吳增生

摘? 要：在第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)舉辦了“平面幾何優(yōu)秀課展示與研討”這一中國特色主題活動(dòng)，以“平行線的判定與性質(zhì)”一課為例，向國際同行介紹了中國式課例研究活動(dòng)及中國教研體系特色.“平行線的判定與性質(zhì)”教學(xué)案例集中體現(xiàn)了“用整體教學(xué)追求學(xué)生直觀與邏輯融合發(fā)展”的教學(xué)特色，具體體現(xiàn)為：用“怎樣研究一類幾何圖形”大觀念，采用單元整體教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生一氣呵成地研究平行線的定義、性質(zhì)和判定，然后通過說理練習(xí)加以鞏固;開展直觀與邏輯融合的教學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力;圍繞研究主題，有層次地開展研究活動(dòng)，建立局部知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)體系.

關(guān)鍵詞：中國幾何教學(xué);直觀與邏輯融合;教學(xué)活動(dòng)

在2021年7月11—18日舉行的第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)舉辦了“一節(jié)平面幾何課的展示與討論”這一中國特色主題活動(dòng)，以義務(wù)教育初中階段平行線內(nèi)容的教學(xué)為例，進(jìn)行課例展示與研討，并介紹了中國教研體系的運(yùn)作特色及中國式課例研究的特點(diǎn). 這一活動(dòng)受到了國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育工作者的廣泛關(guān)注.

由上海宋慶齡學(xué)校陳建豪教師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）執(zhí)教的“平行線的判定與性質(zhì)”一課，采用單元整體教學(xué)策略，在80分鐘的教學(xué)過程中，引領(lǐng)學(xué)生自然合理地引入研究對象、提出研究問題、整體規(guī)劃研究思路并分步實(shí)施，較好地體現(xiàn)了平面幾何的核心育人價(jià)值——發(fā)展學(xué)生的空間觀念、建立初步的幾何直觀、發(fā)展邏輯推理能力.

一、教材中教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式

“平行線的判定與性質(zhì)”一課的教學(xué)內(nèi)容選自滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》七年級(jí)第二學(xué)期（以下統(tǒng)稱“教材”）第十三章“相交線? 平行線”. 該章內(nèi)容是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了直線、射線、線段、角等基本幾何元素的基礎(chǔ)上，研究平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系——相交與平行.“平行線”單元是在“相交線”單元學(xué)習(xí)用角刻畫兩相交直線相對位置關(guān)系及“三線八角”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用角的數(shù)量關(guān)系刻畫平面內(nèi)兩條直線的平行關(guān)系.

在“相交線”單元內(nèi)容中，教材設(shè)計(jì)了“三線八角”的教學(xué)內(nèi)容，這為平行線的研究提供了用角的數(shù)量關(guān)系刻畫直線平行位置關(guān)系的直觀工具和邏輯基礎(chǔ).

“平行線”教材內(nèi)容的設(shè)計(jì)，是基于學(xué)生在小學(xué)階段的認(rèn)知基礎(chǔ)，先給出“平行線”的概念，再利平推法畫平行線這一操作活動(dòng)形成直觀經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步通過想象和歸納獲得基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”及“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”. 在基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”的基礎(chǔ)上，通過邏輯推理得到“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”. 然后研究“如果以兩條直線平行為條件，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角會(huì)有什么特殊關(guān)系”，并通過操作活動(dòng)探究“兩直線平行，同位角相等”. 在此基礎(chǔ)上，通過邏輯推理獲得“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”. 教材采用“知識(shí)點(diǎn) + 練習(xí)鞏固”的形式穿插安排教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)課時(shí)安排建議如下表所示.

[單元內(nèi)容 教學(xué)內(nèi)容 教材建議課時(shí) 平行線 平行線的判定 5課時(shí) 平行線的性質(zhì) 3課時(shí) ]

二、課例簡介

執(zhí)教教師展示的“平行線的判定與性質(zhì)”整體教學(xué)課例，用兩節(jié)連排課，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷平行線的引入、定義、判定與性質(zhì)研究的完整過程，并在教學(xué)后配4節(jié)習(xí)題課，總課時(shí)數(shù)上少于建議課時(shí)，且因其研究性，使得對學(xué)生空間觀念、幾何直觀和推理訓(xùn)練取得了更好的效果. 特別地，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了怎樣自然合理地引入研究對象、提出研究主題、規(guī)劃研究主線、分步研究、建構(gòu)邏輯體系. 事實(shí)上，這是在追求高階認(rèn)知能力的發(fā)展.

1. 基于已有經(jīng)驗(yàn)和空間視覺直觀，引入研究對象，發(fā)現(xiàn)和提出研究主題，規(guī)劃研究思路

首先，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生回顧相交線的研究歷程，基于相交線的位置的動(dòng)態(tài)變化，提煉出“通過交角的特殊化引入垂線研究”的問題發(fā)現(xiàn)和提出經(jīng)驗(yàn)（如圖1）.

[四個(gè)角][和為180°][相等][鄰補(bǔ)角][對頂角][特殊化][兩條直線垂直][兩條直線相交] [位置關(guān)系][數(shù)量關(guān)系][圖1]

接著，引導(dǎo)學(xué)生回顧“三線八角”，明確這是在相交線基礎(chǔ)上增加一條直線得到的，并引導(dǎo)學(xué)生思考“類似基于相交線提出垂線研究問題，能否基于兩條直線被第三條直線所截，把這兩條直線的位置特殊化，提出新的研究問題”，并結(jié)合一條直線方向的動(dòng)態(tài)變化，提出并明確研究問題：什么是平行線？怎樣判定兩條直線平行？進(jìn)一步，類比垂線的研究，規(guī)劃平行線判定的研究主線：定義——從角的數(shù)量關(guān)系研究平行線的判定（如圖2）.

[? ? 兩條直線被第三條直線所截][三線

八角][同位角][內(nèi)錯(cuò)角][同旁內(nèi)角][特殊化？][兩條直線的特殊位置？] [位置關(guān)系] [數(shù)量關(guān)系] [圖2]

2. 基于空間視覺直觀和已有經(jīng)驗(yàn)，抽象平行線的概念

怎樣給出平行線的定義？其實(shí)，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過平行線的定義，在這里是回顧性的. 但是，課例不能只停留在簡單回顧上，而是要通過觀察不同位置的兩條直線，讓學(xué)生直觀判斷其是否平行（如圖3），以加深對平行線概念的理解. 同時(shí)，發(fā)現(xiàn)用定義判斷兩條直線平行的困難，引導(dǎo)學(xué)生提出“如何尋找更可靠、方便的判定兩條直線平行的方法”的問題，進(jìn)而引入后面的探究活動(dòng). [b][a][（1）] [a][b][（2）][圖3]

3. 基于操作直觀，確立基本事實(shí)

基于用定義判斷兩條直線平行的困難，執(zhí)教教師讓學(xué)生自主選擇不同的方法畫平行線，在這種直觀操作的基礎(chǔ)上，結(jié)合想象，確立平行線判定的基本事實(shí)，并得到平行公理. 學(xué)生給出了如圖4所示的不同畫法，這既為歸納得到平行線判定的基本事實(shí)提供直觀啟發(fā)，也為后面從內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角視角研究平行線的判定埋下伏筆.

接著，執(zhí)教教師重點(diǎn)介紹平推法畫平行線. 讓學(xué)生用不同的方法平推畫平行線，讓同位角從特殊的直角出發(fā)，先利用三角板中的30°，45°，60°角，實(shí)現(xiàn)從直角到非直角的初步一般化;再利用任意角度的自制三角板推平行線，并引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注推平行線時(shí)保證的是同位角始終相等，把這種畫法推廣到一般. 在畫的基礎(chǔ)上分析作平行線過程的本質(zhì)，歸納出畫相等的同位角即可作出平行線，進(jìn)而得出平行線判定基本事實(shí)——同位角相等，兩直線平行. 并進(jìn)一步概括出平行公理——過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

4. 基于演繹推理，得到等價(jià)判定方法

有了平行線判定的基本事實(shí)，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生用演繹推理的方式，以平行線判定基本事實(shí)為依據(jù)，推出“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”. 在這個(gè)過程中，執(zhí)教教師講解推理的要求——從條件出發(fā)，用已有的正確陳述為依據(jù)，推出結(jié)論. 通過教師示范和師生互動(dòng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)證明“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，再讓學(xué)生獨(dú)立證明“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，讓學(xué)生從模仿推理過渡到有指導(dǎo)的獨(dú)立推理. 在這個(gè)階段，先用直觀的方法獲得基本事實(shí)，再用演繹推理的方法得到其余兩個(gè)判定定理.

5. 融合直觀與邏輯，研究平行線性質(zhì)

在完成并總結(jié)平行線判定的研究基礎(chǔ)上，執(zhí)教教師進(jìn)一步提出問題：如果已知兩條直線平行，那么同位角有什么關(guān)系？指出這是以“平行”這一位置關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，研究角的數(shù)量關(guān)系. 然后，讓學(xué)生在已經(jīng)畫出的平行線上任意畫截線，通過測量和動(dòng)畫展示的方法，讓學(xué)生直觀獲得平行線的性質(zhì)——兩直線平行，同位角相等. 這是直觀的學(xué)習(xí)活動(dòng). 在此基礎(chǔ)上，類比平行線判定的研究過程，引導(dǎo)學(xué)生用演繹推理的方法推出平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ). 實(shí)際上，是基于直觀基礎(chǔ)進(jìn)行演繹推理.

6. 開展融合直觀與邏輯的說理訓(xùn)練活動(dòng)

教師通過以下融合直觀與邏輯的推理訓(xùn)練活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生辨析題設(shè)與結(jié)論，采取適當(dāng)?shù)囊罁?jù)（判定或性質(zhì)）進(jìn)行推理，既促進(jìn)學(xué)生鞏固新知，又促進(jìn)學(xué)生空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力的發(fā)展.

（1）如圖5所示.

（2）如圖6所示.

7. 總結(jié)分享，整體構(gòu)建邏輯體系

教師用以下三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)，建立知識(shí)之間的聯(lián)系.

（1）我們研究的幾何對象是什么？研究了哪些內(nèi)容？

（2）這些知識(shí)之間有什么聯(lián)系？

（3）還有哪些收獲和體會(huì)？

三、課例特色

上述教學(xué)過程體現(xiàn)了“用整體教學(xué)追求直觀與邏輯融合發(fā)展”的特色，具體體現(xiàn)在以下方面.

1. 基于直觀經(jīng)驗(yàn)，引入圖形關(guān)系

教學(xué)中，執(zhí)教教師借助兩條直線從相交到垂直的從一般到特殊的變化，直觀提出垂線的研究問題，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，基于“三線八角”提出平行線的研究問題，這是基于直觀經(jīng)驗(yàn)和類比，發(fā)現(xiàn)和引入研究對象，提出研究問題的過程，是直觀和邏輯融合的學(xué)習(xí)活動(dòng).

2. 一般觀念引領(lǐng)，建構(gòu)整體框架

在基于直觀和類比引入平行線后，用“怎樣研究一類幾何圖形”的大觀念引領(lǐng)，整體規(guī)劃研究思路：給出定義，明確研究對象，研究其判定和性質(zhì);通過類比相交線和垂線的“用角刻畫直線的位置關(guān)系”的研究方法，提出“用角的數(shù)量關(guān)系刻畫兩直線平行”這一研究方法. 這個(gè)過程是基于前面研究的直觀經(jīng)驗(yàn)，再進(jìn)行類比和猜想，也是直觀與邏輯融合的學(xué)習(xí)活動(dòng).

3. 語言符號(hào)表達(dá)，抽象幾何概念

小學(xué)學(xué)過平行線的概念，教師通過設(shè)計(jì)直觀想象判斷兩條直線是否平行的活動(dòng)，讓學(xué)生辨別平行線的概念，發(fā)現(xiàn)用定義判定平行線的困難. 定義回顧時(shí)基于語言并用符號(hào)表達(dá)，這是基于邏輯的. 而針對具體的圖形進(jìn)行辨別，則是把抽象的概念應(yīng)用于直觀圖形，是直觀與邏輯的融合.

4. 操作確認(rèn)事實(shí)，形成邏輯基礎(chǔ)

在“平行線的判定與性質(zhì)”的研究中，“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實(shí)是推理得到其余兩個(gè)判定及平行線性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，這一邏輯基礎(chǔ)的獲得依賴于直觀，是通過平推法畫平行線活動(dòng)獲得的，而在這一直觀經(jīng)驗(yàn)獲得的過程中，經(jīng)歷了同位角從特殊到一般的歸納過程，這又是邏輯推理活動(dòng).

5. 直觀觀察歸納，發(fā)現(xiàn)提出命題

在“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的教學(xué)中，執(zhí)教教師基于學(xué)生開放畫平行線留下的圖形，借助“三線八角”的概念，通過歸納，發(fā)現(xiàn)和提出命題，并依據(jù)“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實(shí)進(jìn)行推理證明. 在研究平行線性質(zhì)的過程中，通過讓學(xué)生在兩平行線上任意畫截線，測量同位角，動(dòng)態(tài)展示截線的變化，通過歸納得到“兩直線平行，同位角相等”.

6. 通過演繹證明，確立幾何命題

在用基本事實(shí)推出其余兩個(gè)判定和用“兩直線平行，同位角相等”推出其余兩個(gè)性質(zhì)的教學(xué)中，通過執(zhí)教教師講解示范，學(xué)生模仿、獨(dú)立操作和執(zhí)教教師指導(dǎo)等活動(dòng)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)“以條件為出發(fā)點(diǎn)，以基本事實(shí)和定理為依據(jù)，逐步推出結(jié)論”這一推理的邏輯話語體系，并通過練習(xí)加以鞏固.

7. 逐步層次展開，構(gòu)建知識(shí)體系

教學(xué)過程中，執(zhí)教教師設(shè)計(jì)的研究活動(dòng)，從直觀經(jīng)驗(yàn)開始，通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題，用幾何圖形研究的一般觀念引領(lǐng)，整體規(guī)劃研究思路和方法，并經(jīng)歷“定義—畫圖—確立基本事實(shí)—研究其余兩個(gè)判定—研究平行線的性質(zhì)”的過程，分步有序?qū)嵤罱K通過課堂小結(jié)中的提問引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系. 整個(gè)過程結(jié)構(gòu)清晰、層次分明、環(huán)環(huán)緊扣. 學(xué)生經(jīng)歷了完整的平行線研究過程，建構(gòu)了知識(shí)的局部邏輯體系，獲得了幾何圖形關(guān)系研究的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

四、教學(xué)設(shè)計(jì)的理論依據(jù)

這種直觀與邏輯融合的整體教學(xué)設(shè)計(jì)，具有比較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ). 首先，歐幾里得幾何在促進(jìn)學(xué)生空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力發(fā)展中具有不可替代的作用，這也是初中平面幾何教學(xué)的核心育人價(jià)值. 要實(shí)現(xiàn)這些核心育人價(jià)值，需要開展融合直觀與邏輯的單元整體活動(dòng). 黨中央、國務(wù)院在2019年6月頒布的《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》中所倡導(dǎo)的主題化、項(xiàng)目化學(xué)習(xí)方式，從政策層面說明了開展整體教學(xué)的重要性.

直觀與邏輯融合是數(shù)學(xué)思維最顯著的特征. 哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都有許多相關(guān)論述. 例如，德國著名哲學(xué)家康德說過，人類所有的知識(shí)始于直觀，從哪里進(jìn)入概念，以理念結(jié)束;Hanna G，de Villiers M說過，高水平的數(shù)學(xué)研究就是新定理的發(fā)現(xiàn)與證明;Elliott Whiteley指出，高水平的數(shù)學(xué)思維是直觀洞察與嚴(yán)密分析的流暢轉(zhuǎn)換（2011年）;Giuseppe Longo認(rèn)為，直觀指的是“看到什么、能做什么”，而非“是什么”（2011年）;史寧中指出，知識(shí)的發(fā)現(xiàn)依賴于直觀，知識(shí)的確立依賴于邏輯.

直觀與邏輯融合得到了認(rèn)知心理學(xué)的支持. 數(shù)學(xué)邏輯推理能力是從知覺運(yùn)動(dòng)到核心概念，從直觀與形式的混合推理到公理化形式化推理的循序漸進(jìn)的成熟和發(fā)展的. 邏輯推理能力的發(fā)展是基于直觀想象的（如圖7）.

直觀與邏輯融合，得到腦科學(xué)相關(guān)理論的支持. 心理邏輯理論（MLT）認(rèn)為，演繹推理基于語義加工（Braine and O'Brien，1998年;Rips，1994年;Goel et al.，2000年;Noveck et al.，2004年）;周新林等也認(rèn)為，幾何證明與幾何計(jì)算相比，更多激活了大腦語義網(wǎng)絡(luò)（如圖8）.

如圖9，心理模型理論（MMT）認(rèn)為，演繹推理基于視覺空間加工（Johnson-Laird，1983年，2001年，2006年;Johnson-Laird and Byrne，1991年）.

雙加工理論認(rèn)為，不同的演繹推理任務(wù)依賴于不同類型的神經(jīng)環(huán)路，基于情境的推理更多地激活語義網(wǎng)絡(luò)，而基于空間的推理更多地激活空間網(wǎng)絡(luò)（Johnson-Laird，1983年，2001年，2006年;Johnson-Laird and Byrne，1991年）. 而超模態(tài)理論認(rèn)為，語義和視覺空間整合于演繹推理超模態(tài)的不同階段（如圖10，圖11）.

根據(jù)演繹推理的超模態(tài)理論，直觀與語義在演繹推理的不同環(huán)節(jié)起到作用. 那么，具體是怎樣融合的呢？圖12以證明“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的探究過程為例，分析了演繹證明過程中語義與空間加工在什么時(shí)候，怎樣起作用. 結(jié)果表明，在理清命題的題設(shè)和結(jié)論，在證明推理過程中回顧證明所依據(jù)的原理時(shí)，語言加工起到主要作用. 但是，語言的這種作用是嵌入到證明思路的總體規(guī)劃活動(dòng)中的. 也就是說，演繹證明就是從題設(shè)出發(fā)，以已經(jīng)確立的命題為推理依據(jù)，架構(gòu)從起點(diǎn)通向目標(biāo)的橋梁，這一過程整體上是直觀的空間加工，而在搜索原理的過程中，需要在適當(dāng)?shù)牡胤讲迦朊}的語義加工.

五、進(jìn)一步完善的建議

教學(xué)既要講究科學(xué)，也是不斷完善中的藝術(shù). 本課例的教學(xué)中仍然存在可以進(jìn)一步完善之處，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1. 問題提出的整體性可以更強(qiáng)

基于“三線八角”，在通過兩條直線的位置關(guān)系的特殊化引入平行線后，可以更具有整體性地提出問題：類比相交線的研究，怎樣定義平行線？用什么幾何量刻畫兩條直線的平行關(guān)系？在回顧平行線的定義，發(fā)現(xiàn)依據(jù)定義判定兩條直線平行的困難后，可以進(jìn)一步提出正反兩方面的問題：怎樣判斷兩條直線平行？怎樣判斷兩條直線不平行（實(shí)際上是性質(zhì)）.

2. 可以進(jìn)一步通過可視化表達(dá)思考過程

例如，可以用圖13表示平行線判定的研究思路，用圖14表示平行線性質(zhì)的研究思路，最終整合成圖15所示的“平行線判定與性質(zhì)”的整體研究思路，更直觀地總結(jié)思考過程，表達(dá)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

六、研究結(jié)論

基于前文分析，可以得到融合直觀與邏輯的初中平面幾何單元整體教學(xué)的以下基本策略.

基本策略1：基于知覺運(yùn)動(dòng)，形成充分的直觀經(jīng)驗(yàn).

基本策略2：用好語言中介，抽象幾何概念與命題.

基本策略3：一般觀念引領(lǐng)，基于演繹推理構(gòu)建局部知識(shí)體系. 所謂一般觀念，指的是怎樣研究幾何圖形及其關(guān)系，包括研究思路、研究內(nèi)容和研究方法等.

融合直觀與邏輯的整體教學(xué)，既要求直觀與邏輯融合，又要求進(jìn)行整體教學(xué). 其最顯著的特征是：幾何研究基于圖形直觀進(jìn)行邏輯推理，整體教學(xué)聚焦核心問題，規(guī)劃研究主線、分步實(shí)施、逐步發(fā)展.

這種直觀與邏輯融合的單元整體教學(xué)策略，可以應(yīng)用到幾乎所有幾何圖形及其關(guān)系的教學(xué)實(shí)踐中. 因?yàn)樗染哂兄庇^性，又強(qiáng)調(diào)邏輯推理，還強(qiáng)調(diào)研究的完整性和系統(tǒng)性，這對學(xué)生空間觀念的形成、幾何直觀的建立及推理能力的發(fā)展都具有良好的效果.

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