王金水 張潔 林晴嵐

摘? 要：以旗桿、金字塔等實物測量為實驗目標，讓學生通過“做”數(shù)學、“學”數(shù)學、“用”數(shù)學，經(jīng)歷數(shù)學抽象、推理論證等過程，使學生身心互為一體、知行相互作用，逐步形成綜合能力，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的生成.

關鍵詞：相似三角形;數(shù)學實驗;實踐活動;核心素養(yǎng)

數(shù)學起源于現(xiàn)實，需要從做中學，才能真正感受知識的內(nèi)涵. 而當前學生獲取知識常常是純粹將前人總結(jié)的經(jīng)驗加以消化和傳承，重結(jié)果、輕過程，少有親自動手實踐. 這顯然忽略了個體對知識的理解和情感體驗，難以實現(xiàn)全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展. 要改變知識單向傳授的局面，實現(xiàn)從接受式學習向發(fā)現(xiàn)式學習的轉(zhuǎn)型，需要搭建個體與知識之間雙向溝通的實驗橋梁.

數(shù)學實驗活動是在特定環(huán)境下，對具有一定數(shù)學意義的實物、模型等，進行觀察、計算、推理、驗證等，探求某類數(shù)學問題，獲得感性認識和數(shù)學信息的活動. 數(shù)學實驗串起了數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學知識，實現(xiàn)了過程與結(jié)果、操作與思維、證偽與證實的有機融合，是一種再發(fā)現(xiàn)、再生長的過程，是發(fā)展的源泉和動力. 數(shù)學實驗可以滿足不同學生的需求，既重視學生外在的操作活動，也重視其內(nèi)在的心理活動，是數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地生根的重要途徑. 筆者以“相似三角形的運用”為載體，通過讓學生借助實物等測量工具，啟思明理、手腦并用，使學生身心互為一體、知行相互作用.

一、實驗目的

以測量具體物高為實驗對象，借用生活中的現(xiàn)象，從經(jīng)驗中學習，設計實驗方案，挖掘隱藏在知識中的數(shù)學思想方法. 在“做”中讓學生動手又動腦，培養(yǎng)有序操作的實踐能力，學會合作交流，形成良好的團隊精神;在“學”中清晰數(shù)學思維和實踐應用，關注“同一地點、不同時刻的兩個物體的影長所成比例”的研究，培養(yǎng)學生多角度觀察、直觀想象、有序思考、嚴謹表達與概括等思維活動能力;在“用”中發(fā)展學生的學習潛能，重視學生學習經(jīng)驗的獲得，實現(xiàn)靜態(tài)數(shù)學觀與動態(tài)數(shù)學觀的融通，提升解決問題的能力和創(chuàng)新思維能力，讓數(shù)學教學更加具有活力.

二、實驗內(nèi)容

顯性方面是通過動手操作（計算、演示等）、動腦思維（建模、推理等），將實際物體的測量問題抽象成數(shù)學模型，掌握測量方法，驗證“同一地點，兩物體不同時刻影長比相同”及解決影長不在同一平面上求物體高度等問題.

隱性方面是讓學生形成一定的能力與品質(zhì)，學會學習、愛上學習，具備綜合實踐的能力，具備終身學習的能力.

三、實驗流程

實驗基本流程：探究—引導—發(fā)現(xiàn).

縱（明）線：手腦協(xié)同，探索方法;引導發(fā)現(xiàn)，發(fā)展思維;運用遷移，提升能力;回歸事實，啟思明理. 在探索方法中讓學生捕捉實驗背景，實現(xiàn)與實驗目標產(chǎn)生直接而必然的聯(lián)系;在引導發(fā)現(xiàn)中讓問題有層次，從靜止到變化、從單一到復雜，與背后的數(shù)學原理產(chǎn)生內(nèi)在聯(lián)系;在運用遷移中實現(xiàn)知識遷移與整合;在回歸事實中學會用數(shù)學眼光看待事物，啟思明理，凸顯實踐性思維，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

橫（暗）線：學生在獲取知識經(jīng)驗的同時掌握數(shù)學技能和思想方法，形成理性思考論證習慣，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).

實驗路線圖如圖1所示.

四、實驗過程

以小組為單位，合作交流，從“做”數(shù)學到“學”數(shù)學再到“用”數(shù)學，讓測量便于操作，過程更加靈活，結(jié)論可以測試.

1. 手腦協(xié)同，探索方法

“做”數(shù)學. 以問題為載體，將數(shù)學實驗教學引入課堂，為學生提供參與學習過程的機會，把現(xiàn)實問題數(shù)學化，充分發(fā)揮個體的想象力和思維力，從而獲得較為準確的數(shù)學感性認識.

環(huán)節(jié)1：旗桿測量問題.

課前通過實地考察，讓學生思考和設計旗桿測量問題，小組交流展示.

組長1：采用影長測量法. 具體操作為：如圖2，CD表示生1的身高1.6米，AB表示直立的旗桿，測出同一時刻AB的影長BD的值和CD的影長DE的值.

影長測量法直觀簡單. 通過讓學生測量自己的影長等，激發(fā)興趣、誘發(fā)思考、產(chǎn)生聯(lián)想，建立一定的數(shù)學直觀或直覺，使得數(shù)學學習不再枯燥.

組長2：采用標桿測量法. 具體操作為：如圖3，CD表示生2的身高1.7米，AB表示旗桿，EF為一根2米長的標桿，且直立在旗桿與生2之間. 當生2的眼睛（點C）、標桿的頂端（點E）、旗桿的頂端（點A）恰好在同一直線上時，其他同學測量出DF及BF的長即可.

標桿測量法需要借助實驗工具. 三點成一線是測量的難點，要不斷調(diào)整標桿或測量者的位置，學生在現(xiàn)場親身感受、體驗、交流、辨析等，可以積累更多的經(jīng)驗，生成更多的智慧.

組長3：采用鏡中倒影法. 具體操作為：如圖4，在身高1.7米的生3（CD）與旗桿（AB）之間的地面上平放一面鏡子（點E），當生3能夠通過鏡子（點E）看到旗桿頂端（點A）時，其他同學測得DE與BE的長即可.

鏡中倒影法是利用光的反射原理. 圖4中CD的長是指眼睛與地面間的距離. 借助觀察鏡面的反射調(diào)動自己的感官，不同人測量旗桿的高度值也許不同，在合理的范圍內(nèi)，感受數(shù)學事實，滿足學生自我展示的愿望，有利于學生的終身發(fā)展.

師：說一說這些測量方法的可行性及其特點.

生4：影長測量法需要影子，有陽光是前提;標桿測量法不用影子，但標桿與旗桿的頂端必須看得見. 鏡中倒影法不用影子，但鏡面（水面）必須水平，測量的環(huán)境一定是在水平地面上.

測量調(diào)動了學生的感官，通過對信息的加工、轉(zhuǎn)換和思考，把操作與思維結(jié)合起來，以夯實基礎、激發(fā)潛能、提升技能. 不難看出，每個測量結(jié)論的產(chǎn)生都伴隨著一段嚴謹?shù)膶嶒炦^程，使學生聚焦不同方法、比較不同算法、挖掘共同本質(zhì)、掌握數(shù)學建模等基本方法和技能，達成知識的發(fā)展性價值及學生思維培養(yǎng)的目標.

2. 引導發(fā)現(xiàn)，發(fā)展思維

實驗是挖掘知識的本源性問題、還原“學”數(shù)學的過程. 在學習、探索、發(fā)現(xiàn)、探討規(guī)律性結(jié)果的實驗中，通過感悟知識的抽象過程、傳遞人類積累的經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)已知或潛在的數(shù)學事實，實現(xiàn)研究內(nèi)容的可視化，從而促進學生個體空間想象力、推理能力和論證能力的提升.

環(huán)節(jié)2：測量胡夫金字塔的高度.

介紹胡夫金字塔的測量典故，建立與旗桿測量相互聯(lián)系的實踐機會. 胡夫金字塔塔基呈正方形，邊長約230米，千年來無人知其高度. 泰勒斯利用某時刻自己的影長等于身長推導塔影等于塔高的原理，從而測量出了胡夫金字塔的高度.

題目? 如圖5，若泰勒斯（CA）身高2米，他的影長AD為3米，測得胡夫金字塔的影長OA為201米，求胡夫金字塔的高度BO.

問題簡單，多數(shù)學生采用影長測量法，利用△AOB ∽ △DAC，有[BOOA=CAAD.] 求得BO = 134（米）.

問題：題目中的三個已知數(shù)據(jù)是否可信？

生：實際測量當然可信.

追問：OA是怎么量的？

追問的目的在于改變知識維度，轉(zhuǎn)換問題方向. 很明顯，學生都認為是點A到正方形的距離加正方形邊長的一半，展現(xiàn)了數(shù)學邏輯的魅力及數(shù)學思考的經(jīng)驗.

生5：若塔基無規(guī)則（非標準正方形），則OA無法直接測量，該怎么辦？

問得很好，一石激起千層浪. 此時展現(xiàn)的問題具有獨特的價值，推進實驗向縱深發(fā)展. 除了金字塔影長為0的特殊時刻外，學生都一時難以找到影長的測量方法.

生6：影長會隨著時間的變化而變化，那么影長的增加量與時間的增加量有什么關系？

生6的疑問給大家指明了研究方向，激發(fā)了學生的思維靈感，學生想到借助兩次或兩次以上的影長變化來研究問題，一致認為胡夫金字塔的影長與泰勒斯的影長變化規(guī)律相同，只要研究泰勒斯的影長變化規(guī)律就可以了. 此時，多數(shù)學生認為影長的增加量與時間的增加量成正比. 這一“創(chuàng)造性”想法馬上遭到另外一部分學生的反駁，因為中午時刻影長變化率不大，而太陽下山時，影長變化率非常大. 去偽存真、去虛求實，這需要反思性、批判性、創(chuàng)新性思維的參與，在“證偽”“證實”間，學生更有了遠見和思想.

生7：我認為，不同時刻，同一地點，不同的兩個物體的影長之比可能相等.

簡而言之，同一地點，不同物體在不同時刻下對應的影長成比例. 生7這一觀點，似乎有道理，如何驗證呢？可信的結(jié)論，必須給出嚴謹、科學的理論證明. 筆者引導學生以此結(jié)論為實驗對象，以小組為單位，分組參與不同的實驗環(huán)節(jié)，各自利用實驗工具或幾何畫板軟件干預變量，收集數(shù)據(jù)，讓思維可視化.

生8：如圖6，線段AB，CD分別代表泰勒斯和他的助手. BE，BM，DF，DN分別代表不同時刻他們的影長. 根據(jù)同一時刻太陽光是平行的，有AE∥CF，AM∥CN，進而得△ABE ∽ △CDF，△ABM ∽ △CDN. 所以[ABCD=][BEDF， ABCD=BMDN.] 所以[BEDF=BMDN.]

筆者用紅筆圈出生8所列比例式[BEDF=BMDN，] 引發(fā)學生有目的地思考，聚焦問題的核心，促進操作向正確的方向發(fā)展，并要求生8用語言敘述自己的發(fā)現(xiàn).

生8：同一地點，不同時刻兩個物體的影長成比例.

師：歸納得非常正確. 但金字塔的兩次影長都是未知的，怎么辦？

生9：它們之間有聯(lián)系，可以用方程思想解決.

生10：如圖7，只要泰勒斯從原位置A處沿著影長AD再走到點D處，則在某一時刻金字塔的影長末端剛好在點D處時，再測出泰勒斯的影長DF的長，就有辦法測出金字塔起始影長OA.

師：為什么？

生10：由AC = DE，設OA = x. 根據(jù)同一地點，不同時刻的兩個物體的影長成比例，有[ADOA=DFOD.] OD = OA + AD，AD與DF可測，則可以求出OA的值.

在思維的碰撞中擦出新的火花，發(fā)現(xiàn)了不同物體、不同時刻下的兩次影長比相同，破解了底部無法到達的測量問題. 學生們感到無比興奮，人人煥發(fā)全新的活力，在相互啟迪、鼓勵中，感受到發(fā)現(xiàn)的樂趣，滿足學生創(chuàng)造性學習的要求，構(gòu)建了合理的知識體系，促進了學生學習能力的整體提升.

生11：按照這一結(jié)論，生10的論述就不具有一般性了. 在圖5的基礎上，如圖8，只要泰勒斯從點A沿著影長AD（已測）再走到任意點H處，當在某一時刻金字塔的影長末端剛好在點H時，測出泰勒斯的影長HF的長及其所走路程AH的長，根據(jù)[ADOA=HFOH，] OD = OA + AD，OH = OA + AH，AD和AH均可以測量，就有辦法測量起始影長OA的長.

對金字塔的空間想象和數(shù)據(jù)測量與運算，從直接測量到間接測量，引發(fā)學生逐步深入，手腦并用協(xié)同促進，體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)過程，即從“猜想—數(shù)學化的表達—形式化的證明—概括遷移—創(chuàng)造思維”，實現(xiàn)了問題的簡單化，理清了數(shù)學知識的發(fā)展始末. 實驗是不斷發(fā)現(xiàn)知識、理解知識和應用知識的過程. 實踐中得到的知識技能、創(chuàng)造能力和科學研究意識，極大促進了學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算等關鍵能力的生成，尤其是養(yǎng)成了堅韌不拔的品質(zhì)，進而推動學生的全面發(fā)展.

3. 運用遷移，提升能力

加強和塑造“用”數(shù)學，積累數(shù)學經(jīng)驗學會學以致用，促進對數(shù)學事實的認識，形成具有連續(xù)性和生長性的經(jīng)驗，讓數(shù)學知識得到遷移和理解，增強學生適應社會的能力.

環(huán)節(jié)3：真實背景下測量樹木的高度.

觀察校園樹木的周圍環(huán)境. 要求學生從中發(fā)現(xiàn)問題，自主提出問題，再與全班學生一起嘗試抽象構(gòu)圖、數(shù)學思考、模型建構(gòu)，找到問題解決的方案.

生12：如圖9，測得長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.8米，甲樹多高？

簡單應用，營造輕松、自然或自發(fā)的學習氛圍，感受到共同探究的樂趣和成就感.

生13：如圖10，測得長為1米的竹竿的影長為0.8米，發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上，墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米，乙樹多高？

樹木周圍環(huán)境有變，面對數(shù)學事實，發(fā)展抽象思維，激發(fā)學習興趣.

生14：如圖11，測得長為1米的竹竿的影長為0.8米，發(fā)現(xiàn)丙樹影子除落在地面上外，還有一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，落在地面上的影長為4.6米，丙樹多高？

周圍環(huán)境再變，影長落在了三個平面內(nèi)，讓知識結(jié)構(gòu)不斷發(fā)展.

生15：如圖12，測得丁樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上的影長為3米. 身高是1.6米的小王站在坡面上，影子也都落在坡面上，小林測得他的影長為1.2米，丁樹多高？

影長由在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)化到斜面內(nèi)，讓知識形成遷移，從而獲取新知識和新技能.

學生的能力決定了開發(fā)實驗素材的深度和廣度. 從課堂走向課外，最終又回到數(shù)學事實本身. 實驗教學能促進學生自主發(fā)展，實現(xiàn)人人皆學、處處可學、時時能學，進而積累一定的經(jīng)驗與策略，培養(yǎng)學生求真、求實的科學態(tài)度，以及“問、驗、悟、用”的能力. 這樣的課堂數(shù)學思維更濃了.

4. 回歸事實，啟思明理

在數(shù)學事實的基礎上，以實驗中存在的問題（操作層面、理性層面等）為契機，通過坦誠意見交推，化解心中的困惑，積累與發(fā)展經(jīng)驗，使經(jīng)驗與知識之間的相互轉(zhuǎn)化形成有真實價值的實驗成果.

環(huán)節(jié)4：釋疑解惑，尋求指導.

運用簡單的表格，匯總實驗活動中的經(jīng)驗教訓，反思實驗的成敗. 通過答辯透悟，經(jīng)歷去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的深化過程，從而調(diào)整認知結(jié)構(gòu)，讓結(jié)論趨向科學化、合理化與可信化，促進學生個體的成長與進步.

生16：若旗桿或樹與地面不垂直怎么辦？

生17：中午時刻，當測量者的影長為0時，以旗桿頂端在地面的投影為基點，當兩者都有影長時，再進行測量.

生18：為了防止旗桿被臺風刮倒，常見旗桿頂上被一線拉住. 此時是否有更好的方法測量旗桿的高度？

師：需要知道線與地面的接觸點與旗桿的距離及線與地面所成的角，利用后續(xù)要學的三角函數(shù)知識可以計算出旗桿的高度. 有興趣的同學可以先行研究.

生19：樹梢影長太小，經(jīng)常隨風飄動，難于固定怎么辦？

生20：在陽光充足的情況下，或無風狀態(tài)下，或多次定樹梢投影點，找出最密點.

生21：地面不平怎么辦？

師：以被測物體的適當高度為基準，利用標桿等測量工具，找到一條平行于地平線的準線.

生22：斜坡坡面不平怎么辦？

生23：取一塊平整的木板置于上面.

生24：粗樹桿的影長如何測量？有沒有比較簡潔的測量方法？

生25：類比測量跳遠的距離.

實驗為學生營造了想象的空間. 從抽象到具體，從粗略到精確，讓學生敢說、敢想、敢做. 在回歸數(shù)學事實的過程中，自我調(diào)整認知結(jié)構(gòu)形成數(shù)學思維;在對實驗結(jié)果進行客觀描述、歸納活動經(jīng)驗時，學會用理性的眼光看待事物，善于提煉數(shù)學思想方法，實現(xiàn)明一理、通一類的飛躍.

五、實驗價值

數(shù)學實驗在于“做”數(shù)學、“學”數(shù)學、“用”數(shù)學.

“做”數(shù)學. 以測量問題為驅(qū)動，通過手腦并用，獲取感性認識，使問題直觀化、形象化、簡單化、生活化、數(shù)學化. 在“做”和“思考”中積淀知識，提出新觀點、生成新知識，積累基本活動經(jīng)驗，感受知識的鮮活，初步體驗創(chuàng)造的激情，培養(yǎng)學生的批判與創(chuàng)新精神，為課堂教學注入新的活力.

“學”數(shù)學. 親歷知識的再現(xiàn)過程，經(jīng)歷反思和質(zhì)疑，檢驗猜想，驗證結(jié)論，讓學生變被動的“聽”為主動的“學”. 自主發(fā)現(xiàn)、解決問題，錘煉數(shù)學語言，形成層進式、沉浸式的學習習慣，以及發(fā)現(xiàn)式的數(shù)學意識.

“用”數(shù)學. 整合應用所學的知識，在運用中促進對知識的深入理解、思考，掌握數(shù)學基本技能，逐漸學會用數(shù)學眼光看世界，提升解決實際問題的綜合能力，進而實現(xiàn)求真求實、科學嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，完善思維品質(zhì).

數(shù)學實驗的本質(zhì)是以數(shù)學問題為出發(fā)點，以獲得數(shù)學結(jié)論為目標，以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為使命的實踐活動. 教學時，建構(gòu)抽象、簡化、開放的數(shù)學實驗環(huán)境，讓教與學相互交融，使學生在良性競爭、共享互惠、協(xié)同進化中充分展示思維，激發(fā)學生對實驗探究和應用的學習熱情，發(fā)揮學生的情感效能，培養(yǎng)學生實事求是、勇于探索的創(chuàng)新精神，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，造就富有生氣且充滿靈性的個體.

參考文獻：

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