初中數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題是一個(gè)開放性、綜合性很強(qiáng)的問題，范圍廣泛，是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，同時(shí)也是教師的教學(xué)難點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)問題蘊(yùn)含的幾何模型、思想方法值得教師深入研究。如何呈現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)軌跡連續(xù)變化過程，讓學(xué)生頭腦中想象的圖形得以外顯？教師可以借助可視化工具加以實(shí)現(xiàn)。

一、動(dòng)態(tài)幾何軟件和微專題教學(xué)

（一）工具及其應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

GeoGebra是新一代動(dòng)態(tài)幾何軟件，具備強(qiáng)大的數(shù)學(xué)研究和教學(xué)展示功能。該軟件的界面分為三個(gè)主要操作區(qū)，即代數(shù)區(qū)、幾何區(qū)和表格區(qū)。該軟件在演示幾何和代數(shù)同步變化方面更具有優(yōu)勢(shì)，可以同時(shí)呈現(xiàn)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)變化。越來越多的研究者將該軟件應(yīng)用于幾何教學(xué)、函數(shù)問題探究中，在探究動(dòng)態(tài)問題方面研究較為深入。黃晨璐和張維忠應(yīng)用該軟件設(shè)計(jì)了一些課例，如二次函數(shù)、勾股定理、圓周角定理等;李樂則采用實(shí)驗(yàn)研究法，驗(yàn)證了在動(dòng)態(tài)問題的教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra可以優(yōu)化教學(xué)效果。

旋轉(zhuǎn)變換的主從聯(lián)動(dòng)問題在已有研究成果中非常少見，在教學(xué)過程中也沒有得到足夠的關(guān)注，尤其這類問題中的線段最值問題，還沒有形成系統(tǒng)的問題解決方法。為更加深入地研究線段最值問題，筆者借助軟件的可視化功能進(jìn)行專題設(shè)計(jì)，理清研究思路，歸納有效的問題解決方法。

（二）微專題教學(xué)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)的微專題教學(xué)是選擇一個(gè)核心問題作為研究課題，以專題的形式從問題或知識(shí)的基本形式開始，9wy+NU9RlNBgwkKNp8znZw==沿一條清晰的脈絡(luò)由淺入深、循序漸進(jìn)地教學(xué)。其中，選擇的核心問題可以是某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也可以是某種題型或某種解題方法。

從知識(shí)結(jié)構(gòu)方面來看，微專題的劃分沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，在一個(gè)微專題下還可以繼續(xù)細(xì)化，形成包含更小的微專題。教師需要圍繞核心問題，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，選擇適當(dāng)?shù)膬?nèi)容和適宜的深度對(duì)微專題進(jìn)行設(shè)計(jì)，旨在使不同層次的學(xué)生能夠參與到教與學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生在已有的知識(shí)水平基礎(chǔ)上提升學(xué)習(xí)能力以及對(duì)問題的分析能力^[1]。

二、旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)微專題設(shè)計(jì)思路

初中數(shù)學(xué)中的線段最值問題很常見，如最短路徑問題，又如利用軸對(duì)稱和線段轉(zhuǎn)化解決問題，再如函數(shù)背景下的線段最值問題，師生可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，將線段長(zhǎng)表示成函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解決問題。教師解決常見的線段最值問題基本上形成了比較成熟的方法。然而，旋轉(zhuǎn)變換的主從聯(lián)動(dòng)問題對(duì)于大多數(shù)人來說略顯陌生，事實(shí)上在多地中考試題中都有它的身影，但少有研究者探尋此類問題的解法。筆者選擇這一核心問題，設(shè)計(jì)微專題，初步探索此類問題的常規(guī)解法。

（一）研究問題

旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)中典型的圖形變換。旋轉(zhuǎn)有如下性質(zhì)：①旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等;②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段相等;③對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角相等，且為旋轉(zhuǎn)角。

若在旋轉(zhuǎn)變換中融合探究動(dòng)點(diǎn)問題，則還可得到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的特征（如圖1），點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，∠=，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這就是典型的旋轉(zhuǎn)變換。若此時(shí)點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是由點(diǎn)決定的，此時(shí)點(diǎn)稱為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)稱為從動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)是同時(shí)運(yùn)動(dòng)的，稱之為主從聯(lián)動(dòng)。在這種情況下，由于在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，每個(gè)點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，都會(huì)有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。因而，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡完全相同。若點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)也沿直線運(yùn)動(dòng)，并且從起始點(diǎn)到終止點(diǎn)形成的路徑相等;若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓，兩個(gè)圓的半徑相等，并且兩圓心與旋轉(zhuǎn)中心所連線段夾角是旋轉(zhuǎn)角。

（二）設(shè)計(jì)思路

根據(jù)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論和建構(gòu)主義理論，學(xué)生憑借自身的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)問題情境的直觀感受進(jìn)行學(xué)習(xí)，才易于理解并記憶知識(shí)，利于今后在類似的情境進(jìn)行正向的知識(shí)遷移，培養(yǎng)自主探究能力以勝任獨(dú)立研究工作^[2]。視聽教學(xué)理論提出的核心“經(jīng)驗(yàn)之塔”將學(xué)生從學(xué)習(xí)中獲得的經(jīng)驗(yàn)由“具體”到“抽象”分為做的經(jīng)驗(yàn)、觀察的經(jīng)驗(yàn)和抽象的經(jīng)驗(yàn)三個(gè)層次。在學(xué)校教育中，教師應(yīng)用各種教學(xué)媒體，可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)感更好，從而獲得更強(qiáng)的抽象思維能力。位于塔中層的視聽媒體，較語(yǔ)言、視覺符號(hào)，能為學(xué)生提供更具體和易于理解的經(jīng)驗(yàn)。換句話說，利用各種軟件（或媒體）教學(xué)，可以更好地幫助學(xué)生建構(gòu)抽象符號(hào)所表達(dá)的知識(shí)。

根據(jù)上述理論，筆者沿兩條主線對(duì)旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題中的線段最值問題進(jìn)行微專題設(shè)計(jì)（如圖2）。顯性層面，學(xué)生從初步認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題的基本模型結(jié)構(gòu)，到能夠直接應(yīng)用該模型的結(jié)論解決簡(jiǎn)單問題，最終提升到能夠掌握解決這一類問題的方法。隱性層面，教師設(shè)計(jì)微專題時(shí)要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累：首先，讓他們積累“觀察”的經(jīng)驗(yàn)，通過觀察尋找共同點(diǎn)，初步認(rèn)識(shí)模型;進(jìn)而，積累“做”的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)在問題中找到模型并應(yīng)用模型，體會(huì)動(dòng)態(tài)圖形運(yùn)動(dòng)的連續(xù)過程;最后，積累“抽象”的經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)這一類問題解決方法的抽象模型，并運(yùn)用它解決遇到的新問題。

上述兩個(gè)層面的微專題教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，可以基于軟件來完成。教師可利用軟件將動(dòng)點(diǎn)問題連續(xù)動(dòng)態(tài)地加以呈現(xiàn)，再化動(dòng)為靜，化繁為簡(jiǎn)，從中找出基本模型。教師通過由淺入深的問題引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)相關(guān)方法逐步了解。在軟件的支持下，顯性和隱性這兩條主線相互促進(jìn)，從而使學(xué)生在微專題的學(xué)習(xí)過程中，達(dá)成提升學(xué)習(xí)能力、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、習(xí)得思想方法的目標(biāo)。

三、旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)微專題設(shè)計(jì)案例

關(guān)于線段最值問題，學(xué)生已掌握幾種常見的判斷何時(shí)取得線段最值的方法。例如：垂線段最短;兩點(diǎn)之間線段最短，以及以此為依據(jù)的三角形三邊關(guān)系;圓內(nèi)（外）一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)所連線段的最值關(guān)鍵點(diǎn)是該點(diǎn)與圓心所連直線與圓形成的兩個(gè)點(diǎn)。在微專題的各環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，筆者根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)，進(jìn)一步探索“旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題中的線段最值問題”該如何解決。

（一）探尋軌跡，提煉模型——借助軟件發(fā)展幾何直觀

【例1】如圖3所示，已知邊長(zhǎng)為6的等邊Δ中，是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)度。

上述題目是典型的旋轉(zhuǎn)變換的主從聯(lián)動(dòng)問題，主動(dòng)點(diǎn)是，從動(dòng)點(diǎn)是，且運(yùn)動(dòng)軌跡為直線。在此環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了如下兩項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)。

【活動(dòng)1】教師出示題目，讓學(xué)生思考一系列問題：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受哪個(gè)點(diǎn)影響？點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣的？線段何時(shí)取得最小值？

教師通過提問讓學(xué)生明確點(diǎn)和點(diǎn)的密切聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生思考。為探尋軌跡，教師讓學(xué)生選取任意的3個(gè)或多個(gè)點(diǎn)的位置，用軟件實(shí)時(shí)呈現(xiàn)相應(yīng)的點(diǎn)的位置，嘗試觀察點(diǎn)可能的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖4）。

【活動(dòng)2】通過活動(dòng)1，學(xué)生能夠猜想點(diǎn)的軌跡是一條直線。為驗(yàn)證猜想，教師用軟件追蹤點(diǎn)的軌跡，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)過程。

通過這兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)知道點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，但對(duì)于旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題認(rèn)識(shí)并不清晰。此環(huán)節(jié)，教師使用一連串的問題引導(dǎo)學(xué)生提取關(guān)鍵信息。問題串預(yù)設(shè)如下：①點(diǎn)從何而來？點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)由哪個(gè)點(diǎn)觸發(fā)？②點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)？③在點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，哪些點(diǎn)、線段、角是不變的？④你能提取與運(yùn)動(dòng)過程有關(guān)的基本結(jié)構(gòu)嗎？

這一連串提問旨在引導(dǎo)學(xué)生通過思考剔除無關(guān)信息，提煉基本的旋轉(zhuǎn)主從聯(lián)動(dòng)模型。

當(dāng)學(xué)生有了清晰的認(rèn)識(shí)后，教師借助軟件再次呈現(xiàn)：主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓、拋物線、雙曲線等其他形狀時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡同樣在發(fā)生變化。教師通過這種動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題的基本模型和基本結(jié)論。

初中階段，動(dòng)點(diǎn)軌跡多為直線和圓，因此要特別關(guān)注主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓的背景下，主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)的圓心之間的關(guān)系，為后面的變式練習(xí)作鋪墊。

此環(huán)節(jié)是學(xué)生初步認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)模型的基本結(jié)構(gòu)和結(jié)論的起點(diǎn)。教師借助軟件，進(jìn)行直觀展示，讓學(xué)生積累“觀察的經(jīng)驗(yàn)”。

（二）應(yīng)用模型，解法初探——借助軟件清晰演示

完成前面環(huán)節(jié)的教學(xué)后，教師引導(dǎo)學(xué)生用相應(yīng)的結(jié)論嘗試解題。既然已經(jīng)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡是一條直線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可以畫出點(diǎn)的軌跡。由于點(diǎn)是定點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)垂直于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，線段取得最小值（如圖5）。

教師利用軟件將點(diǎn)移動(dòng)到取得最小值的位置后，繼續(xù)下一階段的解題。易證Δ≌Δ（SAS），可知∠=30°，又由=3，=3 ，易求== ，故當(dāng)取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為。

這一環(huán)節(jié)是對(duì)模型的第一次應(yīng)用，并且將線段的最值問題劃歸到學(xué)生熟悉的垂線段最短問題，讓學(xué)生初步積累“做的經(jīng)驗(yàn)”。

（三）再探本質(zhì)，解法進(jìn)階——借助軟件變化條件

仔細(xì)思考本題的解法，學(xué)生可能會(huì)提出質(zhì)疑 ：連接，通過證明Δ ≌Δ ，發(fā)現(xiàn)，既然∠是一個(gè)定角，那么點(diǎn)自然是在一條直線上運(yùn)動(dòng)，從這一角度也可以解決這個(gè)問題。

此時(shí)，是對(duì)模型本質(zhì)深入探究的最佳時(shí)機(jī)。此題的全等結(jié)論是基于等邊三角形的內(nèi)角是60°，旋轉(zhuǎn)角也是60°才可證的。若旋轉(zhuǎn)角改變度數(shù)，則無法通過這種方法求解。此時(shí)，教師用軟件變化題目條件，將旋轉(zhuǎn)角變?yōu)?0°，讓學(xué)生觀察此種解法的局限性。

教師帶領(lǐng)學(xué)生再思考。旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題，根本是旋轉(zhuǎn)，可以通過旋轉(zhuǎn)去轉(zhuǎn)化線段，再解決最值問題。教師提取題目中的關(guān)鍵信息“以點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)”“使線段取得最小值”此時(shí)將二者信息組合，形成Δ，這里僅有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將該三角形繞旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°（即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)），目的是將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)回起始位置（即與點(diǎn)重合），旋轉(zhuǎn)后的三角形為Δ，且點(diǎn)為中點(diǎn)。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，=，問題就轉(zhuǎn)化成：點(diǎn)為定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，線段的長(zhǎng)度取得最小值，根據(jù)垂線段最短，易知點(diǎn)的位置，求長(zhǎng)度（如圖6）。

此環(huán)節(jié)，教師從學(xué)生存疑的地方切入，引導(dǎo)學(xué)生抓住這一模型的本質(zhì)（旋轉(zhuǎn)），掌握解決這類最值問題的通法。拋開動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，將問題回歸到垂線段最短的類型，讓學(xué)生積累“抽象的經(jīng)驗(yàn)”。

（四）變式練習(xí)，掌握方法——借助軟件突破難點(diǎn)

在解題過程中，除了運(yùn)動(dòng)軌跡為直線的問題，更為常見的是軌跡為圓的問題，對(duì)初中生來說，探究軌跡圓在構(gòu)圖、繪圖、識(shí)圖上都存在一定困難。教師用軟件很好地呈現(xiàn)軌跡圓，更好地幫助學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題，并利用相應(yīng)的結(jié)論很好地解決問題，突破難點(diǎn)。

【例2】如圖7所示，正方形中，=，是邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，=2，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，連接、。求線段長(zhǎng)的最小值。

此題是典型的旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題，定點(diǎn)為，主動(dòng)點(diǎn)為，從動(dòng)點(diǎn)為。由于為定值，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且<，故此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓。根據(jù)模型的結(jié)論，可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再求得線段長(zhǎng)的最小值。

在教學(xué)過程中，教師設(shè)計(jì)了如下教學(xué)活動(dòng)。

【活動(dòng)1】教師出示題目，請(qǐng)學(xué)生找出題中的旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)模型，并根據(jù)條件判斷主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，畫出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

設(shè)計(jì)這一活動(dòng)是為了讓學(xué)生從復(fù)雜的問題中提煉基本的模型再進(jìn)行分析。學(xué)生在繪圖過程中存在一定的困難，此時(shí)教師用軟件幫助學(xué)生畫出動(dòng)點(diǎn)軌跡，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓的關(guān)鍵要素——圓心和半徑，從而確定位置。由于不是完整的軌跡圓，學(xué)生需要關(guān)注主動(dòng)點(diǎn)的起始、終止位置以及某個(gè)途經(jīng)位置，確定真正的軌跡（如圖8）。

【活動(dòng)2】完成上面的活動(dòng)后，由學(xué)生嘗試解題，再次引導(dǎo)學(xué)生思考：能否仿照例1，思考進(jìn)階解法，抓住問題本質(zhì)，用旋轉(zhuǎn)的方法解決例2？

在前面的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生解決了動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線的問題，對(duì)于例2仿照例1，進(jìn)行模型的直接應(yīng)用，又引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)，用通法加以解決。這樣做是為了引導(dǎo)學(xué)生深入理解，不管運(yùn)動(dòng)軌跡如何，旋轉(zhuǎn)的主從聯(lián)動(dòng)問題本質(zhì)在于旋轉(zhuǎn)。根據(jù)例1的進(jìn)階解法，可知只需要將所要求最值的線段與旋轉(zhuǎn)中心，組合成Δ，并將此三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（即旋轉(zhuǎn)角度數(shù)），使旋轉(zhuǎn)后的與重合，即可將所要求的線段的最值問題轉(zhuǎn)化成的最值問題（如圖9）。

師生通過旋轉(zhuǎn)變換，就可以將看似復(fù)雜的線段最值問題轉(zhuǎn)化成熟悉的三角形三邊關(guān)系求最值問題，當(dāng)三角形三邊共線時(shí)取得最值，從而解決問題。教師通過這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完整。

初中數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題是教學(xué)難點(diǎn)，教師在教學(xué)中如果只是就題論題，以解題為最終目標(biāo)，很難讓學(xué)生參透本質(zhì)、舉一反三，也不易獲得理想的教學(xué)效果。教師在解題教學(xué)中采用微專題的形式，幫助學(xué)生用一條主線串起零散的問題是很有必要的。對(duì)于一些動(dòng)態(tài)問題，教師在微專題的設(shè)計(jì)中要注重可視化技術(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生從“看得見”的問題開始，逐步掌握抽象的符號(hào)知識(shí)和模型結(jié)構(gòu)。實(shí)踐證明，應(yīng)用專業(yè)軟件貫穿動(dòng)點(diǎn)問題的解題教學(xué)過程，可以直觀呈現(xiàn)學(xué)生不易想象的動(dòng)態(tài)軌跡，提升學(xué)生的參與度，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，使課堂更加“精彩”。

注：本文系國(guó)家出版融合重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、人教數(shù)字教育研究院規(guī)劃課題“GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：RJB0220004）研究成果。

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[2] 劉蕙萱.運(yùn)用GeoGebra軟件輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)效果研究[D].南昌：南昌大學(xué)，2014.

（作者胡璽舜、佘文娟系天津師范大學(xué)濱海附屬學(xué)校教師）

責(zé)任編輯：祝元志