸多邊形外角和360°”本質(zhì)上是三角形的內(nèi)角和等于180°，多邊形與圓有著密切的聯(lián)系。

凸邊形的內(nèi)角和等于（-2）×180°。凸邊形每一條邊都存在1個(gè)內(nèi)角和1個(gè)外角，且該內(nèi)角和外角組成平角（180°）。

1.在三角形中：3個(gè)內(nèi)角+3個(gè)外角=3個(gè)平角[三角形內(nèi)角和（3-2）×180°=180°]。

180°+外角和=3×180°=540°，故外角和為360°。

2.在四邊形中：4個(gè)內(nèi)角+4個(gè)外角=4個(gè)平角[四邊形內(nèi)角和（4-2）×180°=360°]。

360°+外角和=4×180°=720°，故外角和為360°。

3.在五邊形中：5個(gè)內(nèi)角+5個(gè)外角=5個(gè)平角[五邊形內(nèi)角和（5-2）×180°=540°]。

540°+外角和=5×180°=900°，故外角和為360°。

……

證明是基于凸多邊形內(nèi)角和進(jìn)行的。筆者在證明過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生從三角形開(kāi)始，逐漸推廣到四邊形、五邊形……隨著凸多邊形邊數(shù)增加，圖形和證明都趨于復(fù)雜，學(xué)生需要具備一定的空間思維和邏輯思維才能推進(jìn)。筆者通過(guò)數(shù)形可視化控制條，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)形可視化中圖形的變化，逐步證明猜想：凸邊形的所有內(nèi)角、外角之和為×180°。即在凸邊形中，內(nèi)角和+外角和=×180°。故，凸多邊形外角和為360°。

（二）“正三角形內(nèi)任意點(diǎn)到三邊的距離和等于正三角形的高”的證明

實(shí)驗(yàn)：正三角形內(nèi)任意點(diǎn)到三邊的距離和等于正三角形的高。筆者利用Hawgent軟件，在直角坐標(biāo)系中，任意建構(gòu)一個(gè)正三角形，利用函數(shù)顯示三角形的高，在正三角形中定一個(gè)任意點(diǎn)（帶坐標(biāo)），作點(diǎn)到三邊的垂線段（用不同顏色表示），利用函數(shù)計(jì)算出垂線段的距離、、，作對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)顏色表示）并立于正三角形邊上，顯示++=，與相等。

利用Flash制作證明過(guò)程動(dòng)畫(huà)（循環(huán)可逆）。以為頂點(diǎn)，以、、為高，作三個(gè)小正三角形，則上面兩個(gè)小正三角形底邊處在同一直線上;過(guò)直線切正三角形得正三角形;翻轉(zhuǎn)，把正三角形變?yōu)檎切?同理，翻轉(zhuǎn)把正三角形變?yōu)檎切?，將三個(gè)小正三角形往中間對(duì)齊，其高、、連成正三角形（同：正三角形）的高（如圖2）。

通過(guò)這樣的實(shí)驗(yàn)、觀察，學(xué)生進(jìn)行猜想，進(jìn)而得出結(jié)論。為了進(jìn)一步提升學(xué)生的理性思維，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“正三角形的面積始終保持不變，可以得到垂線段的和保持不變”進(jìn)行證明。

證明1：設(shè)正三角形高為，邊長(zhǎng)為，面積為，為正三角形中任一點(diǎn)，到三邊的距離分別為、、，連接、、，得

=S++

故，++。

證明2：設(shè)正三角形高為，為正三角形中任一點(diǎn)，到三邊的距離分別為、、，過(guò)點(diǎn)作平行于底邊線段，載得正三角形和等腰梯形，則等腰梯形高為;翻轉(zhuǎn)正三角形，使得點(diǎn)落在正三角形邊上（用點(diǎn)表示），過(guò)點(diǎn)載得正三角形和等腰梯形，等腰梯形高為，正三角形高為。

正三角形由等腰梯形、等腰梯形、正三角形三部分組成，故，++。

筆者進(jìn)行數(shù)形可視化教學(xué)——凸多邊形的外角和證明過(guò)程可視化、可控可操，高效可逆。在整個(gè)證明過(guò)程中，避開(kāi)了煩瑣的用大串文字符號(hào)證明的過(guò)程，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)高效轉(zhuǎn)變?yōu)榭煽乜刹僮鞯膭?dòng)畫(huà)，通過(guò)簡(jiǎn)短的解釋說(shuō)明，高效完成教學(xué)任務(wù)，提高教學(xué)效益。

（三）教學(xué)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)形可視化應(yīng)用

筆者利用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件，做了一份獨(dú)立樣本檢驗(yàn)?zāi)０澹〝?shù)據(jù)可變），標(biāo)簽為“兩組、獨(dú)立樣本、檢驗(yàn)”，做了一份配對(duì)樣本檢驗(yàn)?zāi)０澹〝?shù)據(jù)可變），標(biāo)簽為“兩組、配對(duì)樣本、檢驗(yàn)”，入庫(kù)以供教學(xué)之用。學(xué)習(xí)者或教研者下載模板，填入數(shù)據(jù)，即可得到檢驗(yàn)結(jié)果。如此進(jìn)行數(shù)形可視化教學(xué)，數(shù)據(jù)的分析過(guò)程可視化、可控可操，高效可逆。教研者并不需掌握SPSS統(tǒng)計(jì)軟件，亦可從檢測(cè)結(jié)論中判斷數(shù)據(jù)的優(yōu)劣。

（四）音樂(lè)教學(xué)的數(shù)形可視化

1. 高位置強(qiáng)音演唱技巧（中職學(xué)前教育聲樂(lè)）

筆者利用3DMAX軟件，構(gòu)建腔體發(fā)聲技巧3D全息系統(tǒng)。筆者設(shè)置控制條，配置3D全息魔盒（設(shè)備），通過(guò)3D旋轉(zhuǎn)多維直觀呈現(xiàn)發(fā)聲時(shí)腔體內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使抽象化的發(fā)聲技巧可視化。學(xué)習(xí)者邊唱邊觀察，根據(jù)歌曲難度，個(gè)性化地進(jìn)行3D全息演示，有效突破課程重難點(diǎn)。對(duì)于歌唱腔體發(fā)聲技巧，筆者通過(guò)全息演示實(shí)現(xiàn)數(shù)形可觀化，標(biāo)簽為“歌唱、腔體、發(fā)聲技巧”，入庫(kù)，以供學(xué)習(xí)者模仿感知、理論化歸。

例如，歌曲《桑塔露琪亞》需在高位置強(qiáng)音演唱樂(lè)句。前面的“快來(lái)吧”3個(gè)音標(biāo)有強(qiáng)音演唱記號(hào)“>”——表示在演唱時(shí)，口腔上口蓋充分抬起，舌位放平，留有足夠的空間，咬字時(shí)，一步到位，不做過(guò)多歸韻。通過(guò)全息模擬，學(xué)習(xí)者可直觀口腔內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化，進(jìn)而理解專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，通過(guò)模仿或化歸，提高學(xué)習(xí)效益。

2. 八度音演唱技巧（中職學(xué)前教育聲樂(lè)）

筆者利用動(dòng)畫(huà)軟件，模擬聲音運(yùn)動(dòng)軌跡，制作八度音演唱工具，并設(shè)計(jì)了控制條。筆者用飛機(jī)滑翔法和火箭升空法分別呈現(xiàn)抒情性歌唱性強(qiáng)的樂(lè)句和歡快跳躍性強(qiáng)的樂(lè)句。通過(guò)動(dòng)畫(huà)控制與演示，現(xiàn)實(shí)抽象的聲音運(yùn)動(dòng)軌跡具體化，可逆轉(zhuǎn)換，高效提升教學(xué)效益。例如，用抒情性八度音演唱練習(xí)曲。筆者用“飛機(jī)滑翔法”，使氣息從低音到高音的準(zhǔn)備過(guò)程可控、可逆、演示，幫助學(xué)習(xí)者掌握抒情性八度音演唱技巧。以此實(shí)現(xiàn)數(shù)形可觀化，標(biāo)簽為“抒情性、八度音、演唱技巧、飛機(jī)滑翔”，入庫(kù)，以供學(xué)習(xí)者模仿感知、理論化歸（如圖3）。

再如，用歡快跳躍性八度音演唱練習(xí)曲。筆者利用“火箭法”，使氣息從低音（提前準(zhǔn)備，快速安放）直沖高音（一步到位）的過(guò)程可控、可逆、演示，幫助學(xué)習(xí)者掌握歡快跳躍性八度音演唱技巧。以此實(shí)現(xiàn)數(shù)形可觀化，標(biāo)簽為“歡快、跳躍、八度音、演唱技巧、火箭”，入庫(kù)，供學(xué)習(xí)者模仿感知、理論化歸。

數(shù)形可視化，可使歌唱過(guò)程可視化、具體化、模型化。動(dòng)畫(huà)（可逆）演示，代入感強(qiáng)，學(xué)生容易效仿，有利于高效掌握演唱技巧。這是一種有效的思維表達(dá)方法，但并非所有的知識(shí)點(diǎn)都適合采用數(shù)形可視化教學(xué)。教師應(yīng)用數(shù)形可視化應(yīng)當(dāng)以“減負(fù)”為出發(fā)點(diǎn)，遵從認(rèn)知規(guī)律，牢記兩個(gè)中心，追求“利、逆、高”發(fā)展理念，提高“學(xué)與教”的效率。

信息技術(shù)高速發(fā)展，數(shù)與形的分界已經(jīng)模糊，許多學(xué)科都衍變成“數(shù)形”綜合體，數(shù)與形也不再局限于數(shù)學(xué)學(xué)科。在互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能、軟件平臺(tái)的支持下，數(shù)形可視化必將成為智能化時(shí)代“學(xué)與教”的主流思想，其在“學(xué)與教”中的應(yīng)用將更受青睞。筆者在數(shù)學(xué)與音樂(lè)學(xué)科中將知識(shí)以數(shù)形可視化的方法進(jìn)行了具體化呈現(xiàn)。在教學(xué)中，學(xué)生更加有效地理解了學(xué)科知識(shí)的內(nèi)涵，能夠利用相應(yīng)軟件工具進(jìn)行個(gè)人知識(shí)的數(shù)形可視化表達(dá)。借用該思想，在教學(xué)中教師應(yīng)按數(shù)形可視化的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與教學(xué)實(shí)施策略進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以數(shù)形可視化聚焦教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，支撐教師的有效教學(xué)與學(xué)生的有效理解?？傊瑪?shù)形可視化是一種有效的表達(dá)工具和教學(xué)方式，也是一種有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維的訓(xùn)練模式，對(duì)難點(diǎn)知識(shí)的呈現(xiàn)有應(yīng)用價(jià)值與研究意義。

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（作者王統(tǒng)增系廣東省東莞市商業(yè)學(xué)校高級(jí)講師;馮琦系廣東省東莞市商業(yè)學(xué)校講師）

責(zé)任編輯：祝元志