馮桂群 于國海 孫國春

摘要：以“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)為例，探索自主創(chuàng)生教學(xué)的實(shí)踐路徑：課前備學(xué)中深度卷入，喚醒探究熱情;數(shù)學(xué)操作中深度體驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);多維互動(dòng)中深度探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律;高階發(fā)展中深度思考，建構(gòu)認(rèn)知圖式;多元表征中深度運(yùn)用，提升實(shí)踐素養(yǎng);數(shù)學(xué)反思中深度感悟，明晰人生哲理。

關(guān)鍵詞：自主創(chuàng)生;深度學(xué)習(xí);小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2021）11B-0036-05

縱觀當(dāng)下基礎(chǔ)教育課堂，雖然“素養(yǎng)為本”的教育理念已成共識(shí)，但是教學(xué)中“庸俗化的互動(dòng)、程序化的合作、膚淺化的探究”依然存在，學(xué)生的學(xué)習(xí)“簡單的復(fù)制、機(jī)械的記憶、膚淺的理解”[1]并未產(chǎn)生本質(zhì)改變。建構(gòu)“知、情、意、行、智、思”高度和諧的自主創(chuàng)生教學(xué)，是指向?qū)W生核心素養(yǎng)發(fā)展的實(shí)然路徑。所謂“自主創(chuàng)生”，是指通過課前備學(xué)、問題探究、模式構(gòu)建、變式應(yīng)用、思想提煉、哲理感悟等富有張力的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)習(xí)者主動(dòng)、生動(dòng)、靈動(dòng)地沉浸于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”過程，促進(jìn)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)發(fā)展循著創(chuàng)生階梯拾級(jí)而上，最大限度地釋放創(chuàng)造激情，展示創(chuàng)造潛能，誘發(fā)遷移創(chuàng)新，塑造創(chuàng)造人格。使學(xué)生成為有智性、靈性和德性的創(chuàng)新型人才。自主創(chuàng)生教學(xué)的核心是“創(chuàng)生”，關(guān)鍵是“自主”，自主創(chuàng)生教學(xué)運(yùn)行不會(huì)停滯于引領(lǐng)層面，也不是滿足于形式化、程序化的偽“創(chuàng)生”，而是通過知、情、意、行、智與思的高度和諧，指向“創(chuàng)生”的最高境界。具體的操作框架包括課前備學(xué)、數(shù)學(xué)操作、多維互動(dòng)、高階發(fā)展、多元表征、數(shù)學(xué)反思這六大學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，它們環(huán)環(huán)相扣、循環(huán)往復(fù)、逐步提升。具體實(shí)施過程中，六大環(huán)節(jié)可根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的難易程度和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行靈活刪減，從而使深度學(xué)習(xí)的效益最大化。本文以“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)為例，探索自主創(chuàng)生教學(xué)的實(shí)踐策略。

一、課前備學(xué)中深度卷入，喚醒探究熱情

課前備學(xué)是新知學(xué)習(xí)有效的“導(dǎo)火索”。教者通過巧設(shè)備學(xué)單，不僅讓學(xué)生借助操作、練習(xí)、調(diào)查等活動(dòng)喚醒相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)和已有舊知，為內(nèi)化新知打下伏筆，更能在備學(xué)中激發(fā)問題意識(shí)，在認(rèn)知失衡中點(diǎn)燃探究熱情，讓學(xué)生在新課開始之前就在潛意識(shí)里深度卷入對(duì)新知探究的渴望之中。

本課教學(xué)時(shí)，筆者設(shè)計(jì)的備學(xué)單主要內(nèi)容如下：①剪一剪、圍一圍、粘一粘：準(zhǔn)備3根同樣長的吸管，并按要求各自剪成3段后嘗試圍三角形（將3種情況粘在備學(xué)紙的反面）。②關(guān)于剪吸管圍三角形，你想研究哪些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題？試著提出1～2個(gè)問題。學(xué)生在有趣的備學(xué)中既動(dòng)手又動(dòng)腦，探究熱情一下子就被調(diào)動(dòng)起來了。精彩紛呈的備學(xué)作品不僅呈現(xiàn)了他們卷入備學(xué)的熱情與創(chuàng)意，也體現(xiàn)了他們強(qiáng)烈的問題意識(shí)，并反映出共同的思維障礙。比如：在南通市朝暉小學(xué)四（1）班的42份備學(xué)單中，學(xué)生提出的不同數(shù)學(xué)問題竟有19個(gè)，其中有18人提出：“為什么有的剪法能圍成三角形，有的不能？”有10人提出：“3根一樣長的吸管能拼成三角形嗎？”有8人提出：“三角形的三邊關(guān)系是怎樣的，三角形的三角和是多少？”從學(xué)生的提問中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的最大認(rèn)知困惑是“為什么兩邊之和等于第三邊時(shí)不能圍成三角形？”。根據(jù)備學(xué)中收集到的學(xué)情，筆者及時(shí)調(diào)整了學(xué)材的內(nèi)容與呈現(xiàn)順序，比如：有意添加了教材中沒有的“三條邊都是6厘米，能否圍成三角形”的練習(xí)，探究新知時(shí)故意先讓學(xué)生全力探索學(xué)習(xí)難點(diǎn)“兩邊之和等于第三邊時(shí)能否圍成三角形”等，從而在以學(xué)定教和以教促學(xué)中延續(xù)學(xué)生的探究熱情，消除學(xué)生的思維誤區(qū)，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供極具針對(duì)性和實(shí)效性的幫助。

二、數(shù)學(xué)操作中深度體驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

具身學(xué)習(xí)觀強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)是身體力行的。它需要身體的參與，需要反復(fù)實(shí)踐和親身經(jīng)歷，不論學(xué)習(xí)什么，身體在促進(jìn)學(xué)習(xí)者的意義理解和反思體驗(yàn)上都發(fā)揮著不可忽視的作用?！盵2]要想使學(xué)生真正理解并內(nèi)化知識(shí)，必須讓他們?cè)谥庇^而豐富的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)中充分經(jīng)歷和深度體驗(yàn)，尤其是在有趣的數(shù)學(xué)想象、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等活動(dòng)中完整地經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展與變化的全過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

本課開始，筆者先組織學(xué)生玩3組“剪紙條”的想象游戲：①想象一根長14厘米的紙條，在紙條的中點(diǎn)剪一刀，再將其中的一段分成2小段，使這2小段的長相差1厘米，剪成的3段分別長多少？（多媒體動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)剪紙條的過程和結(jié)果：7厘米、3厘米和4厘米。）②仍是14厘米長的紙條，想象如果離紙條中點(diǎn)偏右1厘米處剪一刀，再將其中短的一段分成2小段，使這2小段的長相差2厘米，剪成的3段分別是多少？（同上，結(jié)果為：8厘米、4厘米和2厘米。）③仍是14厘米長的紙條，想象如果離紙條中點(diǎn)1厘米處剪開，再將其中長的紙條分成2小段，使這2小段相差2厘米，剪成的3段分別長多少？（同上，結(jié)果為：6厘米、5厘米和3厘米。）之后立刻追問：大膽猜一猜，這3組紙條中，哪組紙條能圍成三角形？如何驗(yàn)證？于是以小組為單位進(jìn)行“剪一剪、圍一圍、填一填、說一說”的驗(yàn)證活動(dòng)，之后全班交流驗(yàn)證結(jié)果（表1）。

無論是備學(xué)中剪吸管，還是課上剪紙條，都強(qiáng)調(diào)了要從被剪物體的中點(diǎn)或離中點(diǎn)不遠(yuǎn)處剪開，并且都對(duì)應(yīng)3種情況：兩短邊之和等于第三邊，兩短邊之和小于第三邊，兩短邊之和大于第三邊;所不同的是，課上的想象操作與驗(yàn)證操作中出現(xiàn)了精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)。對(duì)比明顯、結(jié)構(gòu)性強(qiáng)、數(shù)據(jù)精確、活動(dòng)充分的剪圍游戲，不僅再次激起了學(xué)生的探究欲望，豐富了深度體驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，積累了鮮活的操作表象，更為后面借助鮮明對(duì)比、精準(zhǔn)計(jì)算和合情推理來研究三角形的三邊關(guān)系和突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)等，打下了扎實(shí)的感知基礎(chǔ)，成為學(xué)生由動(dòng)作思維引發(fā)形象思維與抽象思維的先決條件。

三、多維互動(dòng)中深度探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

新課程背景下的課堂教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)師生、生生之間的合作溝通與交往互動(dòng)。為此，教師應(yīng)著力引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行四方面的多維互動(dòng)：學(xué)生與文本互動(dòng)，學(xué)生與小組成員互動(dòng)，學(xué)生與全班互動(dòng)，學(xué)生與自己內(nèi)心互動(dòng)。在步步深入的多維互動(dòng)中，探究活動(dòng)由試誤走向創(chuàng)新、由表象深入本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維也由單一走向發(fā)散、由發(fā)散走向聚合，學(xué)生不僅從中感悟到數(shù)學(xué)規(guī)律的神奇魅力，更提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。

例如在剪紙條圍三角形的操作活動(dòng)中，學(xué)生憑直覺就能發(fā)現(xiàn)第2種情況肯定不能圍，第3種情況肯定能圍，但對(duì)第1種情況，學(xué)生分歧很大。為此，筆者及時(shí)組織生生、師生間的集體互動(dòng)與思維碰撞，在多向交流中深入淺出地攻破思維迷陣。首先，筆者借助多媒體的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，有序展示7厘米、4厘米和3厘米這3條線段由“首尾不相接”到“快要首尾相接”的奇妙畫面，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生想象出連接起來的兩條短邊與最長邊的位置關(guān)系（完全重合）。然后順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)形結(jié)合”中自發(fā)概括出：兩條短邊的和正好等于最長邊時(shí)（4+3=7），三條邊根本不能圍成三角形。難點(diǎn)突破后，引導(dǎo)學(xué)生在直接觀察與類比遷移中發(fā)現(xiàn)：第2種情況中，4+2<8，肯定不能圍成三角形;而第三種情況，5+3>6，肯定能圍成三角形。之后，繼續(xù)在互動(dòng)中進(jìn)行推想和計(jì)算并發(fā)現(xiàn)：既然兩短邊之和都比最長邊要長，那最長邊加上其中一條短邊，結(jié)果肯定比第三邊要長（6+5>3，6+3>5）。由此發(fā)現(xiàn)，在三角形中，任意兩邊長度的和大于第三邊;及時(shí)引導(dǎo)逆向思考后又發(fā)現(xiàn)“第三邊小于其余兩邊長度的和”。至此，認(rèn)知誤區(qū)被消解，數(shù)學(xué)規(guī)律被及時(shí)發(fā)現(xiàn)，知識(shí)碎片被巧妙地結(jié)為知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并被內(nèi)化，探究活動(dòng)真正得到深化與活化。

四、高階發(fā)展中深度思考，建構(gòu)認(rèn)知圖式

指向深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生快速穿越“淺層學(xué)習(xí)的感知、記憶、模仿”等低階層面，高效進(jìn)入以“推理、分析、探索、創(chuàng)生”為特征的高階思維層面，在深度思考中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，感悟數(shù)學(xué)思想的深邃與價(jià)值，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知圖式，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在本案例的上一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了兩條短邊之和大于第三邊，又借助計(jì)算和推想發(fā)現(xiàn)了“三角形中任意兩邊長度之和大于第三邊”，最后通過逆向思考還發(fā)現(xiàn)“第三邊小于其余兩邊長度的和”。顯然，這樣的學(xué)習(xí)深度還不夠，還需讓學(xué)生借助高階思維向知識(shí)更深處漫溯。為此，在基礎(chǔ)練習(xí)之后，筆者創(chuàng)設(shè)了一個(gè)圖文并茂的推理與創(chuàng)生情境：孫悟空有一根能伸能縮、變幻無窮的金箍棒，現(xiàn)在，他想用3厘米、5厘米的小棒和這根金箍棒圍成一個(gè)三角形，那這根金箍棒最長（整厘米數(shù)）可以是多少？最短呢？為什么？學(xué)生在獨(dú)立思考、小組合作和全體交流中，借助觀察直觀圖示，尤其是借助想象、分析、對(duì)比、推理等高階思維活動(dòng)，很快發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘：如圖1，如果第三邊是最長邊，因?yàn)榈谌呉∮趦蛇呏?，所以第三邊最長是3+5-1=7（厘米）。相反，如圖2，第三邊是最短邊時(shí)，再短也不能等于或小于其余兩邊之差，因?yàn)槿绻@樣，兩短邊之和就等于或小于最長邊了。所以，第三邊最短也要大于其余兩邊之差，結(jié)果是5-3+1=3（厘米）。至此，學(xué)生在想象、推理、分析、綜合、創(chuàng)造等高階思維的幫助下，頭腦里已經(jīng)生動(dòng)鮮活、層層深入地建構(gòu)了“三角形三邊關(guān)系”網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化、關(guān)聯(lián)化的知識(shí)圖式，即：三角形中，兩條短邊之和大于第三邊，任意兩邊的長度之和大于第三邊;反過來，第三邊不但要小于其余兩邊之和，還要大于其余兩邊之差;同時(shí)，學(xué)生的想象力、推理力和創(chuàng)造力等高階思維力也得到了錘煉，使深度思考真正發(fā)生。

五、多元表征中深度運(yùn)用，提升實(shí)踐素養(yǎng)

實(shí)踐運(yùn)用是鞏固知識(shí)、發(fā)展素養(yǎng)的必經(jīng)之路。指向深度學(xué)習(xí)的知識(shí)運(yùn)用教學(xué)，重在引導(dǎo)學(xué)生借助動(dòng)作表征、形象表征、言語表征和符號(hào)表征等，讓思維在具象、形象和抽象間順逆穿梭、自由跳躍、靈活轉(zhuǎn)換，進(jìn)而在提升數(shù)學(xué)理解力和執(zhí)行力的同時(shí)提升實(shí)踐素養(yǎng)。

本案例練習(xí)環(huán)節(jié)，筆者帶領(lǐng)學(xué)生回溯課始的剪紙條游戲，引發(fā)他們挑戰(zhàn)更開放的數(shù)學(xué)問題：一根長14厘米的紙條，從中點(diǎn)處剪一刀，最長邊是7厘米，這樣剪成的3根小紙條是不能圍成三角形的。由此看來，最長邊如果是整厘米數(shù)，最長只能是多少？如何列式？（14÷2-1=6）利用今天所學(xué)的知識(shí)，你能不再擺學(xué)具，而直接借助較直觀的數(shù)學(xué)圖形或較抽象的思維導(dǎo)圖、言語表述等，將頭腦里想到的所有剪后能圍成三角形的情況，一個(gè)不漏地列出來嗎？于是學(xué)生以4人小組為單位，饒有興趣地尋找所有可能的結(jié)果。很快，學(xué)生們借助畫三角形、網(wǎng)狀圖、樹狀圖等，將所有的答案一一找了出來。以下是3種有代表性的思路表征（圖3—圖5）：

在此前用吸管或紙條圍三角形的具體操作中，學(xué)生充分經(jīng)歷了動(dòng)作表征，在探究活動(dòng)中又借助圖像表征和符號(hào)表征建構(gòu)了關(guān)于三角形三邊關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，所以在實(shí)際運(yùn)用階段，學(xué)生順利地?cái)[脫了操作層面的動(dòng)作表征，而直接借助圖形表征、符號(hào)表征以及言語表征等，多角度展現(xiàn)問題解決的過程與結(jié)果，讓開放思維與創(chuàng)新思維的過程可視化和多樣化，展現(xiàn)了可貴的創(chuàng)新精神和強(qiáng)大的實(shí)際運(yùn)用能力。

六、數(shù)學(xué)反思中深度感悟，明晰人生哲理

深化課程改革的根本任務(wù)是落實(shí)“立德樹人”的目標(biāo)，為中華民族偉大復(fù)興培育更多有擔(dān)當(dāng)、敢創(chuàng)新的棟梁之材。為此，數(shù)學(xué)教師在課堂上不僅要對(duì)學(xué)生進(jìn)行人文關(guān)懷，竭盡全力地將科學(xué)、社會(huì)、歷史、文學(xué)、藝術(shù)等資源及時(shí)融入課堂，更要引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)學(xué)反思”，去感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的理性智慧和人文情懷，明晰人生哲理，樹立正確的人生觀和價(jià)值觀，真正提升科學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng)。

比如，在本案例的課始，筆者直接借助一句名言引導(dǎo)學(xué)生反思：“愛因斯坦說得好，提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要。課前備學(xué)中，你頭腦里冒出的數(shù)學(xué)問題是什么？”學(xué)生自由交流之后，筆者及時(shí)肯定：“真善于提問！有疑問才有發(fā)現(xiàn)。下面就帶著這些問題一起來研究三角形的三邊關(guān)系。”課中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“三角形的第三邊要小于其余兩邊之和，同時(shí)又要大于其余兩邊之差”時(shí)，筆者說：“有句話說得好，沒有規(guī)矩——”學(xué)生接：“不成方圓?！惫P者繼續(xù)提示：“圍三角形時(shí)，兩邊之和不符合要求（等于或小于第三邊）——”學(xué)生回答：“圍不成三角形?！惫P者又說：“符合要求——”學(xué)生說：“就圍成了三角形?！惫P者做總結(jié)：“看來，誰都不可以無法無天、肆意妄為，在圖形的王國里也不例外。”學(xué)生們聽后，大多心領(lǐng)神會(huì)地粲然一笑，似有所悟。課尾，筆者則引導(dǎo)學(xué)生在回望中反思：“通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？大家還有哪些想研究的問題？”學(xué)生們的提問熱情很高，如“三角形還有沒有別的性質(zhì)？”“三角形的三角和有什么特點(diǎn)？”“三角形的面積如何算？”等。筆者接過話茬，意味深長地說：“同學(xué)們提的問題都非常好，這些都等待大家進(jìn)一步去研究、發(fā)現(xiàn)，正所謂學(xué)無止境?！痹谝陨戏此歼^程中，啟發(fā)學(xué)生愛提問、勤思考，懂得敬畏和自律，保持永無止境的探究熱情和創(chuàng)新動(dòng)力，使“數(shù)德”在潛移默化中成為學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵要素。當(dāng)然，這樣的學(xué)習(xí)反思，還可以延伸到課后，讓學(xué)生在課余時(shí)間寫一寫近期在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的感受與體會(huì)，在自我反省中“轉(zhuǎn)識(shí)成智、化知成德、智德兼修”[2]，并逐漸成長為有德性、有靈性、有悟性的人。

參考文獻(xiàn)：

[1]安富海.促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)策略研究[J].課程·教材·教法，2014（11）：59.

[2]于國海.指向深度學(xué)習(xí)的知識(shí)教學(xué)——以小學(xué)數(shù)學(xué)為例[J].基礎(chǔ)教育課程，2020（11）：40.

責(zé)任編輯：賈凌燕

本文獲2020年江蘇高?！扒嗨{(lán)工程”資助，系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于兒童立場的小學(xué)數(shù)學(xué)‘三動(dòng)課堂的實(shí)踐研究”（D/2018/02/295）、教育部職業(yè)院校教指委立項(xiàng)課題“‘雙考視域下職前教師專業(yè)實(shí)踐素養(yǎng)發(fā)展研究”（2020JZWZXXKT31）研究成果。

收稿日期：2021-06-01

作者簡介：馮桂群，南通大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（江蘇南通，226001）碩士研究生，江蘇省南通師范學(xué)校第一附屬小學(xué)正高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育;于國海，南通師范高等?？茖W(xué)校（江蘇南通，226001），教授，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育;孫國春，南通師范高等?？茖W(xué)校（江蘇南通，226001）副校長，教授，主要研究方向?yàn)樾W(xué)教師教育。