姜 曼

(西安交通工程學(xué)院 公共課部, 陜西 西安 710300)

0 引言

美國科學(xué)家Zadeh[1]在1965年提出了模糊集，由于自然界中很多事物的表述并不是絕對的，恰恰相反，我們遇到的大多數(shù)問題是模糊的，解決方法也并不是唯一的，也是模糊的.因此模糊集的提出對認識自然有很重要的意義.模糊集已經(jīng)應(yīng)用到很多方面，學(xué)者們主要研究的是模糊集以及由模糊集得到的拓展——直覺模糊集[2]、區(qū)間值模糊集[3]、雙極值模糊集[4]、猶豫模糊集[5]等理論.然而僅研究模糊集及其拓展，對模糊集的認識并不深刻，因此我們把模糊集及其拓展和代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合，由于不同代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)不同，因此這種結(jié)合方法就很有意義.現(xiàn)階段，對于亞BCI-代數(shù)[6]的研究也有很多結(jié)論，比如，彭家寅[7]把亞BCI-代數(shù)與模糊集相結(jié)合，給出了模糊理想的概念并討論其性質(zhì)；劉旭東[8]給出了亞BCI-代數(shù)的(∈,∈∨q_(λ,μ))-模糊理想的定義研究它的等價刻畫.關(guān)于模糊集和代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，更多結(jié)論可見文獻[9-13].本文用猶豫模糊集來研究亞BCI-代數(shù)，研究亞BCI-代數(shù)上的猶豫模糊理想和猶豫模糊閉理想以及它們的基本性質(zhì)，得到的結(jié)論豐富了猶豫模糊集和亞BCI-代數(shù)的理論.

1 預(yù)備知識

定義1[6]稱一個(2,0)型代數(shù)(X,*,0)為亞BCI-代數(shù)，如果它滿足下列條件：對?x,y,z∈X,有

(1)x*0=x;

(2)x*x=0;

(3)(x*y)*z=(x*z)*y.

在亞BCI-代數(shù)X中，規(guī)定偏序關(guān)系≤：?x,y∈X,x≤y?x*y=0.

在亞BCI-代數(shù)X中，下列結(jié)論成立：

(X1)(x*(x*y))*y=0;

(X2)0*(x*y)=(0*x)*(0*y).

亞BCI-代數(shù)的非空子集S稱為X的子代數(shù)，如果?x,y∈S?x*y∈S.

亞BCI-代數(shù)的非空子集I稱為X的理想，如果I滿足條件：

(I1)0∈I;

(I2)?x,y∈X,如果x*y∈I和y∈I,則x∈I.

設(shè)I是亞BCI-代數(shù)的一個理想，對任意x∈X,若x∈I?0*x∈I,稱I是X的一個閉理想.

定義2[5]設(shè)A∈F(R)是一個非空經(jīng)典集合，一個R上的猶豫模糊集A的定義如下：

A:{(x,hA(x))|x∈X}，

其中hA(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個不同值構(gòu)成的集合，表示R中的元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度.記R上的全體猶豫模糊集為HF[R].

設(shè)A為R中的猶豫模糊集，P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集.稱集合

R(A,γ):={x∈R|γ?hA(x)}

為A的猶豫水平集，其中γ∈P([0,1]).

定義3[5]對于F∈HF[X],猶豫模糊元hF(x)的下界和上界分別定義如下：

猶豫模糊集的三個基本運算補、并和交分別定義如下：

(1)補：對于F∈HF[X],它的補元Fc定義為：

補運算滿足對合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F,G∈HF(X),F和G的并F∪G定義為：?x∈X,

(3)交：F和G的交F∩G定義為：

2 猶豫模糊理想

為了敘述方便，本文均用X表示亞BCI-代數(shù).

定義4設(shè)(X,*,0)是一個亞BCI-代數(shù)，μ∈HF[X],若?x,y∈X,滿足下列條件：

(1)hμ(0)?hμ(x),

(2)hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y).

則稱μ為X的猶豫模糊理想.

記X上的全體猶豫模糊理想為HFI[X].

例1設(shè)X={0，1，2}是一個亞BCI-代數(shù)，其Cayley運算如表1所示.

表1 Cayley運算

定義X的猶豫模糊集μ,hμ(x)(0)=(0.3,0.8],hμ(x)(1)=hμ(x)(1)={0.5,0.7}.

則可驗證μ∈HFI[X].

定義5設(shè)(X,*,0)是一個亞BCI-代數(shù)，μ∈HF[X],若?x,y∈X,hμ(x*y)?hμ(x)∩hμ(y),則稱μ為X的猶豫模糊子代數(shù).

記X上的全體猶豫模糊子代數(shù)為HFS[X].

定理1設(shè)(X,*,0)是一個亞BCI-代數(shù)，若μ∈HFI[X],則當x≤y,有hμ(x)?hμ(y).

證明?x,y∈X,當x≤y,則x*y=0.即

hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y)=hμ(0)∩hμ(y)=hμ(y).

證畢.

定理2設(shè)μ∈HF[X],對?x∈X,有hμ(0)?hμ(x),則μ∈HFI[X]當且僅當?x,y,z∈X,x*y≤z?hμ(x)?hμ(y)∩hμ(z).

證明必要性 因為μ∈HFI[X],那么?x,y,z∈X,有

hμ(x*y)?hμ(z),hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y)?hμ(y)∩hμ(z).

充分性 設(shè)z=x*y,則有hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y),所以μ∈HFI[X].

推論1設(shè)μ∈HF[X],則μ∈HFI[X]當且僅當

?x,y,z∈X,x*y≤z?hμ(x)?hμ(y)∩hμ(z).

證明同定理2.

定理3設(shè)μ∈HF[X],對?x,y,z∈X,如果μ∈HFI[X],那么有

(z*x)*y=0?hμ(z)?hμ(x)∩hμ(y).

證明因為μ∈HFI[X],所以

hμ(z)?hμ(z*x)∩hμ(x)? [hμ((z*x)*y)∩hμ(y)]∩hμ(x)= [hμ(0)∩hμ(y)]∩hμ(x)=hμ(y)∩hμ(x).

定理4設(shè)μ∈HF[X],如果μ∈HFI[X],則對?x,y,z∈X,下面條件等價：

(1)hμ(0*x)?hμ(0*(0*x));

(2)hμ(0*x)?hμ(x);

(3)hμ(0*(x*y))?hμ(0*(y*x)).

證明(1)?(2):由于0*(0*x)≤x,所以hμ(0*(0*x))?hμ(x).

即hμ(0*x)?hμ(0*(0*x))?hμ(x).

(2)?(1):在(2)中令x=0*y,即可證(1)成立.

(1)?(3):根據(jù)(1)，hμ(0*(y*z))?hμ(0*(0*(y*z)))=hμ((0*z)*(0*y))=hμ(0*(z*y)).

(3)?(1):在(3)中，令y=0,即可證(1)成立.

定理5設(shè)μ∈HF[X],μ∈HFI[X]當且僅當?γ∈P([0,1]),若R(A,γ)≠?,則

R(A,γ)是X的理想.

證明必要性 因為μ∈HF[X],R(A,γ)≠?,則?γ∈P([0,1]),設(shè)x∈R(A,γ),則hμ(x)?γ,因此有hμ(0)?hμ(x)?γ,即0∈R(A,γ).設(shè)x*y∈R(A,γ),y∈R(A,γ),則hμ(x*y)?γ,hμ(y)?γ.即有hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y)?γ,因此x∈R(A,γ).

即R(A,γ)是X的理想.

必要性?γ∈P([0,1]),已知若R(A,γ)≠?,?x∈X,令hμ(x)=γ,所以x∈R(A,γ).由于R(A,γ)是X的一個理想，因此0∈R(A,γ),即hμ(0)?γ=hμ(x).所以?x∈X,hμ(0)?hμ(x).

如果μ?HFI[X],則?x0,y0∈X,使得hμ(x0)?hμ(x0*y0)∩hμ(y0).

令γ0=hμ(x0)∩hμ(x0*y0),使得hμ(x0)<γ0

則x0*y0,y0∈R(A,γ0).

因為R(A,γ0)是X的理想，所以x0∈R(A,γ0),hμ(x0)≥γ0,這與hμ(x0)<γ0矛盾.所以有hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y)成立.因此，μ∈HFI[X].

定理6設(shè)μ、A∈HFI[X],則μ∩A∈HFI[X].

證明?x,y∈X,有

hμ∩A(0)=hμ(0)∩hA(0)?hμ(x)∩hA(x)=hμ∩A(x),hμ∩A(x)=hμ(x)∩hA(x)? [hμ(x*y)∩hμ(y)]∩[hA(x*y)∩hA(y)]= [hμ(x*y)∩hA(x*y)]∩[hμ(y)∩hA(y)]=hμ∩A(x*y)∩hμ∩A(y).

因此，μ∩A∈HFI[X].

定義6設(shè)A∈HFI[X]和B∈HFI[Y],?(x,y)∈X×Y,定義映射

A×B：X×Y→P([0,1])，hA×B(x,y)=hA(x)∩hB(y).

則稱A×B是X×Y的I-V猶豫模糊子集，并稱A×B為A和B的直積.

定理7如果A∈HFI[X]和B∈HFI[X],則直積A×B∈HFI[X×X].

證明設(shè)A∈HFI[X]和B∈HFI[X],?(x,y)∈X×X,

hA×B((0,0))=hA(0)∩hB(0)?hA(x)∩hB(y)=hA×B((x,y)),

對于?(x1,y1),(x2,y2)∈X×X,

hA×B((x1,y1))=hA(x1)∩hB(y1)?

(hA(x1*x2)∩hA(x2))∩(hB(y1*y2)∩hB(y2))=(hA(x1*x2)∩hB(y1*y2))∩

(hA(x2)∩hB(y2))=hA×B(x1*x2,y1*y2)∩hA×B(x2,y2)=hA×B((x1,y1)*(x2,y2))∩hA×B(x2,y2).

所以A×B∈HFI[X×X].

3 猶豫模糊閉理想

定義7設(shè)(X,*,0)是一個亞BCI-代數(shù)，μ∈HFI[X],若?x∈X,hμ(0*x)?hμ(x).

則稱μ為X的猶豫模糊閉理想.記X上的全體猶豫模糊理想為HFCI[X].

定理8設(shè)μ∈HF[X],μ∈HFCI[X]當且僅當

(I)?x,y,z∈X,(z*x)*y=0?hμ(z)?hμ(x)∩hμ(y),

(II)?x∈X,hμ(0*x)?hμ(x).

證明必要性 根據(jù)定理3以及定義7可證.

充分性?x,y∈X,0*x=z.由(X1)可得，(x*(x*y))*y=0,因此由(I)可得hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y).再根據(jù)(I)、(II)和(0*x)*z=0,有

hμ(0)?hμ(x)∩hμ(z)=hμ(x)∩hμ(0*x)?hμ(x)∩hμ(x)=hμ(x).

因此，μ∈HFI[X].由(II)可得μ∈HFCI[X].

定理9設(shè)μ∈HF[X],μ∈HFCI[X]當且僅當?γ∈P([0,1]),若R(A,γ)≠?,則R(A,γ)是X的閉理想.

證明必要性 因為μ∈HF[X],R(A,γ)≠?,則?γ∈P([0,1]),設(shè)x*y∈R(A,γ),

y∈R(A,γ).因為μ∈HFCI[X],則hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y)?γ,所以x∈R(A,γ).

顯然0∈R(A,γ),即R(A,γ)是X的理想.?x∈R(A,γ),hμ(0*x)?hμ(x)?γ.由于μ是閉的，因此0*x∈R(A,γ).根據(jù)定義1，有R(A,γ)是X的閉理想.

充分性 設(shè)μ?HFCI[X],那么?x,y∈X,使得hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y);或者?x∈X使hμ(x)?hμ(0*x)或者hμ(x)?hμ(0).若hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y),則令γ=hμ(x)∩hμ(x*y),若hμ(x)?hμ(0*x)或者hμ(x)?hμ(0),令γ=hμ(x),則易證R(A,γ)不是X的閉理想，因此矛盾.即有R(A,γ)是X的閉理想.

定理10設(shè)μ∈HFI[X],則μ∈HFCI[X]當且僅當μ∈HFS[X].

證明必要性已知μ∈HFCI[X],則

?x,y∈X,hμ((x*y)*x)=hμ((x*x)*y)=hμ(0*y)?hμ(y).

由于μ∈HFI[X],因此

hμ(x*y)?hμ((x*y)*x)∩hμ(x).即hμ(x*y)?hμ(x)∩hμ(y).即證μ∈HFS[X].

充分性 若μ∈HFS[X],則?x∈X,hμ(0*x)?hμ(0)∩hμ(x).由于μ∈HFI[X],所以hμ(0*x)?hμ(x),因此，μ∈HFCI[X].

定理11設(shè)K是X的一個子代數(shù)，若μ∈HFCI[X],則K∩μ∈HFCI[K].

證明?x,y∈K.則有hK∩μ(x*y)?hμ(x*y)∩hK(x*y)?hμ(x)∩hμ(y)=hK∩μ(x)∩hK∩μ(y).所以K∩μ∈HFS[K].

所以hK∩μ(0)=hK∩μ(x*x)?hK∩μ(x).

因為μ∈HFCI[X],則?x,y∈K,hK∩μ(x)?hμ(x)?hμ(x*y)∩hμ(y),因此

hK∩μ(x*y)∩hK∩μ(y)=hμ(x*y)∩hμ(y)?hK∩μ(x).

因此，根據(jù)定義4可得，K∩μ∈HFI[K].

所以，由定理10可得，K∩μ∈HFCI[K].

定理12設(shè)f:X→Y是亞BCI-代數(shù)的同態(tài)映射.

(1)若η∈HFI[Y],則f-1(η)∈HFI[X];

(2)若η∈HFS[Y],則f-1(η)∈HFS[X].

證明(1)?x,y∈X,由于η∈HFI[Y],因此有

hf-1(η)(0)=hη(f(0))=hη(0)?hη(f(x))?hf-1(η)(x),hf-1(η)(x)=hη(f(x))?hη(f(y))∩hη(f(x)∩f(y))=hη(f(y))∩hη(f(x*y))=hf-1(η)(y)∩hf-1(η)(x*y).

因此，f-1(η)∈HFI[X].

(2)?x,y∈X,因為η∈HFS[Y],因此有

hf-1(η)(x*y)=hη(f(x*y))=hη(f(x)*f(y))?hη(f(x))∩hη(f(y))=hf-1(η)(x)∩hf-1(η)(y),因此f-1(η)∈HFS[X].

定理13如果A∈HFCI[X]和B∈HFCI[X],則直積A×B∈HFCI[X×X].

證明?(x,y)∈X×X,hA×B((0,0)*(x,y))=hA×B((0*x,0*y))=hA(0*x)∩hB(0*y)?hA(x)∩hB(y)=hA×B(x,y).

所以A×B∈HFCI[X×X].