劉 娜， 余志恒

(1. 成都工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院， 四川 成都 611731； 2.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611756)

0 引言

若平面微分系統(tǒng)的孤立平衡點(diǎn)的某鄰域被周期軌所充滿, 則稱(chēng)此平衡點(diǎn)為中心. 我們考慮如下平面向量場(chǎng)或微分系統(tǒng)

(0.1)

由于我們很難通過(guò)計(jì)算有限階的Lyapunov量來(lái)作出中心判定, 而需要利用可積性或?qū)ΨQ(chēng)性來(lái)分析相應(yīng)的向量場(chǎng), 迄今為止, 許多微分系統(tǒng)的中心問(wèn)題還沒(méi)有得到解決, 甚至連一般三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的中心問(wèn)題也沒(méi)有被完全回答. 因此, 人們把注意力放到了多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)的中心判定.

Liénard系統(tǒng)

(0.2)

(0.3)

的平衡點(diǎn). 如果O為系統(tǒng)(0.3)的一個(gè)中心, 那么我們稱(chēng)其為L(zhǎng)iénard中心. 如果f和g均為多項(xiàng)式, 則我們稱(chēng)O為多項(xiàng)式Liénard中心. 許多學(xué)者在f和g均為連續(xù)的奇函數(shù), 并且滿足當(dāng)x> 0時(shí),g(x)>0的條件下給出了O為系統(tǒng)(0.3)的Liénard中心的充分條件 (參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-9]).

1972年Cherkas[10]利用廣義對(duì)稱(chēng)性給出了原點(diǎn)O為解析Liénard系統(tǒng)中心的一個(gè)充分必要條件, 這個(gè)條件是一個(gè)函數(shù)方程組解析解的存在性. 盡管Cherkas也討論了多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)的中心問(wèn)題, 但僅僅運(yùn)用多項(xiàng)式結(jié)式分別給出了充分條件和必要條件, 并未告訴我們?nèi)绾握页鰸M足上述條件的系統(tǒng). 在Cherkas工作的基礎(chǔ)上, 1999年Christopher[12]考慮f和g為如下形式的多項(xiàng)式

(0.4)

其中ai,bi∈,b1>0, 他利用時(shí)間尺度變換(x,t)將(0.3)規(guī)范化, 使得b1=1,并運(yùn)用Lüroth定理[11], 得到了如下關(guān)于多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)中心判定的一個(gè)充要條件:

Christopher的條件[12]:f和g如(0.4)所定義, 原點(diǎn)O為系統(tǒng)(0.3)的中心當(dāng)且僅當(dāng)f和g的原函數(shù)F和G滿足

F(x)=A(M(x)),G(x)=B(M(x)),

(0.5)

其中A,B,M是多項(xiàng)式, 并且

Christopher的條件實(shí)際上把原點(diǎn)O是否為系統(tǒng)(0.3)的Liénard中心的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了(0.5)所涉及的兩個(gè)函數(shù)方程是否有多項(xiàng)式解的問(wèn)題. 盡管該條件為我們提供了一種判定原點(diǎn)O為L(zhǎng)iénard系統(tǒng)中心的方法, 但是, 這個(gè)方法所衍生出的函數(shù)方程組的多項(xiàng)式解的存在性還需進(jìn)一步的判定. 文獻(xiàn)[13]中，作者運(yùn)用消元定理及代數(shù)簇的極小不可約分解等多項(xiàng)式代數(shù)中的相關(guān)理論給出了一個(gè)可在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Singular上實(shí)現(xiàn)的算法, 可以用于5次以下的多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)，對(duì)由Christopher的條件所導(dǎo)出的函數(shù)方程組給出了存在多項(xiàng)式解的代數(shù)條件 (亦即多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)原點(diǎn)O為中心的條件).

本文我們考慮系統(tǒng)PL(6,7), 即次數(shù)為7的多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng), 其中degf=6,degg=7.我們將給出關(guān)于f和g系數(shù)ai,bi的最簡(jiǎn)代數(shù)條件以保證O為PL(6,7)的中心.

1 Christopher中心條件的一個(gè)算法

考慮引言中介紹的Christopher的條件, 由于實(shí)數(shù)域不是一個(gè)代數(shù)閉域, 這里我們把(0.5)中的所有實(shí)多項(xiàng)式視作[x]中的多項(xiàng)式, 并將獲得的關(guān)于多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)中阻尼函數(shù)和回復(fù)函數(shù)系數(shù)的代數(shù)條件與實(shí)數(shù)域“相交”, 最終得到原點(diǎn)O為多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)中心的最簡(jiǎn)代數(shù)條件. 令

將他們帶入(0.5), 我們可以得到環(huán)[αis,βis,mis,ais,bis]中的多項(xiàng)式代數(shù)系統(tǒng)

PS:={p1,…,plk+sk-2}.

Christopher中心條件的一個(gè)算法：

Input: (0.4)中的多項(xiàng)式f和g.

Output: 原點(diǎn)O為系統(tǒng)(0.3)的中心的最簡(jiǎn)代數(shù)條件.

Procedure:

Step 1根據(jù)函數(shù)方程組(0.5)選取

其中

k:=max{m+1,n+1}≥3,l,s≥[k/2].

令PS:={p1,…,plk+sk-2}?[αis,βis,mis,ais,bis].

Step 4設(shè)定項(xiàng)序?yàn)樽值湫? 變?cè)驗(yàn)棣羒s>βis>mis>ais>bis, 運(yùn)用多項(xiàng)式代數(shù)系統(tǒng)Singular中的命令eliminate消去變?cè)羒,βi和mi并得到一個(gè)僅含ai和bi的代數(shù)系統(tǒng), 記作PS′.

Step 5運(yùn)用Singular中的庫(kù)primdec.lib中的命令minAssGTZ計(jì)算PS′的代數(shù)簇的極小不可約分解, 并由此獲得函數(shù)方程組(0.5)有多項(xiàng)式解關(guān)于多項(xiàng)式f和g系數(shù)ai和bi的最簡(jiǎn)代數(shù)條件.

Step 6將Step 5中獲得的條件重新帶入PS, 反解αi,βi和μi并判定它們是否為實(shí)數(shù), 即Step 5中的條件在實(shí)數(shù)域中是否成立, 最終找出原點(diǎn)O為系統(tǒng)(0.3)的中心的條件.

2 PL(6,7)的中心條件

根據(jù)上述算法, 我們可以獲得PL(6,7)原點(diǎn)O為中心的代數(shù)條件.

定理1在PL(6,7)中, 原點(diǎn)O為L(zhǎng)iénard中心當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

(i)a2=a4=a6=b2=b4=b6=0;

(ii)a1b2-a2=a1b3-a3=a1b4-a4=a1b6-a6=b7=0;

自2016年，科技部國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目立項(xiàng)“河套平原鹽堿地生態(tài)治理關(guān)鍵技術(shù)研究與集成示范”后，2017年2月，內(nèi)蒙古自治區(qū)人民政府下發(fā)了《內(nèi)蒙古自治區(qū)“改鹽增草（飼）興牧”示范工程實(shí)施方案》，遵照內(nèi)蒙古自治區(qū)政府“先做好示范”的指示精神，五原縣率先啟動(dòng)實(shí)施5萬(wàn)畝“改鹽增草（飼）興牧”試驗(yàn)示范項(xiàng)目。

此外，在(i)中

在(ii)中

在(iii)中

證明基于以上判斷原點(diǎn)O是中心的算法，當(dāng)f和g滿足degf=6,degg=7時(shí)，為了求解系統(tǒng)(0.5)對(duì)應(yīng)的函數(shù)方程組，我們選擇:

將(2.1)代入系統(tǒng)(0.5)中的形式化的多項(xiàng)式，然后比較系數(shù)，我們就得到了一個(gè)如下的多項(xiàng)式代數(shù)系統(tǒng)：

…

…

(1)m8=0;(2)α4=β4=0.

我們以情形(1)為例來(lái)展示定理1中的條件的導(dǎo)出過(guò)程. 情形(1)又可以分解為以下4種子情形：

2)m8=m7=m6=m5=α4=β4=0,

3)m8=m7=m6=α4=β4=0,

4)m8=m7=α4=β4=0.

我們現(xiàn)在只討論子情形>2)給出的條件的導(dǎo)出過(guò)程.其他的情形可以類(lèi)比子情形>2)得出.

在子情形>2)的條件下，多項(xiàng)式系統(tǒng)APS(6,7)可以改寫(xiě)成如下的子系統(tǒng)APS′(6,7):

由上節(jié)算法的第四步，利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Singular中的消元包eliminate消去變?cè)羒,βi和mi，我們可以得到一個(gè)較為簡(jiǎn)潔的多項(xiàng)式系統(tǒng)PS：

對(duì)于系統(tǒng)PS用上述算法的第五步，即運(yùn)用minAssGTZ包對(duì)上述代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行極小不可約分解，我們可以找出系統(tǒng)PS對(duì)應(yīng)的代數(shù)簇的極小不可約分解：V(h1,…,h21)=SI∪SII，其中

顯然的條件SII包含于條件(ii)中，因此在這種子情形下我們只需要考慮SI, 運(yùn)用算法的第六步，將其返代回APS(6,7),我們可以反解出αi,βi,mi,即:

證畢.

3 結(jié)語(yǔ)

定理1的過(guò)程告訴我們系統(tǒng)PL(6,7)所對(duì)應(yīng)的中心條件都是必要且充分的. 另外, 我們的算法對(duì)于高次 (m>6或n>7)情形也是有效的.