彭 家 寅

(內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院， 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

量子力學提供了創(chuàng)建、傳輸、操縱和存儲信息的全新方法.因此，近年來量子信息科學, 比如量子通信[1]和量子計算[2], 引起了人們極大的興趣.量子通信對于未來的包括量子互聯(lián)網(wǎng)[3-4]和量子無線網(wǎng)絡[5-6]在內(nèi)的量子網(wǎng)絡是必要的，無論這種通信是在厘米或幾千公里的距離上進行.

量子隱形傳態(tài)[7]通常被用來實現(xiàn)量子通信.它采用了一種特殊形式的被稱為貝爾對的二粒子最大糾纏態(tài)，其中兩個物理上分離的量子系統(tǒng)(電子或光子)共享一種被愛因斯坦稱之為“遠處的幽靈行為”的非局域關(guān)聯(lián).雖然自1997年第一次實驗實現(xiàn)以來[8]，遠距離量子隱形傳態(tài)已經(jīng)在實驗中實現(xiàn)[9-10]，但由于量子信道不可避免的損耗，點對點的通信距離受到限制.為了實現(xiàn)多用戶廣域量子通信，量子網(wǎng)絡的建設成為人們關(guān)注的焦點[11-12].然而，在量子網(wǎng)絡中，正是因為量子信道這種損耗，很難在兩個遠程用戶之間直接分配糾纏粒子.作為量子中繼器的基礎(chǔ)，糾纏交換[13-14]可以有效克服上述問題，其目的是通過中間節(jié)點在兩個遙遠的節(jié)點之間建立糾纏[15-16].

正如量子態(tài)的隱形傳態(tài)是發(fā)送者將未知量子態(tài)傳送給遙遠的接收者，而沒有物理地發(fā)送粒子，量子運算的隱形傳送可以理解為發(fā)送者將未知量子運算傳送給遙遠的接收者，而沒有物理地發(fā)送設備.更有趣的是，在發(fā)送者系統(tǒng)上執(zhí)行的未知量子運算被傳送并同時作用在接受者所在的遠程系統(tǒng)的未知量子態(tài)上[17].考慮到量子運算的這種傳輸和作用，人們把它命名為“量子運算的遠程實施”. 由于糾纏是量子信息和量子計算中的寶貴資源，很難產(chǎn)生和維持，因此我們應該尋找解決糾纏的方法.幸運的是，文獻[17-21]給出了正面的回應.Wang[18]給出量子運算的一般限制集，找到統(tǒng)一的恢復操作，提出并證明了多量子比特部分未知量子運算的遠程實施協(xié)議.這里研究的部分未知量子運算的遠程實現(xiàn)是非常有用和有趣的，因為它們比完全未知量子運算消耗更少的資源，并且這樣的量子運算遠程實施方案可以滿足一些實際應用的要求.此處所說的“部分未知”量子運算可以認為是一些滿足某些給定限制條件的限制集的量子運算.當然，受限量子運算集仍然是非常大的酉變換集，因為它們的未知元素取連續(xù)值.

EPR對是量子信道的最佳選擇，因為它使用的資源量最小，且具有最大的糾纏特性[22-24].當涉及兩個未知糾纏粒子的傳輸時，由兩個EPR對組成的量子信道提供了比其他糾纏資源更好的解決方案.Bell測量在量子信息處理過程中進行，對于一個Bell測量，將得到四種類型的測量結(jié)果，剩下的粒子將自動坍縮成一個新的糾纏量子態(tài)[25-26].迄今為止，很少有探討B(tài)ell測量結(jié)果與塌陷量子態(tài)之間的關(guān)系.

在本文中，我們提出了一個量子通訊方案，使部分未知單量子運算的遠程實施在最初并不分享糾纏的兩個用戶之間進行.首先，通過中間節(jié)點的同時糾纏交換，建立起兩個用戶之間所需的Bell對信道，以便在兩個用戶間遠程地執(zhí)行部分未知量子運算，這里中間節(jié)點的Bell對并非是相同類型的.值得注意的是，與量子中繼器中常用的序串糾纏交換不同，本文的同時糾纏交換是在所有中間節(jié)點上同時進行Bell測量，測量結(jié)果和Bell對類型被獨立地發(fā)送給用戶.而在序串糾纏交換中，Bell測量結(jié)果被發(fā)送到上游節(jié)點，因此每個中間節(jié)點在進行糾纏交換之前必須等待經(jīng)典信息的傳輸.這些連續(xù)的操作給整個量子態(tài)通信的建立過程帶來了很大的延遲，而且相鄰節(jié)點必須具有經(jīng)典通信信道.其次，因用戶間新建的信道是四個Bell態(tài)中的任何一個，所以我們需要提出一個不同于包括Wang[18]在內(nèi)的現(xiàn)有方案，即利用Bell態(tài)的一般形式|βij〉量子信道，研究在兩個用戶間的部分未知單量子運算的遠程實施問題.實質(zhì)上， 我們給出了部分未知單量子運算的遠程執(zhí)行的通用方案，給出了發(fā)送者和接收者各自的通用操作.

1 量子信道的建立

為了討論方便，我們引入如下簡單邏輯運算：

σ(i,j)=|0〉〈j|+(-1)i|1〉〈1⊕j|i,j∈{0,1}，

其中⊕為關(guān)于模2的加法.顯然，當i=j=0時，σ(0,0)為恒等變換；當i+j≠0時，σ(i,j)為Pauli門.此外， Hadamard變換H也是一個重要的邏輯門，它被定義為

四個Bell態(tài)可以統(tǒng)一的表示成

當然，四個Bell態(tài)通過σ(i,j)變換是可以相互轉(zhuǎn)化的

|βij〉=σ(i,j)?σ(0,0)|β00〉.

在量子無線網(wǎng)絡中，有許多節(jié)點.由于量子糾纏是一種昂貴的資源，所以一個節(jié)點不可能和網(wǎng)絡中的其他所有節(jié)點之間都分享有量子糾纏資源.事實上，兩個用戶之間通常沒有直接的量子信道，要達到遠程量子運算實施的目的，首先要在用戶之間建立起量子糾纏信道.

首先，Alice、Charlie、Candy和Bob這四個節(jié)點的量子構(gòu)成的聯(lián)合系統(tǒng)為

(1)

其次，中間節(jié)點Charlie和Candy同時、分別對各自量子對(C,C1)和(C′,C′1)進行Bell態(tài)測量，他們每人都能以相同的概率獲得四個測量結(jié)果|β00〉、|β01〉、|β10〉和|β11〉中的一個.在他們將這四個測量結(jié)果分別編碼成2比特經(jīng)典信息00、01、10和11后，同時通過經(jīng)典信道將測量結(jié)果對應的2比特經(jīng)典信息以及分享Bell對的類型發(fā)送給Alice和Bob，對應的坍塌態(tài)就是Alice和Bob之間的糾纏信道.

從(1)式可以看出，所有的16種測量結(jié)果可以分成四組，這四組對應于量子A和B的四個塌陷態(tài)就是建立在Alice和Bob間的四個不同的量子信道.例如在測量結(jié)果是由0000，1010，0101和1111構(gòu)成的那一組中，量子A和B的塌陷態(tài)都為|β11〉A(chǔ)B.也就是說，該組里四個測量信息中的任意一個，都得到Alice和Bob間的同一量子信道|β11〉A(chǔ)B.

(2)

這樣，我們就可在兩個用戶Alice和Bob間構(gòu)建起了糾纏信道.明顯地，對應給定的測量信息，僅有一個邏輯代數(shù)表達式等于1，從而Alice和Bob間的糾纏信道必定是四個Bell態(tài)之一.例如，若測量輸出是0111，則C=0，C1=1、C′=1和C′1=1.將它們代入等式(2)，我們可得到Alice和Bob間的糾纏信道|Δ〉A(chǔ)B=|β01〉A(chǔ)B.

一個自然的問題是：兩個用戶(Alice和Bob)及其中間節(jié)點間分享的Bell態(tài)的不同順序是否會影響最終建構(gòu)的量子信息呢？為此，我們假設兩個用戶Alice和Bob的中間節(jié)點Charlie分別與Alice、Bob分享Bell態(tài)|β01〉A(chǔ)C、|β10〉C1B，即量子A屬于Alice，量子B屬于Bob， 而量子C和C1屬于Charlie.用戶Alice和Bob及中間節(jié)點Charlie的聯(lián)合系統(tǒng)為

(|00〉+|11〉)CC1|β11〉A(chǔ)B].

(3)

另一方面，若Charlie分別與Alice、Bob分享Bell態(tài)|β10〉A(chǔ)C和|β01〉C1B，則聯(lián)合系統(tǒng)可以表示為

(|00〉+|11〉)CC1|β11〉A(chǔ)B+(|01〉- |10〉)CC1|β00〉A(chǔ)B+(|01〉+|10〉)CC1|β10〉A(chǔ)B].

(4)

從上面可以看出，等式(3)和式(4)在忽略整體相位因子的情況下，測量結(jié)果和可能的Bell態(tài)之間具有相同的關(guān)系.因此，同樣的測量輸出時， Alice和Bob的最后糾纏態(tài)具有相同的形式.同樣地，我們可以檢驗所有其他的Bell態(tài)組合，也可以得出這樣的結(jié)論：交換Bell態(tài)位置不影響Alice和Bob的最后糾纏態(tài).當兩個用戶之間有多個中間節(jié)點時，進行多次Bell態(tài)位置交換，利用這種“交換不變性質(zhì)”，就可以得出結(jié)論：兩個用戶之間有多個中間節(jié)點，相鄰節(jié)點擁有的Bell未必都是|β00〉，它可能是|β00〉、|β01〉、|β10〉和|β11〉中的一個，兩個用戶間的最終糾纏態(tài)信道與所有節(jié)點擁有的不同類型的Bell狀態(tài)的數(shù)量有關(guān)，而與這些Bell態(tài)的順序無關(guān).

關(guān)系式(2)可以推廣的n個節(jié)點(包括兩個用戶)的情形：N1，N2，…，Nn.為了表述方便，中間節(jié)點Ni擁有的量子分別記為Ni1和Ni2，其測量結(jié)果對應的經(jīng)典編碼表示為MNi1和MNi2，則兩個用戶間最終糾纏態(tài)|Δ〉N1Nn為

(5)

容易驗證，對于結(jié)論n=3，即兩個用戶之間只有一個中間節(jié)點，結(jié)論(5)也成立.這樣，我們總可以在兩個用戶間建立起B(yǎng)ell信道，該信道可能是|β00〉、|β01〉、|β10〉和|β11〉中的任何一個.

2 基于任意Bell態(tài)的部分未知量子運算的遠程實施協(xié)議

量子運算的遠程實施在量子通信和量子計算中有著廣泛的應用，它不僅將作用在某個局域系統(tǒng)的一個未知量子態(tài)上的未知量子運算傳送到遙遠的一個系統(tǒng)中，而且此量子運算同時還作用在該遠方系統(tǒng)的一個未知量子態(tài)上.在第2節(jié)中，兩個用戶間新建立的信道是四個Bell對中的任何一個，已有的部分單量子運算的遠程執(zhí)行方案[17-19]并不能完全適用于這種情形.因此，本節(jié)需要針對一般形態(tài)的Bell對信道，研究部分單量子運算的遠程執(zhí)行，也就是說，需要給出一個部分單量子運算的遠程執(zhí)行的通用方案.

現(xiàn)在，就來考慮單量子部分未知算子的執(zhí)行問題：結(jié)合文獻[18-19]的思想，我們給出單量子未知算子執(zhí)行的量子線路圖如下：

圖1 部分未知量子運算的遠程實施線路

在圖1中，Ud(d=0,1)為被執(zhí)行的量子運算，實數(shù)d可以視為表達對角或反對角矩陣的經(jīng)典信息，H是Hadamard變換，σb=σ(i,j+(-1)jb)邏輯門，R(a,d)=σ(a,0)σ(0,d)是恢復算子，而a,b分別是對于測量|a〉〈a|和|b〉〈b|的經(jīng)典信息，|χ〉B′為未知單量子態(tài).

在上面部分未知量子運算的遠程實施方案中， 發(fā)送者Alice和接收者Bob構(gòu)成的初始聯(lián)合系統(tǒng)為

|T〉A(chǔ)BB′=|βij〉A(chǔ)B?|χ〉B′，

(6)

其中|βij〉為被Alice和Bob事先分享的一個Bell態(tài)，即量子A屬于Alice，量子B屬于Bob，且Bob擁有未知量子態(tài)

|χ〉B′=x|0〉B′+y|1〉B′，

(7)

這里x,y是滿足歸一化條件|x|2+|y|2=1的復概率振幅.被執(zhí)行的量子運算是如下定義的兩個限制集[18]中的任何一個

(8)

容易看出，這兩個限制集的結(jié)構(gòu)是已知的，但非零元素的值是未知的，即u0,u1的位置是已知的，但其具體數(shù)值是未知的.顯然，Alice和Bob的初始聯(lián)合系統(tǒng)為

(9)

現(xiàn)在的任務是Alice要將Ud(d=0,1)傳送給Bob，同時Ud(d=0,1)還要作用在Bob的未知量子態(tài)|χ〉B′上.具體過程如下：

第一步：Bob首先施行一個以B′為控制量子，以B為目標量子的一個受控非門運算，則整個系統(tǒng)(4)變成

y(|0,1⊕j,1〉+(-1)i|1,j,1〉)]ABB′.

然后，他用計算基{|0〉,|1〉}去測量他的量子B，即用測量基|b〉B〈b|(b=0,1)去測量量子B,并將測量結(jié)果對應的經(jīng)典信息b(b=0,1)通過經(jīng)典通信傳送給Alice.也就是說，Bob需要對量子B和B′施行變換

第二步：收到測量信息后，Alice先對她的量子A實施σ(i,j+(-1)jb)變換，使得量子A和B′態(tài)變成x|00〉A(chǔ)B′+y|11〉A(chǔ)B′；Alice再對量子A施行Ud(d=0,1)運算，x|00〉A(chǔ)B′+y|11〉A(chǔ)B′變成xud|d,0〉A(chǔ)B′+yu1⊕d|1⊕d,1〉A(chǔ)B′；隨后，Alice對量子A施行Hadamard變換，該變換將xud|d,0〉A(chǔ)B′+yu1⊕d|1⊕d,1〉A(chǔ)B′變成

(-1)d|1〉A(chǔ)(xud|0〉B′-yu1⊕d|1〉B′)].

(10)

最后，Alice計算基|a〉A(chǔ)〈a|(a=0,1)去測量量子A，并將操作的量子運算是對角或反對角的信息d以及測量結(jié)果對應的經(jīng)典信息a告知Bob.從(10)知量子B′的塌陷態(tài)為

xud|0〉B′+(-1)ayu1⊕d|1〉B′(a,d∈{0,1}).

(11)

總之，Alice需對量子A施行變換

第三步：根據(jù)Alice的信息d和a，Bob需要對量子B′實施變換σ(a,0)σ(0,d)，就能獲得

σ(a,0)σ(0,d)(xud|0〉B′+(-1)ayu1⊕d|1〉B′)=Ud(|χ〉B′).

(12)

(12)式表明來自兩個限制集(8)的任意單量子部分未知算子Ud被成功地傳送給Bob，同時也作用在Bob的未知量子態(tài)|χ〉B′上，即量子任務已完成，且成功的概率為1.

3 結(jié)論

本文研究了無線多跳網(wǎng)絡中的量子通信，提出了一種在沒有直接Bell對共享的網(wǎng)絡中，兩個節(jié)點之間部分未知量子運算的遠程實現(xiàn)方案..為了在原本沒有直接糾纏分享的兩個用戶之間建立起糾纏信道，我們采用同時測量和獨立糾纏交換的方法詳細討論了三跳情況量子信息的建立，并將其推廣到多跳情況.所有中間節(jié)點都獨立于其他節(jié)點的任何測量結(jié)果而進行Bell測量，只需向Alice和Bob發(fā)送測量結(jié)果和Bell對類型.一旦所有信息被獲得，兩個用戶就判斷出他們間新建立的Bell態(tài).無論所建立量子信道是四種Bell態(tài)中的哪一種態(tài)，Alice和Bob都可采用各自的一些統(tǒng)一變換去完成部分未知單量子運算的遠程實施任務，且成功的概率為100%.本方案有幾個優(yōu)點：一是我們的方案不要求網(wǎng)絡中間節(jié)點共享的Bell對是同一類型的，這一優(yōu)點具有實際意義，因為在現(xiàn)實網(wǎng)絡中，許多節(jié)點在Bell對類型上可能是不同的.二是與量子中繼器中常用的序串糾纏交換方案比較，我們的方案可以減少通信延遲.三是本方案不需要所有相鄰節(jié)點之間的通信信道，只需要從每個中間節(jié)點到目的節(jié)點的一條路徑，這使得它在一些網(wǎng)絡中的應用更加方便.四是本方案是可擴展的，也可以用于有線或混合量子網(wǎng)絡.