范文貴，李 燕

小學(xué)生解決萬以內(nèi)退位減法錯(cuò)誤類型及影響研究

范文貴1，李 燕2

（1．天津師范大學(xué) 教育學(xué)部，天津 300387；2．山西省大同市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，山西 大同 037000）

解決退位減法問題是運(yùn)算的基礎(chǔ)之一，國際學(xué)者非常重視退位減法問題研究．以Carla Fiori等人研究結(jié)果為基礎(chǔ)，利用問卷調(diào)查方法對天津市4所小學(xué)455名學(xué)生進(jìn)行測驗(yàn)．結(jié)果表明，學(xué)生解決退位減法問題包括5類錯(cuò)誤：退位錯(cuò)誤、使用運(yùn)算法則錯(cuò)誤、位值理解錯(cuò)誤、混淆退位含義、其它錯(cuò)誤；經(jīng)過回歸分析和相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)退位錯(cuò)誤對總失分影響最大．退位減法教學(xué)策略建議：明確跨0退位減法運(yùn)算程序，多維度滲透位值制，利用圖示表征退位減法算理，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新問題解決方法．

小學(xué)生；退位減法；錯(cuò)誤類型；教學(xué)策略

1 問題提出

整數(shù)計(jì)算涉及到多種計(jì)算法則的綜合使用．學(xué)生依據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行多位數(shù)計(jì)算時(shí)，把計(jì)算過程分解成許多步，使得每一步都只涉及一位數(shù)或者兩位數(shù)的計(jì)算．整數(shù)除法、小數(shù)減法與除法都與整數(shù)減法相關(guān)，解決“萬以內(nèi)退位減法”既檢驗(yàn)學(xué)生掌握兩位數(shù)減法水平，又是后續(xù)整數(shù)除法、小數(shù)減法的基礎(chǔ)．

退位減法問題研究是國際數(shù)學(xué)教育研究者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一．Torbeyns等人研究結(jié)果顯示：大多數(shù)學(xué)生總是依靠一種策略來解決退位減法問題，只有少數(shù)成績較好的學(xué)生表現(xiàn)出解決退位減法策略的多樣性和靈活性[1]．四年級學(xué)生可以有效地使用間接加法策略解決退位減法．間接加法是一種有效的計(jì)算策略，間接加法可以促進(jìn)學(xué)生更深刻地理解數(shù)字組成和數(shù)學(xué)問題解決過程．與大差問題（如，913-27）相比，學(xué)生更愿意使用間接加法解決小差問題（如，802-778）[2]．Carla Fiori等人將學(xué)生解決退位減法出現(xiàn)的錯(cuò)誤分為5類，其中帶0的被減數(shù)錯(cuò)誤率較高，“從0退位”是最容易引起學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的[3]．國際研究成果引發(fā)對“退位減法問題研究”的深入思考．由于退位減法的復(fù)雜性，小學(xué)生并不能完全理解它的算理．學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤背后隱藏著計(jì)算法則錯(cuò)誤，學(xué)生在執(zhí)行計(jì)算過程中運(yùn)用錯(cuò)誤的程序性知識(shí)．有的教師只是將學(xué)生的算術(shù)計(jì)算錯(cuò)誤看成由學(xué)生的粗心或者不良計(jì)算習(xí)慣造成的，這是片面的認(rèn)識(shí)．

學(xué)生解決萬以內(nèi)退位減法現(xiàn)狀如何？研究將為教師提供小學(xué)生解決“萬以內(nèi)退位減法問題”出現(xiàn)錯(cuò)誤類型及其原因，有助于教師更好地把握學(xué)生解決減法問題的表現(xiàn)，為教師開展退位減法教學(xué)以及整數(shù)除法、小數(shù)減法教學(xué)奠定基礎(chǔ)，以確保學(xué)生有機(jī)會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上取得成功．

2 學(xué)生解決退位減法問題研究基礎(chǔ)

2.1 關(guān)于“錯(cuò)誤”

van Lehn對學(xué)生解決問題持續(xù)發(fā)生的程序錯(cuò)誤進(jìn)行分析，反映出學(xué)生缺乏概念知識(shí)的程序錯(cuò)誤與偶爾發(fā)生的程序錯(cuò)誤；一些數(shù)學(xué)事實(shí)錯(cuò)誤是由于學(xué)生的算法不規(guī)范而導(dǎo)致的．這些錯(cuò)誤反映學(xué)生從長期記憶中檢索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算的困難或使用不正確計(jì)數(shù)策略[4]學(xué)生的普遍錯(cuò)誤不同于隨機(jī)錯(cuò)誤，有些錯(cuò)誤概念即使經(jīng)教師一再提出證據(jù)講解、提醒，仍然重復(fù)出現(xiàn)．有一些錯(cuò)誤概念具有歷史前導(dǎo)（historical precedence），意指當(dāng)前學(xué)生所犯的錯(cuò)誤，以前的學(xué)生也發(fā)生過．學(xué)生的錯(cuò)誤概念并非是隨機(jī)發(fā)生的，他們的概念發(fā)展類似于科學(xué)歷史的演進(jìn)．錯(cuò)誤能夠反映出學(xué)生在解決問題時(shí)的內(nèi)在思維過程；換個(gè)視角來看，將錯(cuò)誤從負(fù)面的學(xué)習(xí)失敗轉(zhuǎn)化為診斷學(xué)習(xí)的工具，展示錯(cuò)誤有其教育上重要的價(jià)值[5]．不同的人會(huì)有同樣的錯(cuò)誤，具有系統(tǒng)性，通?？梢哉业秸_的理論加以解釋．有一些錯(cuò)誤是個(gè)體所獨(dú)有的，必須觀察學(xué)生回答一連串問題的反應(yīng)后，理解學(xué)生思考特點(diǎn)．

學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤除了基本運(yùn)算過程的偶然錯(cuò)誤之外，最主要是來自于系統(tǒng)性的錯(cuò)誤，而且這樣的系統(tǒng)性錯(cuò)誤多是在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生．學(xué)生通常不知道他們使用了錯(cuò)誤的計(jì)算過程，而認(rèn)為他們所使用的計(jì)算過程是正確的，錯(cuò)誤是隨機(jī)出現(xiàn)的．學(xué)生只是將錯(cuò)誤的運(yùn)算過程固著于認(rèn)知過程中，這種錯(cuò)誤就很不容易改變，會(huì)影響以后的學(xué)習(xí)效果．

Ashlock指出：計(jì)算的錯(cuò)誤并非是由于粗心或缺乏過程性知識(shí)所造成的，錯(cuò)誤是由于不完全的學(xué)習(xí)和漸漸養(yǎng)成習(xí)慣所造成的．學(xué)生使用不同種類的錯(cuò)誤過程，會(huì)產(chǎn)生更多種類的錯(cuò)誤，因此分析學(xué)生錯(cuò)誤的類型，探究學(xué)生犯這類錯(cuò)誤所使用錯(cuò)誤策略的原因，可作為改進(jìn)教學(xué)的指導(dǎo)方向[6]．Blando研究結(jié)果則顯示學(xué)生一再犯同樣的錯(cuò)誤，表示其對數(shù)學(xué)基本概念的誤解[7]．學(xué)生錯(cuò)誤的答案通常有一部分是正確的，它反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)理解程度；找出錯(cuò)誤的部分并且理解為什么它是錯(cuò)的，將會(huì)為學(xué)生的理解能力和元認(rèn)知能力的發(fā)展提供強(qiáng)有力的幫助．

上述關(guān)于“錯(cuò)誤”研究，確定錯(cuò)誤的頻繁性、穩(wěn)定性和普遍性，闡明錯(cuò)誤矯正的復(fù)雜性與反復(fù)性．這些結(jié)論對小學(xué)生的退位減法解題錯(cuò)誤的分類與歸因具有指導(dǎo)作用．對學(xué)生錯(cuò)誤模式的定性分析，為教師提供識(shí)別學(xué)生錯(cuò)誤類型并確定學(xué)生的誤解和困難的機(jī)會(huì)．如果這些錯(cuò)誤模式未及早糾正，則錯(cuò)誤模式可能會(huì)持續(xù)存在，影響學(xué)生更高層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

2.2 學(xué)生解決退位減法的錯(cuò)誤

國際學(xué)者開展退位減法問題研究，從不同角度將錯(cuò)誤進(jìn)行分類．解決多位數(shù)的退位減法問題，當(dāng)0在中間位數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生特別一類的退位錯(cuò)誤類型[11]．Carla Fiori 給出4個(gè)錯(cuò)誤類型：E1（借位技術(shù)錯(cuò)誤，忘記退位），E2（不需要借位，而出現(xiàn)借位），E3（基礎(chǔ)計(jì)算錯(cuò)誤，例如：計(jì)算20以內(nèi)減法錯(cuò)誤），E4（疏忽，或者抄錯(cuò)數(shù)等）[3]．Raghubar將學(xué)生的錯(cuò)誤分為5類：基礎(chǔ)計(jì)算技能（14-8=5），豎式計(jì)算中用大數(shù)減小數(shù)（83-44=41，即個(gè)位4-3=1），忘記退位后減1（742-136=616，其中十位4-3=1，忘記從4退1，只剩下3），跨越0借位出現(xiàn)“0-N=N”模式（例如，106-70=176，其中十位0-7=7)，其它錯(cuò)誤（視覺監(jiān)控錯(cuò)誤：計(jì)算結(jié)果中多一個(gè)9，如圖1），馬虎[12]．西班牙學(xué)者從“書寫數(shù)字的錯(cuò)誤、數(shù)字位置錯(cuò)誤、運(yùn)用計(jì)算法則錯(cuò)誤、重組減法錯(cuò)誤（忘記退位、或者總是退位）”等方面對學(xué)生解決退位減法所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行分類[13]．Watson等人研究葡萄牙小學(xué)生加減計(jì)算問題，確定減法錯(cuò)誤類型，包括計(jì)算錯(cuò)誤、退位錯(cuò)誤、有關(guān)0的錯(cuò)誤、用大數(shù)字減小數(shù)字、遺漏數(shù)字等[14]．Riccomini研究發(fā)現(xiàn)：只有60%的教師正確地識(shí)別學(xué)生進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)的兩類系統(tǒng)性錯(cuò)誤（smaller-from-larger（SFL））和borrowing across a zero digit（BAZ）的問題[15]．

圖1 視覺監(jiān)控錯(cuò)誤

學(xué)生解決退位減法可以采用以下策略：分解策略（例如，學(xué)生嘗試分解兩個(gè)整數(shù)的多個(gè)百位、十位和個(gè)位，并分別減去它們）；順序策略（例如，457-298=？先減去數(shù)個(gè)百，接下來減去數(shù)個(gè)十，最后由第二個(gè)整數(shù)減去第一個(gè)未分割整數(shù)）；多變的策略（它涉及到學(xué)生根據(jù)對數(shù)字關(guān)系的理解或算術(shù)運(yùn)算的屬性靈活調(diào)整問題中的數(shù)字和操作）[16]．Nemeth等人研究結(jié)果表明，在引入標(biāo)準(zhǔn)書寫算法后，不管數(shù)字的特點(diǎn)如何，學(xué)生都主要使用它．學(xué)生靈活使用數(shù)字分解（補(bǔ)償）策略解決多位數(shù)字減法問題頻率偏低[17]．Fischer等從答案的正確性方面分析學(xué)生使用計(jì)算方法解決退位減法問題的有效性，明確學(xué)生運(yùn)算結(jié)果正確率與使用的書面計(jì)算方法密切相關(guān)．與三年級學(xué)生相比，五年級學(xué)生更多選擇分解方法來解決退位減法問題[18]．

綜上，退位減法的相關(guān)研究受到諸多國際研究者關(guān)注．研究者基于定量和定性層面開展退位減法解題錯(cuò)誤研究，識(shí)別錯(cuò)誤分類，確定錯(cuò)誤的特征．這些研究成果構(gòu)成對學(xué)生解決退位減法問題的錯(cuò)誤進(jìn)行分類研究的一個(gè)基本模型，是退位減法錯(cuò)誤類型研究的重要理論來源之一．

3 研究問題與設(shè)計(jì)

3.1 研究問題

基于以上文獻(xiàn)分析，確定3個(gè)研究問題：（1）學(xué)生解決“萬以內(nèi)退位減法”的錯(cuò)誤類型及相關(guān)分析；（2）學(xué)生解決“萬以內(nèi)退位減法”出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因；（3）基于錯(cuò)誤原因分析，提出開展退位減法教學(xué)策略．

3.2 研究工具與數(shù)據(jù)分析方法

研究對象來自天津市南開區(qū)WML小學(xué)、河西區(qū)LZ小學(xué)、西青區(qū)DLT小學(xué)以及寧河區(qū)LY小學(xué)的三年級學(xué)生，每所小學(xué)隨機(jī)選取測試班級，有效試卷共計(jì)455份，占總數(shù)98.6%．其中市區(qū)小學(xué)兩所，郊區(qū)小學(xué)兩所．

為了考查學(xué)生關(guān)于退位減法的算理和分步計(jì)算的理解能力，研究采用自編退位減法測試題．包括4個(gè)維度：

（1）被減數(shù)不含0且不含1的退位減法，共5個(gè)題；

（2）被減數(shù)含0但不含1的退位減法，共5個(gè)題（其中包括三位數(shù)減法4個(gè)題、四位數(shù)減法1個(gè)題）；

（3）被減數(shù)含1但不含0的退位減法，共9個(gè)題（其中包括三位數(shù)減法6個(gè)題、四位數(shù)減法3個(gè)題）；

（4）被減數(shù)既含0又含1的退位減法，共4個(gè)題（都是四位數(shù)減三位數(shù)的題）．還設(shè)計(jì)3個(gè)選擇題，共計(jì)26個(gè)計(jì)算題，學(xué)生用40分鐘完成．

研究試卷總計(jì)90分，按位值計(jì)算得分，即個(gè)、十、百、千位得分互不干擾，計(jì)算正確一位就得一分．在測驗(yàn)卷中學(xué)生扣掉一分代表一種錯(cuò)誤．最后統(tǒng)計(jì)每一位學(xué)生在每一題上的得分及總分，形成EXCEL數(shù)據(jù)表，并利用SPSS軟件對“退位錯(cuò)誤、運(yùn)用運(yùn)算法則錯(cuò)誤、位值理解錯(cuò)誤、混淆退位含義、其它錯(cuò)誤”進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．

3.3 信度和效度

為了更進(jìn)一步研究學(xué)生解決萬以內(nèi)退位減法的錯(cuò)誤類型及不同錯(cuò)誤類型對學(xué)生學(xué)習(xí)退位減法的影響大小，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求和人教版教材內(nèi)容，確定測試內(nèi)容．首先，通過整理大量文獻(xiàn)，借鑒國際研究成果的試題結(jié)構(gòu)，在綜合研究的基礎(chǔ)上編制了萬以內(nèi)退位減法測試卷．然后，邀請心理學(xué)專家、數(shù)學(xué)教育專家對劃分測試維度和指標(biāo)、組卷前測試題目與相關(guān)測試指標(biāo)的適切性進(jìn)行有效評估．接著，分別從測試評價(jià)和課堂教學(xué)等不同角度讓教研員、小學(xué)數(shù)學(xué)教師對測試題內(nèi)容、難度提出意見（例如，原題有的數(shù)字偏大，多次退位、難度大）．最后，研究者對測試內(nèi)容進(jìn)行反復(fù)斟酌，研討每一個(gè)試題，對測試卷進(jìn)行兩次修改，力求提高問卷的內(nèi)容效度．信效度分析結(jié)果如表1、表2所示．

表1 信度分析結(jié)果

表2 效度分析結(jié)果

4 錯(cuò)誤類型對總失分影響的統(tǒng)計(jì)分析

4.1 錯(cuò)誤類型失分與總失分之間積差相關(guān)

基于上述相關(guān)文獻(xiàn)分析，結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，綜合專家、小學(xué)數(shù)學(xué)教師訪談的結(jié)果，確定學(xué)生錯(cuò)誤分析的5個(gè)維度：退位錯(cuò)誤、運(yùn)用運(yùn)算法則錯(cuò)誤、位值理解錯(cuò)誤、混淆退位含義、其它錯(cuò)誤．

表3 錯(cuò)誤類型及試卷測評指標(biāo)

進(jìn)一步研究5種錯(cuò)誤類型與學(xué)生總失分之間的影響程度，利用積差相關(guān)系數(shù)分析總失分與不同錯(cuò)誤類型的關(guān)系，結(jié)果如表4所示．

表4 測驗(yàn)總失分與5種錯(cuò)誤之間相關(guān)矩陣

注：*表示<0.05，**表示<0.01

從表4中可以看出，測驗(yàn)卷的總失分與歸類后5種錯(cuò)誤類型以及5種錯(cuò)誤類型之間在<0.01水平（雙側(cè)）上都呈顯著正相關(guān)．其中，總失分與退位錯(cuò)誤兩者呈高度正相關(guān)（=0.849），表明學(xué)生犯退位錯(cuò)誤越多，對總失分影響越大．退位錯(cuò)誤與運(yùn)算法則錯(cuò)誤（=0.330）、混淆退位含義（=0.103）、其它錯(cuò)誤（=0.375）之間呈低度相關(guān)；運(yùn)算法則錯(cuò)誤與其它錯(cuò)誤（=0.356）、位值與占位錯(cuò)誤（=0.111）之間呈低度相關(guān)，與總失分（=0.535）之間呈中度相關(guān)；位值與占位錯(cuò)誤與其它錯(cuò)誤（=0.209）之間呈低度相關(guān)，與總失分之間（=0.294）之間呈低度相關(guān)；混淆退位含義與總失分（=0.197）之間呈低度相關(guān)；其它錯(cuò)誤與總失分（=0.761）之間呈高度相關(guān)；除此以外其它兩兩錯(cuò)誤類型之間并沒有顯著相關(guān)性．

4.2 回歸分析

回歸分析不僅可以定量揭示不同錯(cuò)誤類型失分與總失分之間的影響大小，還可以通過回歸方程對總失分進(jìn)行預(yù)測和控制．對5種錯(cuò)誤類型進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的回歸分析（表5）．

表5 回歸系數(shù)

從表5的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來看，退位錯(cuò)誤、運(yùn)用運(yùn)算法則錯(cuò)誤、位值理解錯(cuò)誤、混淆退位含義、其它錯(cuò)誤對總失分存在顯著性影響．5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)中，退位錯(cuò)誤的系數(shù)最大（0.497）．減法計(jì)算過程中的錯(cuò)誤主要是正確規(guī)則的缺失或者不恰當(dāng)?shù)匾肓似渌?jì)算技能的規(guī)則．“退1作10”是高階到低階單位轉(zhuǎn)換的過程，同時(shí)在運(yùn)算過程中，退位數(shù)位發(fā)生的變化是非典型分割的過程．相關(guān)的退位錯(cuò)誤又可分為多個(gè)種類，例如，越過“0”借位，即在借位遇到0時(shí)，跳過0向前一數(shù)位借；忘記退位（例如，63-57=16），也常有學(xué)生對借位的時(shí)機(jī)做出錯(cuò)誤判斷，即不該借位時(shí)卻借位（詳見下文有關(guān)案例）．回歸分析結(jié)果表明：在5種錯(cuò)誤中，退位錯(cuò)誤對總失分影響更大一些．研究結(jié)果進(jìn)一步說明：學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤并非隨機(jī)發(fā)生，不同人會(huì)犯相同錯(cuò)誤，一些錯(cuò)誤具有普遍性，退位錯(cuò)誤應(yīng)引起教師重視．

5 退位減法運(yùn)算錯(cuò)例及原因分析

學(xué)生學(xué)習(xí)減法程序性知識(shí)即是獲取恰當(dāng)新的運(yùn)算法則．學(xué)生計(jì)算退位減法出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因：正確運(yùn)算法則的缺失或者不恰當(dāng)?shù)匾肓似渌?jì)算技能的規(guī)則．下面結(jié)合案例，分析學(xué)生解決退位減法的5種錯(cuò)誤的原因．

5.1 退位錯(cuò)誤

前面量化分析中，退位錯(cuò)誤是減法運(yùn)算中錯(cuò)誤率最高的類型．案例分析學(xué)生退位錯(cuò)誤的原因，如圖2，個(gè)位上0減9不夠減，向十位借位，十位上5退位后應(yīng)該減去1變?yōu)?，但學(xué)生在處理時(shí)仍然采用5-4=1，導(dǎo)致錯(cuò)誤．學(xué)生在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，某一位上數(shù)值不夠減，學(xué)生知道需要向前一位借位后進(jìn)行計(jì)算，但存在忘記退位的現(xiàn)象．

學(xué)生解決運(yùn)算問題涉及記取關(guān)鍵要素及其相互關(guān)系．學(xué)生在解題時(shí)，往往在認(rèn)知負(fù)荷較大的步驟上產(chǎn)生較多的錯(cuò)誤，其錯(cuò)誤的原因并非沒有掌握有關(guān)的解題規(guī)則，而是其工作記憶的容量有限的緣故[19]．

圖2 退位錯(cuò)誤（1）

有證據(jù)表明退位減法運(yùn)算增加了問題難度，特別是連續(xù)退位，需要學(xué)生記憶多步退位[20]．受加法進(jìn)位順序影響，學(xué)生直接按照進(jìn)位加的順序標(biāo)注退位點(diǎn)．這將引起退位混亂，有的學(xué)生忘記某數(shù)位是否退位（特別是被減數(shù)中間帶0或者幾百、幾千）．忘記退位的突出表現(xiàn)在解決連續(xù)退位，特別是解決被減數(shù)帶0的退位減法，學(xué)生出錯(cuò)明顯．當(dāng)學(xué)生嘗試從零借來并且不繼續(xù)從零向左的退位時(shí)（圖3，602-437=265，學(xué)生沒有從百位借1），發(fā)生向零位數(shù)字借位．

認(rèn)知發(fā)展不僅是掌握復(fù)雜的規(guī)則，而且必須能夠抑制先前獲得的一些經(jīng)過熟練學(xué)習(xí)和使用的知識(shí)與技能．受到負(fù)遷移學(xué)生錯(cuò)誤判斷借位的時(shí)機(jī)，即不該借位時(shí)卻借位．學(xué)生先前所接受的知識(shí)技能對即將要解決問題造成干擾，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的現(xiàn)象．有的學(xué)生還出現(xiàn)不需要退位卻退位的狀況．如圖4，個(gè)位上0減9不夠減，向十位借1．在計(jì)算十位時(shí)，雖然十位上4減4夠減，但學(xué)生仍然向百位借1．

圖3 退位錯(cuò)誤（2）

圖4 退位錯(cuò)誤（3）

如圖5，在運(yùn)算1?000減777時(shí)，在被減數(shù)個(gè)位0上也點(diǎn)了退位點(diǎn)，沒有考慮到個(gè)位是否有退位需求或是個(gè)位退位的合理性，體現(xiàn)出學(xué)生見到0即想退位的思維定勢．如圖6，明顯十位夠減，但是學(xué)生還是在被減數(shù)的百位上點(diǎn)退位點(diǎn)．

圖5 退位錯(cuò)誤（4）

圖6 退位錯(cuò)誤（5）

當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算、建構(gòu)知識(shí)時(shí)，企圖利用自己的觀念去修正所學(xué)的知識(shí)，因此造成了錯(cuò)誤的觀念，并在往后的作業(yè)中一再出現(xiàn)相同的錯(cuò)誤類型．有的學(xué)生出現(xiàn)“退位兩次”的錯(cuò)誤，特別是連續(xù)退位減法中，對某一數(shù)位上連續(xù)退位兩次，即計(jì)算時(shí)將本位上的數(shù)字減去2進(jìn)行計(jì)算．例如圖7，學(xué)生運(yùn)算400減165時(shí)給出他的自然的錯(cuò)誤解法：“我先列豎式，相同數(shù)位對齊，從個(gè)位開始減，個(gè)位上是0，0減5不夠減，向十位借，十位上是0，借不到，所以向百位借，并在4上面點(diǎn)上個(gè)點(diǎn)，借1當(dāng)10，10減5等于5；再算十位，十位上也是0，0減6不夠減，所以再向百位的4借1當(dāng)10，再點(diǎn)上一個(gè)點(diǎn)，十位的10減6等于4；再算百位，百位上的4借了兩次，所以還剩下2，2減1等于1．所以，400-165=145．”

圖7 退位錯(cuò)誤（6）

5.2 使用運(yùn)算法則錯(cuò)誤

在解題過程中，學(xué)生遇到困難，不會(huì)立即放棄，會(huì)尋求其它法則來解決問題，若是在尋求其它解決方法中有誤，則整個(gè)解答過程便會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．作減法時(shí)，有的學(xué)生雖然明白不夠減需要退位，但在實(shí)際的運(yùn)算中，卻采用的是加法的運(yùn)算法則，在同一個(gè)減法計(jì)算中，學(xué)生一會(huì)采用減法，一會(huì)采用加法計(jì)算，導(dǎo)致運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤．圖8中，個(gè)位數(shù)字是3減7不夠減，學(xué)生明白需要向前一位借1，但在實(shí)際中卻直接將大數(shù)7減去小數(shù)3，將所得結(jié)果4寫在差的位置．

有的學(xué)生依據(jù)自己先前學(xué)習(xí)的知識(shí)建構(gòu)出不適當(dāng)或錯(cuò)誤的運(yùn)算規(guī)則．他們學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，對正確的運(yùn)算規(guī)則做出過度類比或臆想，誤用舊經(jīng)驗(yàn)解決新問題，新的知識(shí)與舊經(jīng)驗(yàn)相互干擾產(chǎn)生錯(cuò)誤．當(dāng)學(xué)生不了解教師所教授的知識(shí)和書本的說明時(shí)，學(xué)生會(huì)企圖利用自己的觀念去改變所學(xué)的知識(shí)，因而造成錯(cuò)誤．有的學(xué)生在計(jì)算時(shí)，將退位后所得10直接減去減數(shù)上所對應(yīng)數(shù)位，將所得結(jié)果寫在差相應(yīng)數(shù)位上，而不加上被減數(shù)中原位置上數(shù)字，出現(xiàn)程序錯(cuò)誤．圖9中，十位上退位后為2，2減4不夠減，向百位借1，學(xué)生將百位退1后得到的10直接減去4，而沒有加上十位上數(shù)字2，而出現(xiàn)錯(cuò)誤．

圖8 退位錯(cuò)誤（7）

圖9 退位錯(cuò)誤（8）

5.3 位值理解錯(cuò)誤

5.3.1 位值含義理解錯(cuò)誤

由于數(shù)學(xué)程序知識(shí)與概念知識(shí)之間的密切關(guān)系，學(xué)生的程序錯(cuò)誤反映出學(xué)生缺乏十進(jìn)制位置概念系統(tǒng)知識(shí)．David M M研究表明：學(xué)生解決退位減法最頻繁出現(xiàn)的錯(cuò)誤模式來自于缺乏對位值制數(shù)字系統(tǒng)的意義理解[12]．對于被減數(shù)的數(shù)字經(jīng)過借位或數(shù)字重組后，有的學(xué)生認(rèn)為數(shù)字在借位前和借位后，被減數(shù)的數(shù)值會(huì)改變．

在學(xué)習(xí)歷程中，概念的混淆常常是來自記憶中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的相互干擾．需要退“1”作十解決退位減法問題時(shí)，一些學(xué)生不能將十進(jìn)制與豎式減法聯(lián)系起來[21]．如圖10，學(xué)生在表示十位的方框中寫10，則被減數(shù)就變成“53?101”不是原來的四位數(shù)，因改變豎式計(jì)算中位值本身的含義而出現(xiàn)錯(cuò)誤．學(xué)生使用自己的方法解決問題并且感到滿意，而不管題目的原義，只要能求出他認(rèn)為對的答案就可以了．

圖10 退位錯(cuò)誤（9）

5.3.2 首位誤用0占位

學(xué)生誤用記數(shù)規(guī)則．如圖11、圖12，在測驗(yàn)中，有的學(xué)生忘記記數(shù)規(guī)則，在計(jì)算時(shí)遇到首位上得數(shù)為0時(shí)，首位上仍然寫0占位．

圖11 退位錯(cuò)誤（10）

圖12 退位錯(cuò)誤（11）

5.4 混淆退位含義

在不連續(xù)退位情況下，減法退位順序與加法進(jìn)位順序相似，左側(cè)數(shù)退“1”，退到右側(cè)數(shù)位形成退“1”作十，與右側(cè)數(shù)位上的數(shù)組合（這是數(shù)字等價(jià)變換），但是有的學(xué)生存在理解錯(cuò)誤．

5.4.1 混淆1退位后含義

當(dāng)被減數(shù)中含有1的減法在向1退位時(shí)，有的學(xué)生將1看作10，1退位后變成9，當(dāng)計(jì)算1所在數(shù)位時(shí)按照退位后所得9來進(jìn)行計(jì)算．如在圖13中，個(gè)位上4減7不夠減，向十位借1，退位后個(gè)位變成14減7得7；十位上學(xué)生將1退位后當(dāng)作9，9減3得6，出現(xiàn)錯(cuò)誤．

5.4.2 混淆0退位后含義

針對“從0退位的錯(cuò)誤”的類型，以往研究中有多位數(shù)的退位問題，當(dāng)0在中間位數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生特殊的退位錯(cuò)誤類型．如圖14，被減數(shù)中含有兩個(gè)0，十位上“1”點(diǎn)上一個(gè)退位點(diǎn)后，個(gè)位“0”的含義變?yōu)?0，10減9得1，第二個(gè)“0”在百位，由于已經(jīng)退過位，此時(shí)百位“0”上點(diǎn)退位點(diǎn)的含義為9，而學(xué)生仍然將此“0”當(dāng)作10來計(jì)算而出錯(cuò)．

5.5 其它錯(cuò)誤

圖13 退位錯(cuò)誤（12）

圖14 退位錯(cuò)誤（13）

在退位減法計(jì)算中，學(xué)生已經(jīng)掌握基本算理，運(yùn)算過程也正確，但由于粗心出現(xiàn)的個(gè)別錯(cuò)誤，如：抄錯(cuò)題、遺漏數(shù)字、馬虎、空題等錯(cuò)誤，由于這些因素并不是學(xué)生在退位減法中加強(qiáng)算理等認(rèn)知因素所引起的，在測驗(yàn)中將此類錯(cuò)誤歸為其它錯(cuò)誤．

6 基于退位減法錯(cuò)誤研究開展教學(xué)

6.1 明確跨0退位減法運(yùn)算程序

教師不僅識(shí)別出學(xué)生解決問題中出現(xiàn)的特殊類型錯(cuò)誤，他們能根據(jù)這些錯(cuò)誤的特點(diǎn)提供有針對性的指導(dǎo)．為了矯正學(xué)生解決退位減法出現(xiàn)的從0退位的錯(cuò)誤（圖2；文[3]、文[11]等），基于減法的原始豎式形式，學(xué)生要理解退位原理．

古代中國人用算籌進(jìn)行計(jì)算，有一套方便方法．籌算加減法很簡單，“由高位算起”（圖15，即由左向右計(jì)算）[22]．

圖15 算籌計(jì)算案例

雖然現(xiàn)在計(jì)算都是從低位算起，但是在連續(xù)退位情況下，減法退位順序與加法進(jìn)位順序相反，特別是被減數(shù)中間帶0或者被減數(shù)是幾百、幾千，需要在非0的高位點(diǎn)退位點(diǎn)（退“1”），再按數(shù)位向右依次退“1”作十．如圖16，在進(jìn)行計(jì)算500減403時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)個(gè)位是0不夠減，結(jié)合以前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)讓十位退“1”；而十位同樣為0，無法退“1”；學(xué)生要想到繼續(xù)向前，讓百位退“1”．即學(xué)生明確跨0的退位減法程序：首先從非0的高位退“1”，再完成后續(xù)各個(gè)數(shù)位退“1”作十，直至個(gè)位減法．

6.2 多維度滲透位值制

教師將位值概念轉(zhuǎn)化成有利學(xué)生理解數(shù)字的方式．學(xué)生能察覺到退位減法的方向性、被減數(shù)與減數(shù)不可互換；自左鄰位值退“1”作十到靠右的該位值，并了解退位使得該位值數(shù)量變大、使整個(gè)多位數(shù)數(shù)量變??；任一位值的數(shù)字相減時(shí)，如同個(gè)位數(shù)相減．退位也就是在高階單位和低階單位之間做轉(zhuǎn)換，總之不會(huì)因?yàn)橹匦旅淖儯?/p>

圖16 跨0退位減法案例

減法運(yùn)算的過程與位值概念的發(fā)展是密不可分的．學(xué)生對位值的理解，影響學(xué)生在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)所使用的策略．讓學(xué)生明白不同位值所代表的含義，在遵循減法運(yùn)算基本規(guī)則下，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突；利用教具或者課件向?qū)W生呈現(xiàn)“退位”后各個(gè)數(shù)位上數(shù)值的變化，學(xué)生理解根據(jù)不同數(shù)位上數(shù)值，再進(jìn)行減法運(yùn)算．

教師要了解位值概念的發(fā)展模式，掌握各成分知識(shí)的難易排序，依據(jù)由易至難順序：位置知識(shí)、群組知識(shí)、數(shù)字對應(yīng)、分割知識(shí)．學(xué)生不僅了解滿10進(jìn)“1”和退“1”作10、知道10個(gè)“1”等于１個(gè)“10”，以及“相鄰單位呈十倍關(guān)系”，還要能夠?qū)?shù)依典型分割或非典型分割方式表示，同時(shí)也能依據(jù)數(shù)字所在位置辨識(shí)其數(shù)值．

6.3 利用圖示表征退位減法算理

學(xué)生沒有掌握算理，很可能還是不會(huì)解決問題，甚至重復(fù)地出現(xiàn)相似或者相同的錯(cuò)誤，即使大量重復(fù)訓(xùn)練，也會(huì)導(dǎo)致其數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展故步自封、停滯不前[23]．學(xué)生從具體表征階段需經(jīng)歷“半具體、半抽象”階段才到達(dá)“抽象”階段，學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化，逐漸將表征抽象化，將真實(shí)世界與數(shù)學(xué)抽象世界聯(lián)系起來．針對退位的步驟，教師訪談學(xué)生“被減數(shù)退位后數(shù)值的變化情況？”發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生只是熟記運(yùn)算法則，對于退位的深層意義根本不了解，也不知道退位的動(dòng)作并不會(huì)使被減數(shù)的數(shù)量減少．

Thanheiser利用正方形、條形圖、點(diǎn)子圖等圖形給出解釋數(shù)字重新組合，說明重新組合后數(shù)字的值保持不變[24]．從具體、半具體到抽象，讓學(xué)生畫出符合題意的圖示表征以協(xié)助學(xué)生理解題意．例如，403-158=？學(xué)生理解算法背后的算理嗎？明確點(diǎn)“兩個(gè)退位點(diǎn)”順序嗎？通過畫圖，學(xué)生解釋算理（如圖17）：畫4個(gè)大圓表示400，畫3個(gè)小棒表示3，3-8不夠減，而十位是0，無法退位，進(jìn)而讓百位退“1”．百位上4退“1”（1個(gè)百）后圈出一個(gè)圓，這一個(gè)圓（表示1個(gè)百）到達(dá)十位后變成10個(gè)小圓（每個(gè)小圓表示1個(gè)十）．繼續(xù)向個(gè)位退“1”，十位圈出一個(gè)小圓到個(gè)位，變成10個(gè)小棒，加上原來的3根小棒，此時(shí)個(gè)位上數(shù)字為“13”．個(gè)位上13-8=5，十位上剩余9，9-5=4，百位上剩余3-1=2，得數(shù)245．

圖17 退位計(jì)算算理

學(xué)生的計(jì)算能力建立在數(shù)列、數(shù)物、基數(shù)等能力完備發(fā)展的基礎(chǔ)上，這些先備知識(shí)對于學(xué)生以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效影響深遠(yuǎn)．在課堂教學(xué)中，在遇到難點(diǎn)時(shí)，教師指導(dǎo)一些學(xué)生借助畫圖的方式輔助思考算理．從文字表征轉(zhuǎn)譯為圖像表征的轉(zhuǎn)譯活動(dòng)，將問題復(fù)雜且抽象的關(guān)系，透過畫圖表征讓學(xué)生了解題目的特征，使一些難以理解的數(shù)量關(guān)系變得具體化且有可詮釋性，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在條件間的關(guān)系．

6.4 鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新問題解決方法

《計(jì)算之書》描述的整數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則與現(xiàn)在的計(jì)算規(guī)則基本相同，但“退位”方法與現(xiàn)今不同，現(xiàn)在的規(guī)則是把被減數(shù)下一位減去“退位數(shù)”，而斐波那契卻把減數(shù)下一位加上“退位數(shù)”．例如圖18，如要從380中減去92，把92寫在380的下面，因?yàn)閺?中減去2是不可能的，將0加上10，得10，減去較小數(shù)中的2，得8，把它放在第一位，因?yàn)樵黾?0，故把1保留在手中，把它加上9，得10，從8中減去10，但是這是不可能的；把它從18中減去，得8，放在第二位，保留1并從3中減去；得2，放在第三位，因此得到288就是減法的差[25]．

圖18 斐波那契的退位方法

Carpenter T P等人的研究結(jié)果表明，孩子們可以發(fā)明加法和減法的策略，大約90%的學(xué)生使用自己發(fā)明的問題解決策略．在學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)算法之前，使用發(fā)明策略的學(xué)生更好理解十進(jìn)制概念．與最初學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)算法的學(xué)生相比，他們會(huì)更成功地將他們發(fā)明的問題解決策略應(yīng)用到新的情境[26]．Carroll和Porter研究發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生自己發(fā)明退位減法的解決問題策略，當(dāng)減數(shù)較大時(shí)，不需要“退位”或重組，而是用負(fù)數(shù)，例如，62-25=40+(-3)=37[27]．

Thanheiser從“數(shù)的組成與分解、退1等10”兩個(gè)角度探究學(xué)生計(jì)算“735-264=471”的方法[28]．學(xué)生學(xué)會(huì)靈活解決問題．這些策略涉及到根據(jù)對數(shù)字關(guān)系的理解或算術(shù)運(yùn)算的屬性靈活調(diào)整問題中的數(shù)字和操作．變化策略的一個(gè)例子是補(bǔ)償策略，例如，601-234=(600-234)+1=366+1=367；457-298=457-(300-2)=157+2=159．

7 研究結(jié)論與討論

研究提供了小學(xué)生解決多位數(shù)退位減法中所犯的錯(cuò)誤類型的系統(tǒng)分析．基于國際視野，把握退位減法的前沿研究成果，收集問卷測試數(shù)據(jù)，經(jīng)過相關(guān)分析和回歸分析，發(fā)現(xiàn)5類錯(cuò)誤與總失分之間關(guān)系．特別是，退位錯(cuò)誤對總失分影響最大．在案例分析研究中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生難以理解0的含義以及將其作為數(shù)字來解決退位減法問題．教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生解決問題的高概率錯(cuò)誤．這項(xiàng)研究幫助教師在處理減法時(shí)參與選擇練習(xí)，使他們意識(shí)到選擇所用計(jì)算方法的重要性．解決減法問題使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼并對其掌握數(shù)學(xué)概念的能力失去信心[29]．基于理解視角，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要教師具有識(shí)別學(xué)生錯(cuò)誤類型的能力，這些錯(cuò)誤反映了學(xué)生對概念缺乏深刻地理解．開展退位減法的錯(cuò)誤分析為教師提供有關(guān)學(xué)生思維、理解和誤解的重要信息．理解位值制對于提升學(xué)生多位數(shù)加法、減法計(jì)算技能至關(guān)重要．診斷評估學(xué)生錯(cuò)誤模式有利于教師盡早為學(xué)生提供有意義矯正錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)成功的機(jī)會(huì)．

研究只以天津455名學(xué)生作為調(diào)查對象，存在地區(qū)局限性，未來可繼續(xù)探索全國多區(qū)域小學(xué)生解決退位減法的現(xiàn)狀；探索小學(xué)生解決整數(shù)退位減法與小數(shù)減法之間的關(guān)系．

[1] Torbeyns J, Hickendorff M, Verschaffel L. The use of number-based versus digit-based strategies on multi-digit subtractions: 9-12-year-olds’ strategy use profiles and task performances [J]. Learning and Individual Differences, 2017 (58): 64–74.

[2] Hickendorff M. Fourth graders’ adaptive strategy use in solving multi-digit subtraction problems [J]. Learning and Instruction, 2020 (67): 1-10.

[3] Fiori C, Zuccheri L. An experimental research on error patterns in written subtraction [J]. Educational Studies in Mathematics, 2005 (60): 323–331.

[4] Vanlehn K. Bugs are not enough: Empirical studies of bugs, impasses and repairs in procedural skills [J]. The Journal of Mathematical Behavior, 1982 (3): 3-71.

[5] Borasi, Raffaella. Capitalizing on errors as “springboards for inquiry”: A teaching experiment [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1994, 2 (25): 208.

[6] Ashlock R. Errors patterns in computation: Using error patterns to help each student learn [M]. 10th ed. Boston: MA, 2010: 36.

[7] Blando J A, Kelly A E, Schneuder B R, et al. Analyzing and modeling arithmetic errors [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1989, 20 (3): 301-308.

[8] Selter C, Prediger S, Marcus Nührenb?rger, et al. Taking away and determining the difference: A longitudinal perspective on two models of subtraction and the inverse relation to addition [J]. Educational Studies in Mathematics, 2012 (79): 389-408.

[9] Selter C. Addition and subtraction of three-digit numbers: German elementary children’s success, methods and strategies [J]. Educational Studies in Mathematics, 2001 (47): 145-173.

[10] Csaba C. Strategies and performance in elementary students’ three-digit mental addition [J]. Educational Studies in Mathematics, 2016 (91): 123–139.

[11] Carpenter T P, Franke M L, Jacobs V R, et al. A longitudinal study of invention and understanding in children’s multi-digit addition and subtraction [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1997, 29 (1): 3-20.

[12] Raghubar K, Cirino P, Barnes M, et al. Errors in multi-digit arithmetic and behavioral inattention in children with math difficulties [J]. Journal of Learning Disabilities, 2009, 42 (4): 356-371.

[13] Margalef-Ciurana m, García-Tamarit C. The application of a digital educational resource to the learning disability of subtraction: A case study [J]. Contexto Internacional, 2016, 33 (1): 71-102.

[14] Watson S, Lopes J, Oliveira C, et al. Error patterns in Portuguese students’ addition and subtraction calculation tasks: Implications for teaching [J]. Journal for Multicultural Education, 2018, 12 (1): 67-82.

[15] Riccomini P J. Identification and remediation of systematic error patterns in subtraction [J]. Learning Disability Quarterly, 2005, 28 (3): 233-242.

[16] Torbeyns J. Mental computation or standard algorithm? Children’s strategy choices on multi-digit subtractions [J]. European Journal of Psychology of Education, 2016, 31 (2): 1-18.

[17] Nemeth L, Werker K, Arend J, et al. Corrigendum: Interleaved learning in elementary school mathematics: Effects on the flexible and adaptive use of subtraction strategies [J]. Frontiers in Psychology, 2019 (86): 1-21.

[18] FISCHER J P, Vilette B, Joffredo-Lebrun S, et al. Should we continue to teach standard written algorithms for the arithmetical operations? The example of subtraction [J]. Educational Studies in Mathematics, 2019 (101): 105-121.

[19] Ayres, PAUL L. Systematic mathematical errors and cognitive load [J]. Contemporary Educational Psychology, 2001 (26): 227-248.

[20] Imbo I, Vandierendonck A, Vergauwe E. The role of working memory in carrying and borrowing [J]. Psychological Research, 2007 (71): 467–483.

[21] Thanheiser E. Understanding multi-digit whole numbers: The role of knowledge components connections, and context in understanding regrouping 3+- digit numbers [J]. The Journal of Mathematical Behavior, 2012, 31 (2): 220-234.

[22] 徐品方，張紅，寧銳．中學(xué)數(shù)學(xué)簡史[M]．北京：科學(xué)出版社，2007：19．

[23] Watson I. Investigating errors of beginning mathematicians [J]. Educational Studies in Mathematics, 1980, 11 (3): 319-329.

[24] Thanheiser, EVA. Preservice elementary school teachers’ conceptions of multi-digit whole numbers [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2009, 40 (3): 251-281.

[25] 斐波那契．計(jì)算之書[M]．西硌爾英，紀(jì)志剛，汪曉勤，等譯．北京：科學(xué)出版社，2007：25．

[26] Carpenter T P, Franke M L, Jacobs V R, et al. A longitudinal study of invention and understanding in children’s multi-digit addition and subtraction [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1997, 29 (1): 3-20.

[27] Ji-Won S. Moving beyond a traditional algorithm in whole number subtraction: Preservice teachers’ responses to a student’s invented strategy [J]. Educational Studies in Mathematics, 2016 (93): 105–129.

[28] Thanheiser E. The effects of preservice elementary school teachers’ accurate self-assessments in the context of whole number [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2018, 49 (1): 39-55.

[29] OLTEANU C, OLTEANU L. Improvement of effective communication—The case of subtraction [J]. International Journal of Science and Mathematics Education, 2011, 10 (4): 1-24.

Study of the Error Patterns and Influences of Primary School Students in Performing Subtractions with Regrouping for Numbers Less Than Ten Thousand

FAN Wen-gui1, LI Yan2

(1. Faculty of Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China;2. Experimental Primary School, Shanxi Datong 037000, China)

Solving subtraction problems with regrouping is one of the foundations of mathematical operations. International scholars attach great importance to the study of subtraction with regrouping. Based on the results of Carla Fiori et al., 455 students were tested using a questionnaire survey. The findings demonstrated that students solved subtraction problems with regrouping with five patterns of errors: regrouping errors, algorithm errors, misunderstanding place value, confusing the meaning of regrouping, and other errors. After regression and related analyses, it was found that the regrouping error had the greatest impact on the total loss. Based on an analysis of the cause of the error, the following teaching strategies for subtraction with regrouping are proposed: clearing the operation procedure of cross-zero subtraction with regrouping, penetrating the place-value system with multiple dimensions, graphically representing the arithmetic of subtraction with regrouping, and encouraging students to innovate problem-solving methods.

elementary school students; the subtractions with regrouping; error pattern; teaching strategy

G622.4

A

1004–9894（2021）06–0032–07

范文貴，李燕．小學(xué)生解決萬以內(nèi)退位減法錯(cuò)誤類型及影響研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（6）：32-38．

2021–07–02

天津市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃資助項(xiàng)目——學(xué)校教育共同體精準(zhǔn)幫扶系統(tǒng)構(gòu)建與實(shí)效研究（TJJX18-014）

范文貴（1965—），男，遼寧錦州人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事教師教育、小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]