黃曉林，黃秦安

中國三十年來小學(xué)階段分?jǐn)?shù)研究文獻(xiàn)的系統(tǒng)分析及啟示

黃曉林，黃秦安

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710119）

文獻(xiàn)系統(tǒng)分析發(fā)現(xiàn)，圍繞教與學(xué)形成側(cè)重作為知識(shí)的分?jǐn)?shù)和關(guān)注分?jǐn)?shù)認(rèn)知事實(shí)兩條不同研究主線，且偶有交叉，反映了傳統(tǒng)教育“教學(xué)圍繞教師發(fā)生”特點(diǎn)的影響．以分?jǐn)?shù)教學(xué)研究為透鏡，探討以學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知為基礎(chǔ)進(jìn)行教材編排，由測量模型引入分?jǐn)?shù)概念的可行性，體現(xiàn)教育研究對學(xué)生學(xué)習(xí)的真切關(guān)懷．提出基于“學(xué)”展開數(shù)學(xué)知識(shí)探討以豐富知識(shí)內(nèi)涵；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生真實(shí)過程以改進(jìn)教學(xué)實(shí)踐；深化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價(jià)以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)；強(qiáng)化教師數(shù)學(xué)教學(xué)觀以指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐研究，為數(shù)學(xué)教育提供借鑒．

分?jǐn)?shù)概念；分?jǐn)?shù)教與學(xué)；教材編寫；測量模型

對“數(shù)”的認(rèn)識(shí)與學(xué)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)階段的重要內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)“不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法”[1]．相對于自然數(shù)而言，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)明顯地表現(xiàn)出“承上啟下”的性質(zhì)[2]．分?jǐn)?shù)異于自然數(shù)的符號(hào)特征與其自身豐富內(nèi)涵增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度．無論從數(shù)系擴(kuò)張的角度，把握分?jǐn)?shù)作為數(shù)的本質(zhì)屬性，兼顧其產(chǎn)生的歷史進(jìn)程及教學(xué)啟示；還是從學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的角度，理解學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知規(guī)律，為學(xué)習(xí)與發(fā)展構(gòu)建基礎(chǔ)，都對分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響．因此，不難理解分?jǐn)?shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)具體內(nèi)容，卻引起了心理學(xué)和教育學(xué)學(xué)術(shù)研究者、教研員和一線教師的廣泛關(guān)注．近30年來，研究者透過不同的視角，采用不同的策略與方法，在教學(xué)實(shí)踐與學(xué)術(shù)研究中成果豐碩．作為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域眾多重要議題中的一個(gè)，其研究結(jié)果中既有作為分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容特有的典型特征，也有中國基礎(chǔ)教育階段共有的特點(diǎn)，以此審視小學(xué)數(shù)學(xué)的“教”與“學(xué)”，進(jìn)行分?jǐn)?shù)研究知識(shí)脈絡(luò)的系統(tǒng)分析，為后續(xù)數(shù)學(xué)教育研究積累些許經(jīng)驗(yàn)是有意義的．

選取CNKI收錄的732篇（其中57篇核心期刊來源文獻(xiàn)）小學(xué)階段分?jǐn)?shù)研究文獻(xiàn)，采用系統(tǒng)分析的方法，梳理了分?jǐn)?shù)主題研究的知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)，勾勒知識(shí)演進(jìn)過程；聚焦分?jǐn)?shù)研究的核心問題，審視分?jǐn)?shù)教學(xué)研究是否符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和教育目標(biāo)；探討學(xué)生“學(xué)”與教師“教”之間怎樣實(shí)現(xiàn)更好的互動(dòng)，以推動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展．

1 中國近30年分?jǐn)?shù)研究主題文獻(xiàn)要素的整體分析

從作者身份上看，將研究者分為，一線教師為主的教學(xué)實(shí)踐者、教研員為主的教師教育者、高校教師為主的學(xué)術(shù)研究者3類．從研究涉及的內(nèi)容上看，具有典型特征的教學(xué)實(shí)踐者關(guān)注到了分?jǐn)?shù)教學(xué)的幾乎全部內(nèi)容，編碼頻次由高到底分別是分?jǐn)?shù)的運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的表示．在這些工作中，教師嘗試以具體知識(shí)內(nèi)容為載體探討分?jǐn)?shù)教學(xué)問題．而學(xué)術(shù)研究者的工作中，少部分同教學(xué)實(shí)踐者一樣，聚焦分?jǐn)?shù)具體知識(shí)，如分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的除法、分?jǐn)?shù)大小的比較、解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；多數(shù)工作關(guān)注分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)含義，在教材中的編排與呈現(xiàn)，兒童分?jǐn)?shù)認(rèn)知發(fā)展．

從研究視角上看，教學(xué)實(shí)踐者多借助具體的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂實(shí)錄進(jìn)行教學(xué)片段分析、課堂教學(xué)活動(dòng)反思，闡釋教學(xué)案例背后的教學(xué)方法和理念，且具有較高同質(zhì)性．相反，學(xué)術(shù)研究者較少關(guān)注具體內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐問題，而是通過分?jǐn)?shù)概念內(nèi)涵的探討、教材比較等方式獲得對分?jǐn)?shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)中分?jǐn)?shù)概念的理解、發(fā)展與建構(gòu)，以及對學(xué)習(xí)結(jié)果的評價(jià)；基于心理學(xué)科視角，對兒童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知思維、表征方式、學(xué)習(xí)加工模式等進(jìn)行實(shí)證研究．

2 分?jǐn)?shù)研究的知識(shí)演進(jìn)脈絡(luò)分析

從分?jǐn)?shù)研究的文獻(xiàn)增長量上考察分?jǐn)?shù)相關(guān)研究的整體進(jìn)展，發(fā)現(xiàn)1991—2000的10年間僅6篇文獻(xiàn)在核心期刊上發(fā)表，主要研究工作集中在2006—2020年．以《小學(xué)數(shù)學(xué)參考》連續(xù)26年的發(fā)文量與所檢索到的核心期刊文獻(xiàn)數(shù)量變化比較發(fā)現(xiàn)，進(jìn)入21世紀(jì)后關(guān)于分?jǐn)?shù)的研究似乎淡出了研究者的視野．其中，2000—2005年檢索CSSCI期刊文獻(xiàn)數(shù)量為0．盡管2006年前15年發(fā)表在核心期刊上的文獻(xiàn)不多，但研究工作呈現(xiàn)出聚焦學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的特征：一類關(guān)注教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生的分?jǐn)?shù)計(jì)算和問題解決，關(guān)心學(xué)生成績；一類基于心理學(xué)視角，關(guān)注兒童對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)知加工和表征，考察學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的理解．以下重點(diǎn)探討近15年來的知識(shí)演進(jìn)脈絡(luò)．

2.1 分?jǐn)?shù)研究的近15年知識(shí)演進(jìn)過程

縱觀2006年后的研究工作，“數(shù)概念”成為關(guān)鍵詞聚類的中心，表明認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)逐漸成為研究工作的立足點(diǎn)，分?jǐn)?shù)中諸如“分?jǐn)?shù)概念”“分?jǐn)?shù)乘除法”等具體問題是多數(shù)研究繞不過的載體．研究主題圍繞著“教”與“學(xué)”形成了兩條研究主線．

2.1.1 圍繞教學(xué)展開的研究

在“怎樣教”的問題上經(jīng)歷了關(guān)注教學(xué)設(shè)計(jì)和具體教學(xué)問題；探討整體教學(xué)結(jié)構(gòu)；聚焦承載“教什么”和指導(dǎo)“怎么教”的教材比較研究3個(gè)階段．探討“怎樣教”的過程中，研究者或從兒童分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的發(fā)展階段及困難點(diǎn)出發(fā)[3]，或基于當(dāng)前分?jǐn)?shù)教學(xué)模式，由學(xué)生分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)意義的理解層次[4–5]，建構(gòu)文章分析和測量框架，從學(xué)習(xí)結(jié)果出發(fā)展開研究，反觀學(xué)習(xí)不足，提出具體改進(jìn)建議．如，強(qiáng)調(diào)重視學(xué)生對分?jǐn)?shù)及各部分概念和意義的深刻理解[6–7]．或圍繞分?jǐn)?shù)教學(xué)中應(yīng)“教什么”進(jìn)行概念辨析，厘清分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)與內(nèi)涵[8–10]，提出“模式主導(dǎo)，雙向多維”的分?jǐn)?shù)意義的整體教學(xué)設(shè)計(jì)方案[11]和具體的教學(xué)實(shí)踐改進(jìn)策略．如，從度量模型引入分?jǐn)?shù)單位[12]，展開行動(dòng)研究[13]，推進(jìn)研究者對于分?jǐn)?shù)概念與教學(xué)的深入理解[14–15]．

在聚焦“教什么”和“怎么教”的教材比較研究中，研究者就具體的分?jǐn)?shù)內(nèi)容對中、美及新加坡教材中定義類型、表征方式和編排順序做了比較研究[16]；在整體內(nèi)容的編寫依據(jù)、組織結(jié)構(gòu)，以及教科書編寫理念和呈現(xiàn)方式等方面的比較亦有涉及[17–18]；中、日、新加坡，中、韓，以及中國大陸和中國臺(tái)灣地區(qū)教材中例題和習(xí)題及分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容編排的比較，橫向上進(jìn)行內(nèi)容組織對比分析，縱向上對不同版本教材的難易程度，知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)的認(rèn)知深度，學(xué)生認(rèn)知發(fā)展進(jìn)行了研究[19–22]．此外，研究者還透過不同的理論視角反觀現(xiàn)有教材，提出編寫建議[23–24]．

2.1.2 圍繞學(xué)習(xí)展開的研究

關(guān)于學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)困難和學(xué)習(xí)認(rèn)知的研究，最初延續(xù)關(guān)注學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)結(jié)果，圍繞學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)困難的思路[25]，反思學(xué)生在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中對等分、單位量、等值分?jǐn)?shù)等概念理解的發(fā)展階段與實(shí)際困難，認(rèn)為“整數(shù)偏向”是兒童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的抑制因素，并探討教學(xué)實(shí)施策略[26]．隨著研究的深入，對學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)困難的研究視角逐漸由借助學(xué)生的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)結(jié)果反觀學(xué)習(xí)困難，轉(zhuǎn)變成考察學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)具體問題，嘗試從心理學(xué)角度解釋學(xué)習(xí)困境．如，學(xué)生通過“部分—整體”模型習(xí)得分?jǐn)?shù)概念后形成的誤區(qū)及學(xué)習(xí)困難[27]．

在分?jǐn)?shù)認(rèn)知方面，通過實(shí)證研究對兒童的分?jǐn)?shù)概念認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)表征，以及認(rèn)知加工方式等進(jìn)行深入探討．從關(guān)注個(gè)體學(xué)習(xí)出發(fā)，梳理了兒童建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念時(shí)所采用的分割計(jì)數(shù)和相對量的知覺兩種心理基礎(chǔ)及建構(gòu)機(jī)制，對分?jǐn)?shù)概念語義理解水平和模式進(jìn)行深入探討[28–30]；嘗試從兒童思維發(fā)展水平和對等值分?jǐn)?shù)語言認(rèn)知兩個(gè)方面，解釋兒童在理解等值分?jǐn)?shù)概念時(shí)的困難，將小學(xué)一～三年級(jí)兒童等值分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展劃分為整體量概念、數(shù)量化的相對量概念、正式的等值分?jǐn)?shù)概念3個(gè)階段；設(shè)計(jì)并實(shí)施干預(yù)實(shí)驗(yàn)，提出嘗試開展等值分?jǐn)?shù)的早期教學(xué)，從小學(xué)低年級(jí)入手，在個(gè)體的非正式整體量基礎(chǔ)上逐步推進(jìn)對正式概念的學(xué)習(xí)；通過讓兒童關(guān)注等值分?jǐn)?shù)任務(wù)情境中各對應(yīng)維度之間的乘法關(guān)系，能有效促進(jìn)兒童乘法思維發(fā)展的具體教學(xué)建議[31–32]．在分?jǐn)?shù)表征與認(rèn)知加工方式研究方面，聚焦兒童非符號(hào)材料上的分?jǐn)?shù)表征方式[33–34]、分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的準(zhǔn)確性及形式[35–36]、分?jǐn)?shù)估計(jì)的表征模式[37]、分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力[38]、整數(shù)數(shù)量表征與分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的關(guān)系[39]、在分?jǐn)?shù)比較或解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的認(rèn)知加工方式等[40]，通過被試的表達(dá)，對問題測量結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出兒童分?jǐn)?shù)表征和分?jǐn)?shù)認(rèn)知的事實(shí)結(jié)果．其中，分?jǐn)?shù)教學(xué)的宏觀指導(dǎo)建議詳見結(jié)果討論部分．

2.2 分?jǐn)?shù)研究的知識(shí)主線分離

值得注意的是，將學(xué)術(shù)研究者的研究工作分為“分?jǐn)?shù)教學(xué)及分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)”和“學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知”兩組，分析文獻(xiàn)共被引發(fā)現(xiàn)，研究者僅在討論小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)的多層級(jí)理解[10]及整體構(gòu)建分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)行動(dòng)研究[13]，引用了學(xué)生分?jǐn)?shù)概念認(rèn)知的相關(guān)工作．另一邊，僅一項(xiàng)五年級(jí)和六年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力的調(diào)查研究[38]參考了已有分?jǐn)?shù)教學(xué)問題的相關(guān)結(jié)果．這反映出，一方面，心理學(xué)研究工作關(guān)注學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知的事實(shí)規(guī)律，卻較少關(guān)注認(rèn)知規(guī)律對教學(xué)活動(dòng)的真實(shí)影響，這可能與心理學(xué)科研究者的科研工作多從學(xué)術(shù)角度出發(fā)，對實(shí)踐關(guān)切不足有關(guān)．另一方面，教學(xué)研究關(guān)注的焦點(diǎn)在于知識(shí)層面的概念與內(nèi)涵，忽視學(xué)生認(rèn)知能力狀態(tài)，多從“教師教”的角度，基于實(shí)踐思維考察分?jǐn)?shù)教學(xué)的相關(guān)主題，忽略學(xué)生自分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)之始已將其先前經(jīng)驗(yàn)（如幼兒早期對于非符號(hào)分?jǐn)?shù)的計(jì)算能力、整數(shù)計(jì)算能力等）帶入學(xué)習(xí)中的事實(shí)，對學(xué)生作為學(xué)習(xí)的積極參與者和知識(shí)的共同建構(gòu)者在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體性關(guān)注不夠．

從數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)來看，可能是在教與學(xué)的統(tǒng)一活動(dòng)中，普遍重視教多于重視學(xué)；基于“跟我學(xué)”思維邏輯展開學(xué)習(xí)指導(dǎo)與實(shí)踐研究，是“我教你，你去學(xué)”，而不是“你去學(xué)，我適時(shí)、恰當(dāng)?shù)亟獭?；漠視學(xué)生學(xué)習(xí)真正發(fā)生的過程，疏于反思教的本質(zhì)是為了促進(jìn)和幫助學(xué)生更好去學(xué)的事實(shí)．從中國教育的歷史中考察，教學(xué)大致圍繞著教師來發(fā)生是傳統(tǒng)中國教育的一個(gè)十分重要的特色[41]．傳統(tǒng)教學(xué)中，通過會(huì)話或?qū)υ挼姆绞絹斫虒W(xué)，一方面使因材施教得以實(shí)現(xiàn)，另一方面強(qiáng)化了教學(xué)方式中教師引導(dǎo)的重要地位．隨著社會(huì)工業(yè)化的發(fā)展，傳統(tǒng)的小組式學(xué)習(xí)和師生會(huì)話的教學(xué)方式面臨著整班教學(xué)的挑戰(zhàn)；規(guī)范的學(xué)科知識(shí)體系，細(xì)致明確的教學(xué)目標(biāo)，定時(shí)定量完成的教學(xué)任務(wù)，沖擊著教師因材施教的可能性．然而，教學(xué)圍繞著“教”展開的認(rèn)知卻在撕裂了的師生雙主體的傳統(tǒng)教學(xué)形式中保存了下來，使得教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一活動(dòng)中，呈現(xiàn)出對“教師教”的思考多于對“學(xué)生學(xué)”的關(guān)注；教學(xué)內(nèi)容依據(jù)教學(xué)計(jì)劃展開，忽略學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)需求；教學(xué)方法依據(jù)教學(xué)內(nèi)容選定，漠視學(xué)生學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生過程．伴隨著信息化時(shí)代的浪潮，關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)再一次成為教學(xué)的方向和可能．因此，嘗試從教學(xué)活動(dòng)的另一面，“學(xué)生學(xué)”的視角探討分?jǐn)?shù)研究主題是未來研究的新動(dòng)向．

3 分?jǐn)?shù)研究的重要問題梳理與討論

如前所述，通過對文獻(xiàn)的系統(tǒng)分析，從教師、學(xué)生和分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容，及3者相互聯(lián)系的角度，立足于溝通教師與學(xué)生、學(xué)生學(xué)習(xí)與所學(xué)內(nèi)容，嘗試勾勒分?jǐn)?shù)研究的知識(shí)脈絡(luò)．對于研究者重點(diǎn)關(guān)注的分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵，學(xué)生的分?jǐn)?shù)認(rèn)知、教材編排、分?jǐn)?shù)教學(xué)等議題，以分?jǐn)?shù)教材的編排與分?jǐn)?shù)概念的引入為抓手，做進(jìn)一步梳理和闡釋，探討基于“學(xué)生學(xué)”的教材編寫和分?jǐn)?shù)概念引入．

3.1 分?jǐn)?shù)教材編排：分?jǐn)?shù)的概念意義或?qū)W生的分?jǐn)?shù)認(rèn)知

3.1.1 分?jǐn)?shù)的概念意義

在學(xué)生的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)研究中，研究者傾向從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)探討分?jǐn)?shù)是什么而決定學(xué)生需要學(xué)什么．對于分?jǐn)?shù)意義的研究多參考Kieren對于分?jǐn)?shù)概念解讀的5個(gè)方面：整體與部分的關(guān)系、比、商、測量與運(yùn)算符（operators）[42]，發(fā)展出對分?jǐn)?shù)的不同解釋．張奠宙先生用“份數(shù)”解釋分?jǐn)?shù)定義與除法的包含除、平均分的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)“先將整體平均分成若干份”是等分除角度的定義，“部分占整體大小”是包含除模型[43]．Kieren也認(rèn)為，比的關(guān)系包含了“整體與部分關(guān)系”與“部分與部分關(guān)系”兩種解釋，提出分?jǐn)?shù)“整體與部分關(guān)系”的解釋是“比”的一種特殊情形，同時(shí)強(qiáng)調(diào)了兩種思維方式在認(rèn)知心理上的不同．也有研究者放棄整體與部分關(guān)系的含義，探討分?jǐn)?shù)作為比、商、測量和運(yùn)算的4種解釋方式[3，13]．從數(shù)系擴(kuò)張的角度看，用兩個(gè)線段長度比表達(dá)分?jǐn)?shù)，是用幾何的方法解釋無理數(shù)[44]；分?jǐn)?shù)純數(shù)學(xué)上的定義，是指兩個(gè)整數(shù)相除的商[3]，即表示兩個(gè)數(shù)關(guān)系的數(shù)．

3.1.2 學(xué)生的分?jǐn)?shù)認(rèn)知

分?jǐn)?shù)認(rèn)知是數(shù)學(xué)認(rèn)知研究的一個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域，從兒童認(rèn)知角度來探討其理解分?jǐn)?shù)困難的形式和原因是近年來國內(nèi)外分?jǐn)?shù)研究關(guān)注的重要主題．其中，整數(shù)偏向（whole number bias）[46]是指學(xué)生趨于穩(wěn)定使用有關(guān)整數(shù)的獨(dú)立單元計(jì)數(shù)圖式來解釋分?jǐn)?shù)的傾向，被認(rèn)為在學(xué)生的分?jǐn)?shù)認(rèn)知中普遍存在，主要體現(xiàn)在比較分?jǐn)?shù)大小、排序和分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算上[27]，它是否是兒童分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)困難的影響因素？ 中國研究者在這個(gè)問題上的研究，首先關(guān)注到教學(xué)實(shí)踐中整數(shù)偏向?qū)τ趯W(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的負(fù)面影響[47]，梳理了整數(shù)偏向的可能成因，即學(xué)生在構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念時(shí)新舊知識(shí)之間的干擾和數(shù)字認(rèn)知的起源和發(fā)展的更普遍問題．其中與分?jǐn)?shù)教學(xué)相關(guān)的因素是，教師在教授分?jǐn)?shù)概念時(shí)從部分—整體引入，強(qiáng)調(diào)了整數(shù)概念，造成學(xué)生對分?jǐn)?shù)測量含義的不理解，教授分?jǐn)?shù)比較和運(yùn)算時(shí)，用先前的整數(shù)策略使學(xué)生更快捷地習(xí)得解題方法，雖為學(xué)生從整數(shù)系統(tǒng)擴(kuò)展到有理數(shù)系統(tǒng)提供了很好的橋梁作用，但也為整數(shù)偏向的出現(xiàn)提供了可能性[27]．研究者測查55～75個(gè)月幼兒非符號(hào)的分?jǐn)?shù)和整數(shù)計(jì)算能力發(fā)現(xiàn)，避開符號(hào)的干擾后，幼兒的分?jǐn)?shù)計(jì)算能力盡管略低于整數(shù)計(jì)算能力，但遠(yuǎn)好于隨機(jī)水平，且兩者具有相似的發(fā)展模式[33]，排除了整數(shù)偏向發(fā)生的認(rèn)知起源和發(fā)展因素，將發(fā)生的可能因素聚焦在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)過程的影響上．進(jìn)一步，通過對小學(xué)生在非符號(hào)材料上的分?jǐn)?shù)表征方式的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，放棄分?jǐn)?shù)符號(hào)轉(zhuǎn)用非符號(hào)性分?jǐn)?shù)材料，排除了整數(shù)的影響時(shí)，被試可以很好地完成分?jǐn)?shù)比較任務(wù)[34]．這促使研究者反思，整數(shù)偏向或其它系統(tǒng)性的誤解并不是影響學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的主要因素，不準(zhǔn)確的類比才真正阻礙了學(xué)生的學(xué)習(xí)．并提出了在教學(xué)中密切聯(lián)系幼兒的早期分?jǐn)?shù)經(jīng)驗(yàn)[33]，考慮將分?jǐn)?shù)教學(xué)提前，甚至可以和整數(shù)知識(shí)同時(shí)教授給學(xué)生的教學(xué)建議[28，34]．

盡管國內(nèi)研究者從兒童認(rèn)知層面關(guān)注到整數(shù)偏向問題的時(shí)間較國外晚，但隨著研究的不斷深入，后續(xù)的工作進(jìn)展與國際研究工作幾乎同步．研究者基于Siegler等提出“分?jǐn)?shù)和整數(shù)的理解之間具有關(guān)鍵的連續(xù)性”[48]的觀點(diǎn)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，兒童與成人在不同的數(shù)字線上的分?jǐn)?shù)表征與整數(shù)表征結(jié)果非常類似，并認(rèn)為分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)量符號(hào)是對整數(shù)符號(hào)的擴(kuò)展[37]；分?jǐn)?shù)與整數(shù)的數(shù)字線任務(wù)的研究證實(shí)了五、六年級(jí)學(xué)生整數(shù)數(shù)字線估計(jì)對分?jǐn)?shù)數(shù)字線估計(jì)的積極預(yù)測作用，說明整數(shù)數(shù)量的理解是分?jǐn)?shù)理解的重要前提[39]．上述研究不僅解釋了整數(shù)的認(rèn)知不會(huì)抑制分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，相反，強(qiáng)調(diào)了分?jǐn)?shù)的測量意義對于兒童理解分?jǐn)?shù)和整數(shù)的聯(lián)系和相似點(diǎn)的益處，為合理地安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生將整數(shù)的認(rèn)知擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)等其它類型數(shù)概念的理解提供了理論基礎(chǔ)．

3.1.3 教材內(nèi)容編排的研究述評

中國教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)對教材依賴程度較高，教材的編排方式往往對教和學(xué)產(chǎn)生較大影響．研究者通過對不同國家及版本教材的對比分析，對分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容編排提出指導(dǎo)性建議；通過關(guān)注分?jǐn)?shù)內(nèi)涵及其歷史演變過程，聚焦分?jǐn)?shù)知識(shí)本身在教學(xué)中的重要作用，從教育工作者期望達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，圍繞分?jǐn)?shù)認(rèn)知模型、任務(wù)設(shè)計(jì)、材料提供、習(xí)題選擇、課時(shí)保證對教材內(nèi)容進(jìn)行編排．然而此類研究落腳點(diǎn)在教師的教學(xué)，而不是學(xué)生的學(xué)習(xí)，是知識(shí)本位視角的探討．盡管有研究者關(guān)注到教學(xué)內(nèi)容的編排應(yīng)關(guān)照不同年齡段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，從認(rèn)知復(fù)雜程度及認(rèn)知深度出發(fā)對分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適切性調(diào)整，但是這樣的研究從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的一般規(guī)律出發(fā)，并沒有真切地反應(yīng)出學(xué)生在具體分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難的原因及心理因素．

促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生是教材編寫的核心任務(wù)，關(guān)注分?jǐn)?shù)概念意義與學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知是在“分?jǐn)?shù)”內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)之間搭建橋梁的基礎(chǔ)．教材編寫從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，不能僅落腳于分?jǐn)?shù)知識(shí)，需從學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)出發(fā)關(guān)注兒童分?jǐn)?shù)認(rèn)知的真實(shí)狀況．關(guān)于分?jǐn)?shù)認(rèn)知的研究中，學(xué)生的分?jǐn)?shù)概念語義理解水平，對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知和整數(shù)認(rèn)知相互聯(lián)系的關(guān)系；“部分—整體”認(rèn)知模型帶來的整數(shù)偏差；測量意義上分?jǐn)?shù)概念理解的重要性；分?jǐn)?shù)作為“數(shù)”的概念對于理解分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的重要作用等，對于指導(dǎo)兒童的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)具有重要的意義．教材編寫不能僅依賴“分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)”這一知識(shí)本位的編寫思路，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的真實(shí)困境，考量分?jǐn)?shù)認(rèn)知發(fā)展的研究成果，區(qū)別作為學(xué)生學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)知識(shí)與分?jǐn)?shù)知識(shí)本身之間的差異，體現(xiàn)教育研究對學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)關(guān)懷．

3.2 分?jǐn)?shù)概念的引入：“切蛋糕/分桃子”模型或測量模型

3.2.1 分?jǐn)?shù)概念引入教學(xué)的現(xiàn)狀

考察已有98份“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”相關(guān)文獻(xiàn)，從涉及的人教版、北師版、蘇教版教材的分?jǐn)?shù)概念定義來看，人教版教材強(qiáng)調(diào)“將整體平均分為若干份”，分?jǐn)?shù)是指“取其中一份或幾份”，北師版和蘇教版教材從單位“1”的角度對整體所表達(dá)的含義不僅包含“一個(gè)物體”，還包含“把多個(gè)物體看作一個(gè)整體”做了說明，從部分—整體的視角引入分?jǐn)?shù)概念，更多關(guān)注到的是分?jǐn)?shù)“作為整體的部分”的含義，淡化“整體”與“部分”的關(guān)系．基于文獻(xiàn)中的教學(xué)實(shí)錄、教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)片段反思可知，分?jǐn)?shù)概念教學(xué)多采用區(qū)域模型（分割一個(gè)具體的圓等圖形或?qū)嵨铮┖碗x散物體模型（分一堆桃子等實(shí)物）為表征方式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)，從“不能夠用整數(shù)恰當(dāng)表達(dá)一個(gè)數(shù)”的教學(xué)情境出發(fā)，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，借助“部分—整體”模型引入概念．教學(xué)反思時(shí)，教師關(guān)注具體情境中學(xué)生的學(xué)習(xí)過程對于促進(jìn)數(shù)學(xué)思考的影響；探討直觀演示、操作活動(dòng)對于提升學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及形成分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)效果．鮮有教師關(guān)注到學(xué)生的分?jǐn)?shù)認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問題的方法對其思維過程進(jìn)行合情推理．

3.2.2 分?jǐn)?shù)概念構(gòu)建機(jī)制

對于兒童來說，進(jìn)入分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)之前可能是帶著關(guān)于分?jǐn)?shù)的相對量大小的知覺，或分割（split）和迭代（iterate）的先前經(jīng)驗(yàn)的．兒童在其發(fā)展早期，可能基于類比數(shù)量表征能力來籠統(tǒng)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)量的大小，而在發(fā)展后期，可以基于分割計(jì)數(shù)操作來實(shí)現(xiàn)對分?jǐn)?shù)量大小更為精確的認(rèn)識(shí)[28]．從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度考察其分?jǐn)?shù)概念如何在個(gè)體先前經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)而成，能夠從分?jǐn)?shù)認(rèn)知層面為更合理的引入分?jǐn)?shù)概念，為優(yōu)化分?jǐn)?shù)教學(xué)提供心理學(xué)的理論基礎(chǔ)．研究者在梳理了Tzur的反省抽象過程和Kieren的遞歸過程這兩個(gè)分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)理論發(fā)現(xiàn)，Tzur借用了皮亞杰提出的反省抽象，并具體說明了個(gè)體如何從自身的分割動(dòng)作之中抽象出分?jǐn)?shù)概念的部分—總體含義，是分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的過程模型；而Kieren將分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)機(jī)制比喻為邏輯上的遞歸過程，側(cè)重于強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的不同層次及層次間的同構(gòu)關(guān)系，即高層次理解是對低層次理解的拓展，是分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的層次模型[28]．

在分?jǐn)?shù)概念層次理論上，研究者綜合分析了Kieren的分?jǐn)?shù)概念層次結(jié)構(gòu)理論、Behr的分?jǐn)?shù)概念語義結(jié)構(gòu)論和Vergnaud的分?jǐn)?shù)概念域理論，嘗試依據(jù)3種理論試圖解決的分?jǐn)?shù)概念的多個(gè)含義關(guān)系和分?jǐn)?shù)概念不同含義與分?jǐn)?shù)運(yùn)算任務(wù)之間關(guān)系為理論框架，探查兒童對于分?jǐn)?shù)概念語義理解的水平[30，50]．一個(gè)有趣的結(jié)果是，中國學(xué)生語義含義的理解水平上，學(xué)生理解和掌握水平最高的是商的含義而不是部分—整體含義，與理論之間存在一定的差異，也從側(cè)面反映教學(xué)干預(yù)對于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的影響．

3.2.3 從測量角度引入分?jǐn)?shù)概念的可行性探索

事實(shí)上，從分?jǐn)?shù)知識(shí)的抽象程度來看，分割和形成分?jǐn)?shù)單位是進(jìn)行復(fù)合單位運(yùn)算的基礎(chǔ)，對分?jǐn)?shù)單位的正確理解是進(jìn)行分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)、運(yùn)算學(xué)習(xí)的關(guān)鍵和核心．而如何看待“分?jǐn)?shù)單位”這一重要概念是“切蛋糕/分桃子”模型區(qū)別于測量模型的關(guān)鍵之處．換言之，“分?jǐn)?shù)單位”是一個(gè)來自整體的部分的分?jǐn)?shù)，還是獨(dú)立于整體之外，和整體之間存在倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)，是兩種分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)方式的沖突所在．基于學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，從學(xué)生數(shù)概念擴(kuò)展的角度來看，建立分?jǐn)?shù)單位概念基礎(chǔ)將更有利于學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的發(fā)展，而將測量單位看作是分?jǐn)?shù)概念的起點(diǎn)，能夠較為合理地解釋分?jǐn)?shù)的起源以及用乘法推理思維解釋分?jǐn)?shù)的運(yùn)算．

4 分?jǐn)?shù)研究主題進(jìn)一步探討及啟示

分?jǐn)?shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其典型性和代表性不言而喻，以上通過與學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)緊密聯(lián)系的教與學(xué)研究的立體考察，可清晰地看到研究者對“教師教”與“學(xué)生學(xué)”非二元對立的理解，以及分?jǐn)?shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的具體知識(shí)內(nèi)容，為教師教與學(xué)生學(xué)的活動(dòng)建立起自動(dòng)聯(lián)結(jié)的關(guān)注．以下進(jìn)一步探討與分析分?jǐn)?shù)研究主題，為中國數(shù)學(xué)教與學(xué)的研究提供一個(gè)反思性的視角，也為數(shù)學(xué)教育研究工作提供些許經(jīng)驗(yàn)和啟示．

4.1 基于“學(xué)”的知識(shí)探討是應(yīng)然視角下內(nèi)涵分析的有益補(bǔ)充

對于教學(xué)而言，“教什么”和“學(xué)什么”是構(gòu)成教與學(xué)活動(dòng)的核心基礎(chǔ)之一，對分?jǐn)?shù)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的深入探討是必要且重要的．然而，已有研究多是分?jǐn)?shù)知識(shí)角度展開的應(yīng)然探討，較少見到對學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)實(shí)然角度的關(guān)注．研究者不僅需要關(guān)注分?jǐn)?shù)概念的部分—整體關(guān)系，比、商、測量、運(yùn)算符等模型意義；從分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)的角度厘清學(xué)生學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)知識(shí)具有怎樣的結(jié)構(gòu)和含義；處于小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)框架的何處，對于后續(xù)有理數(shù)學(xué)習(xí)有著怎樣的基礎(chǔ)意義；也需要探討學(xué)生在自身分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)中分?jǐn)?shù)數(shù)感的建立、分?jǐn)?shù)大小的理解；以及分?jǐn)?shù)計(jì)算，特別是除法學(xué)習(xí)過程中，由于分?jǐn)?shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法相類似的概念結(jié)構(gòu)，受到整數(shù)先驗(yàn)知識(shí)干擾導(dǎo)致的整數(shù)偏向?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的影響．因而，從“學(xué)”的角度對于知識(shí)的探討是應(yīng)然視角下對知識(shí)內(nèi)涵分析的有益補(bǔ)充．

4.2 關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生是改進(jìn)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的基礎(chǔ)

關(guān)于分?jǐn)?shù)內(nèi)容“怎么教”，一直是學(xué)術(shù)研究者和教學(xué)實(shí)踐者共同關(guān)注的議題．學(xué)術(shù)研究通過教學(xué)設(shè)計(jì)的整體架構(gòu)和教材內(nèi)容的編排研究對改進(jìn)分?jǐn)?shù)教學(xué)提供指導(dǎo)建議；教學(xué)實(shí)踐則更多關(guān)注教學(xué)環(huán)節(jié)操作層面的改進(jìn)．事實(shí)上，研究者在教學(xué)研究活動(dòng)之前，已經(jīng)對分?jǐn)?shù)概念有了深刻理解，甚至形成了對分?jǐn)?shù)理解的固有模型，作為知識(shí)的已知者，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)常著眼于如何將知識(shí)概念以符合教學(xué)一般規(guī)律的方式，邏輯清晰、條理分明地呈現(xiàn)出來．換言之，教給學(xué)生的是教師認(rèn)為恰當(dāng)、合適的數(shù)學(xué)，往往忽略了學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，其自身所具備的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和概念基礎(chǔ)，使得教師的教與學(xué)生的學(xué)淪為兩個(gè)看似融合，實(shí)則獨(dú)立的活動(dòng)，教學(xué)實(shí)踐改進(jìn)難有本質(zhì)突破．關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)真實(shí)過程中的認(rèn)知困難和學(xué)習(xí)困境，有針對性地開展教學(xué)實(shí)踐或許是跨越“教”與“學(xué)”鴻溝的有效方式．因此，理解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知不能僅僅是學(xué)術(shù)研究的議題，以學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知研究結(jié)果與方法為基礎(chǔ)，與教學(xué)實(shí)踐中的具體困境相結(jié)合是改進(jìn)教學(xué)實(shí)踐的方向之一．

4.3 基于學(xué)生學(xué)習(xí)的評價(jià)是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的風(fēng)向標(biāo)

在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)評價(jià)方面，研究者從學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)結(jié)果出發(fā)，反思學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)困難，反觀學(xué)生的分?jǐn)?shù)認(rèn)知狀態(tài)，卻較少有對學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)過程監(jiān)測、思維發(fā)展等議題的探討．譬如，研究者關(guān)注到學(xué)生分?jǐn)?shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性和流暢性，卻忽略學(xué)生的計(jì)算能力來源于對計(jì)算程序性知識(shí)的熟練掌握，還是對分?jǐn)?shù)運(yùn)算概念的理解，抑或是兩者相互支持的結(jié)果．研究者關(guān)注到學(xué)生在解決分?jǐn)?shù)問題，特別是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中對分?jǐn)?shù)單位概念的迷思，缺乏問題解決意識(shí)等現(xiàn)象，卻鮮有關(guān)注分?jǐn)?shù)問題解決背后學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，忽略學(xué)生分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的認(rèn)知理論和認(rèn)知基礎(chǔ)．換言之，在強(qiáng)調(diào)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)理解分?jǐn)?shù)概念，學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的同時(shí)，忽視了分?jǐn)?shù)概念培養(yǎng)與學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展相聯(lián)系的契合點(diǎn)，如，單位分?jǐn)?shù)概念的建立與乘法推理思維發(fā)展、分?jǐn)?shù)計(jì)算與有理數(shù)計(jì)算的合理類比等．評價(jià)導(dǎo)向是當(dāng)前教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，基于學(xué)生學(xué)習(xí)過程的評價(jià)研究，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)評價(jià)過程和結(jié)果的統(tǒng)一是未來研究的重要議題．

4.4 教師的數(shù)學(xué)教學(xué)觀研究是指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的前提和保障

在分?jǐn)?shù)教學(xué)的研究中，一方面，職前和職后教師是否具備理解分?jǐn)?shù)概念，解釋錯(cuò)誤分?jǐn)?shù)模式的知識(shí)，理解學(xué)生在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)過程中特殊的認(rèn)知過程，選取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式是研究者關(guān)注的重要議題．另一方面，教師應(yīng)具備怎樣的分?jǐn)?shù)知識(shí)、分?jǐn)?shù)教學(xué)知識(shí)，以及學(xué)生的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)知識(shí)以支持其在教學(xué)活動(dòng)中做到尊重、理解學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)的先前經(jīng)驗(yàn)并指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，也是關(guān)于分?jǐn)?shù)研究的一個(gè)重要的、國內(nèi)相關(guān)文獻(xiàn)研究較少涉及的主題．此外，關(guān)于教師分?jǐn)?shù)教學(xué)知識(shí)的研究中，研究者也注意到教師所具備的理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的差距，其中典型的表現(xiàn)是，教師具備的分?jǐn)?shù)教學(xué)知識(shí)與單調(diào)傳統(tǒng)的教學(xué)實(shí)踐行為的不一致．在教師具備豐富的學(xué)科教學(xué)知識(shí)對學(xué)生學(xué)習(xí)具有積極影響是教師教育領(lǐng)域的重要共識(shí)下，關(guān)注職后學(xué)習(xí)如何促進(jìn)教師的學(xué)科教學(xué)知識(shí)和教學(xué)信念的發(fā)展，教師所具備的學(xué)科教學(xué)知識(shí)如何對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生影響，是教師形成數(shù)學(xué)教學(xué)觀的前提，也是教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)順利展開以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與素養(yǎng)提升的保障．

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Teaching and Learning Fractions in Chinese Elementary: A Review of Literature in the Past 30 Years

HUANG Xiao-lin, HUANG Qin-an

(School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710119, China)

Based on a systemic review of papers involving fractions, there are two main lines of study around the questions of teaching and learning primary school fractions. One focuses on fractions as knowledge and the other pays more attention to knowledge of the cognition around fractions. These lines occasionally intersect, reflecting the effects of traditional education in China—by which teaching and learning activities revolve around teachers—on the study of mathematics teaching. From the perspective of the teaching and learning of fractions, we attempted to explore the feasibility of teaching materials compiled on students’ cognition of fractions and the method of introducing the concept of fractions using the measurement model to show that the concern of education research to students’ learning. We put forward the following viewpoints: based on “l(fā)earning,” explore mathematical knowledge to enrich knowledge connotation; pay attention to the process of student learning to improve teaching practices; deepen mathematics learning evaluation to promote the cultivation of students’ core literacy; strengthen teachers’ mathematics teaching views to guide their teaching practices; and provide references for mathematics education studies.

the concept of fractions; teaching and learning of fractions; teaching material compiling; measurement model

G622.0

A

1004–9894（2021）06–0039–07

黃曉林，黃秦安．中國三十年來小學(xué)階段分?jǐn)?shù)研究文獻(xiàn)的系統(tǒng)分析及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（6）：39-45．

2021–08–10

國家哲學(xué)社會(huì)科學(xué)基金2017年度教育學(xué)重點(diǎn)招標(biāo)項(xiàng)目——教師核心素養(yǎng)和能力建設(shè)研究（AFA170008）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助——基于乘法推理教學(xué)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教育觀念系統(tǒng)研究（2019TS091）

黃曉林（1984—），女，安徽定遠(yuǎn)人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)教師教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]