○姜 澤

（作者單位：天津市河?xùn)|區(qū)益壽里小學(xué)）

《分?jǐn)?shù)的意義》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第四單元的內(nèi)容。從三年級(jí)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》到五年級(jí)《分?jǐn)?shù)的意義》，相隔兩年的學(xué)習(xí)時(shí)間，學(xué)生是否會(huì)遺忘已學(xué)知識(shí)點(diǎn)？處于兩個(gè)學(xué)段交匯點(diǎn)的本單元，在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中處于承上啟下的重要位置。

若聚焦分?jǐn)?shù)的意義建構(gòu)，筆者認(rèn)為應(yīng)基于學(xué)生分析學(xué)習(xí)路徑，以單元整體教學(xué)視角重構(gòu)課時(shí)目標(biāo)，通過課堂學(xué)習(xí)培養(yǎng)數(shù)感，深化學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解。

一、由教學(xué)現(xiàn)象引發(fā)教法困惑

教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義時(shí)看不到學(xué)生的困惑，學(xué)生也似乎順利形成了分?jǐn)?shù)概念，但在后續(xù)分?jǐn)?shù)運(yùn)算和解決實(shí)際問題時(shí)卻出現(xiàn)了困難。

學(xué)生做題時(shí)習(xí)慣套用教師給出的解題方法：抓關(guān)鍵句→找單位“1”→求什么→量率對(duì)應(yīng)，可是題目稍有變化就無從下手。我們需要思考：出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是什么？學(xué)生有自己的解題方法嗎？這樣的方法真的是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)積累和策略提煉嗎？

要幫助學(xué)生克服認(rèn)知困難，關(guān)鍵還是真正理解分?jǐn)?shù)的意義。那么問題來了，分?jǐn)?shù)的意義到底是什么？學(xué)生的已有認(rèn)知如何？學(xué)生需要理解什么？設(shè)計(jì)怎樣的活動(dòng)能夠促進(jìn)學(xué)生的理解？學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解如何加深？

二、從編排設(shè)計(jì)重新審視教材

問題的產(chǎn)生讓我再次翻閱教材，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排設(shè)計(jì)是：

第一，三年級(jí)上冊(cè)安排《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》，組織學(xué)生通過動(dòng)手操作，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，了解分?jǐn)?shù)的各部分名稱、讀寫法，知道“把一個(gè)圖形、一個(gè)物體或一個(gè)計(jì)量單位平均分成若干份，這樣的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)來表示”。

第二，五年級(jí)下冊(cè)安排《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的跨越，從分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等不同維度，完整地建構(gòu)分?jǐn)?shù)的概念。

第三，同冊(cè)安排《分?jǐn)?shù)的加減法》，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的簡單運(yùn)算。

第四，六年級(jí)上冊(cè)安排《分?jǐn)?shù)乘法》和《分?jǐn)?shù)除法》，完成小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)。

由此可見，數(shù)學(xué)知識(shí)螺旋上升的編排特點(diǎn)，在分?jǐn)?shù)內(nèi)容的表現(xiàn)尤為突出。

具體到五年級(jí)下冊(cè)的《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》單元，主要包括分?jǐn)?shù)的意義（含分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生）、真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)（含帶分?jǐn)?shù)，即分?jǐn)?shù)的分類）、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（及其應(yīng)用——約分和通分）、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化等內(nèi)容。

重新審視教材，我的思考是：可否從單元整體教學(xué)的視角出發(fā)，以多個(gè)課時(shí)對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)的多種意義呢？應(yīng)該如何實(shí)施課堂教學(xué)呢？

三、以整體視角重構(gòu)課時(shí)目標(biāo)

進(jìn)一步來看，出現(xiàn)在五年級(jí)下冊(cè)的“分?jǐn)?shù)”到底應(yīng)該怎樣定義呢？確定怎樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)才能深化學(xué)生的理解呢？這是我重構(gòu)時(shí)主要思考的問題。

我們可以從以下四個(gè)方面幫助學(xué)生完成對(duì)分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)。

比——即部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間的關(guān)系；

測量——可將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果，即按照一定測量單位所測得的量；

運(yùn)算——將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程；

商——指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果，它使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)由“過程”凝聚為“對(duì)象”，即分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，也可以和其他數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。

筆者認(rèn)為，不妨基于學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)路徑分析，以單元整體視角重構(gòu)教學(xué)，以不同課時(shí)側(cè)重不同意義來推進(jìn)課堂實(shí)施，幫助學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義。故此，我對(duì)《分?jǐn)?shù)的意義》一課的教學(xué)目標(biāo)預(yù)設(shè)如下：

1.知識(shí)技能：通過了解分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，在原有初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步感受并理解分?jǐn)?shù)的意義，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象概括能力。

2.數(shù)學(xué)思考：在自主探究與合作學(xué)習(xí)中理解“單位1”的含義，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位，并能說明一個(gè)分?jǐn)?shù)中包含幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位。

3.問題解決：在理解分?jǐn)?shù)意義的過程中，培養(yǎng)學(xué)生處理信息和直觀想象的能力，滲透數(shù)形結(jié)合、歸納等數(shù)學(xué)思想方法。

4.情感態(tài)度：依托數(shù)學(xué)活動(dòng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，借助分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)培養(yǎng)數(shù)感，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、基于分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)策略

我的整體構(gòu)想是，遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，突破學(xué)生的認(rèn)知障礙，只為學(xué)生提供熟悉簡潔且相對(duì)單一的情境（依托紙牌開展拼擺、圈畫、分合、說寫等），采用多元表征方式促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

具體說來就是，沿著分?jǐn)?shù)因均分而產(chǎn)生和形成的軌跡，感知分?jǐn)?shù)的意義；經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，基于整數(shù)→單位“1”→分?jǐn)?shù)的邏輯關(guān)系，演繹單位“1”的不同含義——把一個(gè)物體（圖形或計(jì)量單位）視為一個(gè)整體即單位“1”→把多個(gè)物體（圖形或計(jì)量單位）視為一個(gè)整體即單位“1”→把多組物體視為一個(gè)整體即單位“1”，重在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)和內(nèi)化。

五、教學(xué)實(shí)踐及思考

（一）復(fù)現(xiàn)分?jǐn)?shù)，喚醒分?jǐn)?shù)的認(rèn)知。

小結(jié)：一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位都可以看作一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分成4份，這樣的一份就是它的。

引導(dǎo)學(xué)生直接說明對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，主要是了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，尋找并確定教學(xué)起點(diǎn)。由此發(fā)現(xiàn)：學(xué)生已有對(duì)“把一個(gè)物體（或圖形等）平均分”的認(rèn)識(shí)，但尚未建立起“把一個(gè)整體平均分”的認(rèn)識(shí)。

（二）發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)，建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義。

鑒于本課選擇了從部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)，故我采取分步推進(jìn)的教學(xué)方式，幫助學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上建構(gòu)，在建構(gòu)的過程中提升思維能力。

（學(xué)生拿出一張牌。）

師（質(zhì)疑）：這是一張牌，應(yīng)該用數(shù)字“1”來表示，為什么說它是呢？

師（指其中的另一張牌）：不簡單，那這張呢？

……

小結(jié)：把8張牌看作一個(gè)整體，平均分成4份，其中的一份占這個(gè)整體的。

……

師：兩個(gè)“整體”不同，看來“整體”很重要。數(shù)學(xué)上，一個(gè)整體可以用自然數(shù)1來表示，我們通常把它叫做單位“1”。為什么叫單位“1”呢？

師生達(dá)成共識(shí)：現(xiàn)在我們眼中的“1”已經(jīng)發(fā)生了質(zhì)的變化，它不再是一個(gè)單純的自然數(shù)，而變成了一個(gè)整體。

（結(jié)合學(xué)生嘗試和說明，師生判斷評(píng)價(jià)，分析這些分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)。）

小結(jié)：分?jǐn)?shù)雖然不同，但整體（即單位“1”）相同，都是把這個(gè)整體平均分成若干份，表示其中的一份或幾份。

3.把12張紙牌分一分。

課件逐步出示：學(xué)生邊操作邊說明。

生：不一定。如果分母是2，它應(yīng)該就是6張牌。

生：把這個(gè)整體（或單位“1”）平均分后，其中的一份未必只有1張。

生：它表示的是一份，不是1張。

生：不能拿。

教師組織學(xué)生思考為什么，并小結(jié)：雖然不能拿，但是我們可以把12張牌（整體或單位“1”）平均分成6份，這樣一來，每份是2張。

我選擇了學(xué)生熟悉的紙牌作為學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)他們?cè)趯ふ曳謹(jǐn)?shù)的過程中，不斷思考“為什么平均分”（單位“1”）“平均分成幾份”（分母）“取其中的幾份”（分子）等問題，理解核心概念。在自主建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義的過程中，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)和具體數(shù)量之間的關(guān)系，這也是學(xué)生以后應(yīng)用分?jǐn)?shù)意義解決實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)。

（三）建構(gòu)分?jǐn)?shù)，把握分?jǐn)?shù)的意義。

1.建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義。

師：現(xiàn)在能說說什么是分?jǐn)?shù)了嗎？

結(jié)合學(xué)生說明板書：把一個(gè)整體（或單位“1”）平均分成若干份，表示其中的一份或幾份，用分?jǐn)?shù)來表示。

2.了解分?jǐn)?shù)單位。

課件出示分?jǐn)?shù)墻（圖略）。

師：觀察這組分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？它們都表示什么？對(duì)于分?jǐn)?shù)而言，單位“1”重要嗎？把它平均分成幾份重要嗎？表示其中的幾份重要嗎？

結(jié)合學(xué)生說明小結(jié)：如此重要的三環(huán)節(jié)才構(gòu)成了分?jǐn)?shù)。

通過持續(xù)突出“均分”理解分?jǐn)?shù)單位，順應(yīng)了“度量”本質(zhì)（即被度量物體包含多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位），可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解越來越清晰。

（四）溯源分?jǐn)?shù)，感悟分?jǐn)?shù)的意義。

1.閱讀——分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)的意義。

小結(jié)：在生活或生產(chǎn)中，將物體（圖形或計(jì)量單位）平均分可以產(chǎn)生分?jǐn)?shù)；根據(jù)實(shí)際需要通過度量也可以產(chǎn)生分?jǐn)?shù)。

……

學(xué)生通過閱讀“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”，進(jìn)一步體會(huì)可將分?jǐn)?shù)理解為按照一定測量單位所測得的量，再通過感知分?jǐn)?shù)的測量（或度量）意義為后續(xù)學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。

當(dāng)然，整體把握小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要任務(wù)是設(shè)計(jì)出系列學(xué)習(xí)活動(dòng)，活動(dòng)要保持連續(xù)性。這不僅要求我們有對(duì)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考量、有對(duì)課時(shí)教學(xué)的架構(gòu)，更需要我們有對(duì)單元整體教學(xué)開展的思考與重建。

我相信，基于學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的分析開展持續(xù)的實(shí)踐探索，以單元整體教學(xué)的視角重構(gòu)課時(shí)計(jì)劃與教學(xué)目標(biāo)，有助于進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，也可以讓我們指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究走得更遠(yuǎn)和更深。

資料存盤

1.《分?jǐn)?shù)的意義》課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中指出：經(jīng)歷從日常生活中抽象出分?jǐn)?shù)的過程，能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；能讀、寫分?jǐn)?shù)，發(fā)展數(shù)感；結(jié)合具體情境，運(yùn)用分?jǐn)?shù)描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡單現(xiàn)象，體會(huì)分?jǐn)?shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用和價(jià)值；通過操作活動(dòng)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；理解分?jǐn)?shù)的意義，能解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法；理解百分?jǐn)?shù)的意義；會(huì)進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化。

2.分?jǐn)?shù)的由來。

分?jǐn)?shù)最早出現(xiàn)于古埃及的《萊因德紙草書》。2000多年前，我國開始用算籌表示分?jǐn)?shù)。我國古代有許多關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載。如《左傳》中記載，春秋時(shí)代的諸侯城池，最大不能超過周國的，中等的不得超過，小的不得超過。公元12世紀(jì)，阿拉伯人發(fā)明了分?jǐn)?shù)線，今天分?jǐn)?shù)的表示方法才由此而來。13世紀(jì)初，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契才把分?jǐn)?shù)記法傳到了歐洲。

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《通用算術(shù)》一書中說，要把7米長的一根繩子分成三等份是不可能的，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)合適的數(shù)來表示。如果我們把繩子分成三等份，每份是米。像就是一種新的數(shù)，我們把它叫做分?jǐn)?shù)。