文|周衛(wèi)東（特級(jí)教師）

“圓的面積”是“圖形與幾何”領(lǐng)域中最后一個(gè)求平面圖形面積的內(nèi)容。其教學(xué)目標(biāo)一般定位于：了解圓面積的概念，理解和掌握?qǐng)A面積的計(jì)算公式，能正確計(jì)算圓的面積；通過(guò)剪圓、拼圓等動(dòng)手操作過(guò)程，讓學(xué)生的直觀想象、動(dòng)手操作、抽象概括能力得到發(fā)展；深入理解圓的面積公式，體會(huì)圖形變化中無(wú)限逼近的極限數(shù)學(xué)思想；了解歷史上數(shù)學(xué)家推導(dǎo)圓面積公式的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

仔細(xì)閱讀兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，收獲頗多。難能可貴的是，方芳老師的設(shè)計(jì)——《在數(shù)學(xué)史中啟迪數(shù)學(xué)思想》與王小波老師的設(shè)計(jì)——《聚焦本質(zhì)，多元探索》，都能在上述基礎(chǔ)性目標(biāo)達(dá)成的前提下，還能著眼學(xué)生未來(lái)成長(zhǎng)的需要，教學(xué)生“帶得走”的數(shù)學(xué)知識(shí)，盡可能地讓基礎(chǔ)性目標(biāo)“增值”。

一、主動(dòng)學(xué)習(xí)，享學(xué)習(xí)“過(guò)程”之樂(lè)

數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)（弗賴登塔爾語(yǔ)）。小學(xué)數(shù)學(xué)中很多概念所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想是樸素的，基本上都來(lái)源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，有豐富的“生活概念”。理論上說(shuō)，學(xué)生對(duì)這些樸素思想的認(rèn)識(shí)應(yīng)該很容易接受，但為什么學(xué)生學(xué)習(xí)“課本上的數(shù)學(xué)”就有很多困難呢？一方面，這是由數(shù)學(xué)的“學(xué)科定義”導(dǎo)致的，數(shù)學(xué)的學(xué)科定義高度概括、抽象，不符合小學(xué)生的思維水平與認(rèn)知特點(diǎn)；另一方面是由于教師不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)（例如沒(méi)有“過(guò)程”的教學(xué)，不顧及學(xué)生的已有“經(jīng)驗(yàn)”和認(rèn)知發(fā)展水平的教學(xué)）導(dǎo)致的。

難能可貴的是，這兩則教學(xué)設(shè)計(jì)都能在教學(xué)的“過(guò)程”上下功夫。

1.經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程。

“新知識(shí)的建構(gòu)必須來(lái)源于已有知識(shí)，對(duì)這一教學(xué)觀的合理引申就是教師需要關(guān)注學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)給定主題時(shí)隨之帶來(lái)的不完整理解、錯(cuò)誤觀念和對(duì)概念的天真解釋。教師還需要依據(jù)這些概念來(lái)幫助每個(gè)學(xué)生達(dá)到更成熟的理解。如果忽視學(xué)生的初始概念、觀點(diǎn)，他們獲得的理解可能與教師預(yù)期的想法大相徑庭。”（《人是如何學(xué)習(xí)的》〔美〕約翰·D·布蘭思福特）“圓的面積”這一內(nèi)容相對(duì)于平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積而言，小學(xué)生會(huì)感到更為抽象、更加難以理解，因此，教學(xué)中必須要面向?qū)W生的生活實(shí)際和理解水平，為他們的經(jīng)驗(yàn)世界抹上一定的“底色”。兩則教學(xué)設(shè)計(jì)都很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn)。王小波老師在教學(xué)中安排了一個(gè)前置性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生圍繞“你能想辦法求出圓的面積嗎？把你的方法記錄下來(lái)”“在嘗試的過(guò)程中，你遇到了什么困難？”兩個(gè)問(wèn)題先行嘗試和思考，課前學(xué)習(xí)為課中的交流與分享厚積了寶貴的經(jīng)驗(yàn)。而方芳老師則在課始設(shè)計(jì)了一個(gè)“感受”性學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，出示了半徑是4、5、8 的三個(gè)圓，請(qǐng)學(xué)生數(shù)一數(shù)、填一填，求出圓的面積大約是正方形面積的幾倍，初步形成“圓的面積是正方形面積的3 倍與4 倍之間”的認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步推導(dǎo)圓面積的公式做好了知識(shí)上和思想上的準(zhǔn)備。

2.知識(shí)理解的過(guò)程。

讓學(xué)生知道“圓的面積”是怎么來(lái)的、為什么用πr 來(lái)計(jì)算，這是本節(jié)課的“概念性水平”，是對(duì)概念本質(zhì)的把握。這種理解與把握不是教師告知的，而是在沖突的狀態(tài)下，因迫切需要產(chǎn)生一種新的方法而形成的。王小波老師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在大量的“前經(jīng)驗(yàn)”的基礎(chǔ)上提煉出許多有價(jià)值的問(wèn)題，而這些問(wèn)題恰恰使學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)理解帶來(lái)了可以依托的“抓手”?！拔蚁氲搅宿D(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，因?yàn)槠叫兴倪呅巍⑷切蔚葓D形的面積都是轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的”“我發(fā)現(xiàn)圓是曲線圖形，外面的部分沒(méi)法數(shù)。所以我就想，怎么把圓轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形呢？”“我們分得份數(shù)越多，就會(huì)越接近一個(gè)平行四邊形。那這個(gè)平行四邊形的面積要怎么求呢？底和高分別是什么？”這些核心問(wèn)題的追問(wèn)和研究，讓圓面積公式的推導(dǎo)“呼之欲出”。方芳老師的教學(xué)設(shè)計(jì)則更加關(guān)注了公式的推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生在嚴(yán)密的推理過(guò)程中領(lǐng)會(huì)公式的由來(lái)。圍繞“轉(zhuǎn)化前的圖形和轉(zhuǎn)化后的圖形之間有什么聯(lián)系？”“長(zhǎng)為什么等于圓周長(zhǎng)的一半？寬為什么是圓的半徑？”“長(zhǎng)方形的面積用長(zhǎng)乘寬計(jì)算，那圓的面積該怎么計(jì)算呢？”等問(wèn)題的討論，將圓面積公式的來(lái)龍去脈層層導(dǎo)出，真正使學(xué)生既知其然，又知其所以然。

3.知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程。

在社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求越來(lái)越強(qiáng)烈的背景下，數(shù)學(xué)課程改革重視數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育，勢(shì)在必行。數(shù)學(xué)的應(yīng)用包括內(nèi)部應(yīng)用和外部應(yīng)用，數(shù)學(xué)的內(nèi)部應(yīng)用即運(yùn)用數(shù)學(xué)解決本理論或自身在某一領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題；數(shù)學(xué)的外部應(yīng)用即應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活、生產(chǎn)、科研等方面的實(shí)際問(wèn)題。兩則案例都能加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用。王小波老師的設(shè)計(jì)加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的外部應(yīng)用。在課末的練習(xí)中，設(shè)計(jì)了“兩個(gè)半徑1 分米的披薩換一個(gè)半徑2 分米的披薩合理嗎？”引導(dǎo)學(xué)生理解“半徑擴(kuò)大2 倍，并不意味著面積就擴(kuò)大2 倍”這一特殊的規(guī)律；而方芳老師則在教學(xué)中強(qiáng)化了數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，設(shè)計(jì)了一道選擇題：“將一個(gè)圓沿半徑剪開(kāi)，平均分成若干個(gè)完全相同的小扇形，割拼成近似的長(zhǎng)方形”，圍繞周長(zhǎng)與面積兩個(gè)維度，讓學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形和圓相比，體會(huì)其中“變與不變”的規(guī)律。

二、逐漸感悟，品數(shù)學(xué)“思想”之美

弗利德曼認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個(gè)特殊的和最重要的要素就是數(shù)學(xué)思想，整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來(lái)的……數(shù)學(xué)的各種方法是數(shù)學(xué)最重要的部分?！憋@性的知識(shí)技能，終究會(huì)被慢慢淡忘，而隱性的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想方法，更易于促進(jìn)終身受益的素養(yǎng)的形成。所以，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)要努力從“雙基”走向“四基”。而數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法更為精華的概括。

1.有所思考：核心思想的分析。

兩位執(zhí)教者都深諳其道。就圓的面積的計(jì)算來(lái)說(shuō)，無(wú)論是阿基米德的窮竭法，還是劉徽的割圓，以及開(kāi)普勒的無(wú)限分割，都在設(shè)法逼近圓的共同特點(diǎn)，這幾個(gè)方法間沒(méi)有質(zhì)的區(qū)別，都把握了圓的面積是以圓半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積的3 倍多，有區(qū)別的是得到面積計(jì)算辦法的思考過(guò)程。縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，圓的面積計(jì)算公式至今沒(méi)有發(fā)生本質(zhì)的變化，不斷變化的是圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法，從有限分割到無(wú)限分割，再到利用定積分的方法。在割裂的歷史片斷中，每種方法都曾經(jīng)在一定的歷史時(shí)期得到推崇，體現(xiàn)出其存在的價(jià)值，但在完整的歷史長(zhǎng)河中，在數(shù)學(xué)科學(xué)豐富發(fā)展的大背景中，我們看清“無(wú)限分割，化曲為直”才是對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最具有價(jià)值的，也是我們教學(xué)中最應(yīng)該鋪墊的。

2.有所側(cè)重：極限思想的滲透。

在不同的階段面對(duì)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)同一種數(shù)學(xué)思想的感悟應(yīng)該有不同的側(cè)重。圓面積的探索過(guò)程可謂是一個(gè)思想的“富礦”，蘊(yùn)含了很多的數(shù)學(xué)思想方法，比如轉(zhuǎn)化思想、極限思想、化曲為直等等。就平面圖形面積計(jì)算方法的推導(dǎo)而言，從教學(xué)平行四邊形面積的計(jì)算方法時(shí)就提轉(zhuǎn)化，到三角形和梯形的面積計(jì)算方法的推導(dǎo)時(shí)又提轉(zhuǎn)化，那到圓面積計(jì)算，其核心的思想還是轉(zhuǎn)化嗎？顯然不是。無(wú)論是方芳老師的設(shè)計(jì)還是王小波老師的設(shè)計(jì)，教學(xué)的邏輯主線顯然都沒(méi)有放在圓面積的計(jì)算方法，而在于曲邊圖形向直邊圖形的轉(zhuǎn)化，教學(xué)的重點(diǎn)都放在了體會(huì)“隨著分割次數(shù)的增加、由面變線、由曲化直的數(shù)學(xué)過(guò)程”。都能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，無(wú)論是把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形，還是三角形或梯形，都要體現(xiàn)“把彎曲的部分變成直的”，到“折著折著，弧度就有點(diǎn)變直了”，再到“分的份數(shù)越多，每個(gè)圖形越來(lái)越像一條線段，是線的話就沒(méi)有弧度了”，根據(jù)不斷細(xì)分后拼成圖形的變化趨勢(shì)去想象它們的終極狀態(tài)，這個(gè)無(wú)限圖形序列的終極狀態(tài)，也就是無(wú)窮系列的極限。

3.有所延展：不同方法的感受。

學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維需要教師適時(shí)的“點(diǎn)撥”，兩則教學(xué)設(shè)計(jì)都用到了數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)家探索圓面積的故事。特別是方芳老師的設(shè)計(jì)，別出心裁地用三個(gè)數(shù)學(xué)故事串起了整節(jié)課，三則小故事分別對(duì)應(yīng)三個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)于圓面積的計(jì)算方法的推導(dǎo)過(guò)程。劉徽的故事引導(dǎo)學(xué)生去探索圓面積和圓周率之間的關(guān)系，再在兩次實(shí)踐操作中深入思考劉徽割圓術(shù)的原理和可行性，真正調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力，發(fā)展學(xué)生的想象能力；開(kāi)普勒的“分割變形法”，引導(dǎo)學(xué)生從分割變形的角度去進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)思考，自主探索不同的“變形”方法，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力更上一個(gè)臺(tái)階；最后阿基米德的方法再次激起學(xué)生的思考，不斷地創(chuàng)新方法，提升思維。每一個(gè)數(shù)學(xué)家的方法中都有明顯的數(shù)學(xué)思想方法痕跡，學(xué)生循著這些痕跡進(jìn)行再想象、再探索，特別是極限思想的貫穿，讓所有的學(xué)生都能徜徉在極限思想的海洋里，充分想象和創(chuàng)造，深入體會(huì)極限思想方法的價(jià)值和應(yīng)用，讓學(xué)生在對(duì)極限思想認(rèn)識(shí)的寬度和深度上都得到拓展。