楊魁平

(貴州省遵義市第五十五中學(xué) 貴州 遵義 563000)

引言

相傳古羅馬的亞歷山大城當(dāng)中有擅長(zhǎng)物理、數(shù)學(xué)的學(xué)者，有一天，羅馬將軍要拜訪他，于是將軍向?qū)W者請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題“將軍從A軍營(yíng)出發(fā)，到河邊先飲馬，之后去河岸的同側(cè)B處宿營(yíng)，如何行走路程才會(huì)最短”。飲水點(diǎn)屬于重點(diǎn)，解決問(wèn)題過(guò)程當(dāng)中需要構(gòu)造出對(duì)稱點(diǎn)，尋找飲馬的最短距離。部分中學(xué)生在求解此類問(wèn)題時(shí)不知如何入手，因此需要教師加以指導(dǎo)，幫助其找到解題思路。

1.初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題學(xué)習(xí)障礙分析

初中生要解決“將軍飲馬”這類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要明確相關(guān)概念，包括動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)，其中，動(dòng)點(diǎn)就是“飲馬點(diǎn)”，定點(diǎn)就是題干當(dāng)中給定的固定點(diǎn)，而對(duì)稱點(diǎn)就是通過(guò)作圖而得到的點(diǎn)，也就是解題過(guò)程需要連接的點(diǎn)。部分學(xué)生在求解此類問(wèn)題時(shí)，可能存在如下困惑：

第一，怎么尋找對(duì)稱點(diǎn)，做哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)？簡(jiǎn)單而言，就是題目當(dāng)中所需要找出的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)閱?wèn)題當(dāng)中給出的都是定點(diǎn)，因此，需要利用定點(diǎn)才能尋找對(duì)稱點(diǎn)。部分中學(xué)生由于不了解作對(duì)稱含義，所以，對(duì)稱點(diǎn)的尋找可能存在困難。對(duì)此，需要明確對(duì)稱對(duì)象為一條直線，并非一個(gè)點(diǎn)，只有找到具體直線，才能順利找出動(dòng)點(diǎn)所在的直線[1]。

第二，做對(duì)稱之后應(yīng)該和誰(shuí)連接？做完對(duì)稱以后應(yīng)該與另外定點(diǎn)相連接，不可以將其和動(dòng)點(diǎn)相連，需要學(xué)生明確定點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)仍然為定點(diǎn)這一概念，才能找到連接點(diǎn)。

第三，所求動(dòng)點(diǎn)如何確認(rèn)？中學(xué)生在求解“將軍飲馬”這類問(wèn)題的時(shí)候，應(yīng)該明確所求之點(diǎn)應(yīng)該為圖上交點(diǎn)，具體而言就是已知直線、所做直線二者之間交點(diǎn)。

2.初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

2.1 “一線兩點(diǎn)”同側(cè)類型。已知，如圖1所示，BN垂直EF，AM垂直EF，M、N分別為垂足，且MN等于12m，BN等于4m，AM等于5m，P點(diǎn)在EF上為動(dòng)點(diǎn)，那么PA和PB之和的最小值是多少？

此問(wèn)題屬于“將軍飲馬”模型的應(yīng)用，在題干當(dāng)中，A和B兩點(diǎn)屬于定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，解決問(wèn)題時(shí)，需要利用“定點(diǎn)定線”來(lái)“作對(duì)稱”，解決問(wèn)題時(shí)，可以先找出A點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱點(diǎn)，即A＇，然后根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短作輔助線，將點(diǎn)A＇和點(diǎn)B相連，這時(shí)即可推導(dǎo)出“A＇P和PB的和就是A＇B，也就是最短距離”。解決問(wèn)題的時(shí)候，需要先構(gòu)造出直角三角形，之后利用勾股定理求解具體問(wèn)題。

“一線兩點(diǎn)”類型的將軍飲馬問(wèn)題可能還會(huì)以變式的形式出現(xiàn)，如圖2所示，三角形ABC為正三角形，邊長(zhǎng)是4，AB、AC、BC邊上分別有三點(diǎn)E、F、G，且均為中點(diǎn)，EF邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，求三角形BPG周長(zhǎng)最小值？

針對(duì)此問(wèn)題深度分析，可以根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)和中點(diǎn)性質(zhì)，判斷出BG的長(zhǎng)度是2，利用轉(zhuǎn)化思想得出求三角形BPG周長(zhǎng)最小值就是求BP和PG和最小值，因此，能夠判斷出該問(wèn)題也是“將軍飲馬”的“一線兩點(diǎn)”類型，因此，解題過(guò)程可以尋找G點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱點(diǎn)，部分學(xué)生可能難以直觀看出對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)此，可以將AG相連接，根據(jù)“三線合一”，可知AG和BC垂直，之后將EG相連，據(jù)“直角三角形的斜邊中線為其一半”能夠得出，AE和EG相等，就可順利知道G點(diǎn)關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)A，在計(jì)算周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，需要將BG的長(zhǎng)度考慮其中。連接AG以后，可知PA和PG相等，也就是PB與PG的和、BP與PA的和相等，即A、B、P三個(gè)點(diǎn)共線的時(shí)候，BP和PG的和最短，等于AB，故三角形BPG最短周長(zhǎng)是6。

2.2 “兩線一點(diǎn)”類型。在“將軍飲馬”模型當(dāng)中，存在“兩線一點(diǎn)”類型的習(xí)題，如圖3所示，三角形ABC當(dāng)中，AB和AC均為10，BC中點(diǎn)是D，AD的長(zhǎng)度是6，AD上存在動(dòng)點(diǎn)P，AC邊上存在動(dòng)點(diǎn)E，試求PC與PF之和最小值？

對(duì)于此類題型進(jìn)行分析，可知定點(diǎn)為C，動(dòng)點(diǎn)分別是P和E，所屬“將軍飲馬”類模型，因?yàn)槿切蜛BC是等腰三角形，且AD為BC邊上的中線，AD是BC的垂直平分線，B、C兩點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱，可知，PE、PC之和、PE、PB之和相等，因此，很明顯可以看出B、P、E共線的時(shí)候，線段BE的距離較短，但是卻不是最短的，此時(shí)，按照“垂線段最短”定理，可知，BE垂直AC的時(shí)候，BE的長(zhǎng)度(也就是PC+PF)最短，因此，可以利用面積法進(jìn)行求解。解題過(guò)程，可以作BE垂直AC，和AD的交點(diǎn)是P，因?yàn)锳D和BC垂直，由勾股定理知道CD為4,進(jìn)而B(niǎo)C為8，根據(jù)等積法，可求出BE等于9.6[2]。

2.3 “兩線兩點(diǎn)”類型?！皟删€兩點(diǎn)”類型，如圖4所示已知A、B為銳角∠MON內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)；要求在OM上找一點(diǎn)P，在ON上找一點(diǎn)Q，使四邊形APQB的周長(zhǎng)最小。解答此類問(wèn)題找到兩線是關(guān)鍵，如何找到兩線呢，先明確動(dòng)點(diǎn)在哪條線上找(如圖4中OM,ON)，哪條線就為對(duì)稱線，再找到兩定點(diǎn)如圖4中A,B，作點(diǎn)A關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)A′。解答方法：作點(diǎn)B關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′交OM于P，交ON于Q，則點(diǎn)P、點(diǎn)Q即為所求，此時(shí)四邊形APQB周長(zhǎng)的最小值即為線段AB和A′B′的長(zhǎng)度之和；理由：AB長(zhǎng)為定值，由基本模型將PA轉(zhuǎn)化為PA′,將QB轉(zhuǎn)化為QB′，當(dāng)A′、P、Q、B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA′+PQ+QB′的值最小，即PA+PQ+QB的值最小。

結(jié)束語(yǔ)

總之，針對(duì)初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”這類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解，需要明確初中生的學(xué)習(xí)障礙，使其明確問(wèn)題本質(zhì)，針對(duì)不同的題型，給出解題指導(dǎo)。只有中學(xué)生掌握問(wèn)題的本質(zhì)，才能根據(jù)不同類型問(wèn)題，尋找問(wèn)題的解決方法，高效學(xué)習(xí)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，靈活運(yùn)用“將軍飲馬”這類數(shù)學(xué)模型。