從錦

[摘 要]函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想方法之一，具有重要的數(shù)學(xué)價(jià)值和教育價(jià)值。文章基于一線教師的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，致力于研究函數(shù)思想在教學(xué)中的滲透，闡述了什么是函數(shù)思想、函數(shù)思想的價(jià)值是什么、函數(shù)思想的滲透路徑有哪些等問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)思想;數(shù)學(xué)本質(zhì);探索;融合;表征

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）32-0004-02

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)、反思、感悟及升華的思維成果，蘊(yùn)含著深刻的智力價(jià)值、方法價(jià)值以及應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要結(jié)合有關(guān)知識(shí)的教學(xué)適時(shí)滲透函數(shù)思想，以加深小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。我國(guó)中科院院士、數(shù)學(xué)家張景中也提出：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等、很簡(jiǎn)單。盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)含著一些深刻的數(shù)學(xué)思想。最重要的，首推函數(shù)思想?！庇纱丝梢?jiàn)，函數(shù)思想在數(shù)學(xué)思想中具有基礎(chǔ)性和支撐性的作用。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師雖然不用講函數(shù)概念，但要滲透變量和函數(shù)思想。那么，什么是函數(shù)思想？其基本內(nèi)涵是什么？又有怎樣的價(jià)值意義？小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何讓學(xué)生感悟并形成函數(shù)思想？筆者進(jìn)行了深入學(xué)習(xí)和思考。

一、厘清：函數(shù)思想的基本內(nèi)涵

何謂函數(shù)？17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨開(kāi)始使用Function一詞，隨后出現(xiàn)了函數(shù)的解析定義、變量定義、對(duì)應(yīng)定義等，此處不再贅述。在我國(guó)，初中、高中、大學(xué)關(guān)于函數(shù)的定義都有所不同，但所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)卻是相同的：函數(shù)是研究定量與變量、靜止與運(yùn)動(dòng)等數(shù)量關(guān)系的一種思維方法，蘊(yùn)含著普遍聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)變化的哲學(xué)觀點(diǎn)。

何謂函數(shù)思想？從哲學(xué)視角看，函數(shù)思想是刻畫(huà)事物運(yùn)動(dòng)、變化發(fā)展的辯證思維工具，并用定量方法研究事物之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)思想也是函數(shù)觀點(diǎn)的集中反映，在變化的“過(guò)程”中尋找不變的“規(guī)律（關(guān)系）”是函數(shù)的核心。

二、審視：函數(shù)思想的價(jià)值分析

1.函數(shù)思想有利于挖掘知識(shí)的本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程就是從現(xiàn)象走進(jìn)本質(zhì)，從直觀走向抽象的過(guò)程。在此過(guò)程中，學(xué)生用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)探索和發(fā)現(xiàn)一系列數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)關(guān)系，能夠更加透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而發(fā)展理性精神和辯證思維能力。

2.函數(shù)思想有利于發(fā)展學(xué)生的思維

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)。函數(shù)思想是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種思維方式，也是一種行為方式。學(xué)生通過(guò)感知和探索數(shù)學(xué)知識(shí)中的規(guī)律和關(guān)系，并運(yùn)用規(guī)律和關(guān)系分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)而發(fā)展探究性思維、辯證性思維，不斷提升思維品質(zhì)。

3.函數(shù)思想有利于促進(jìn)未來(lái)的學(xué)習(xí)

小學(xué)階段，學(xué)生長(zhǎng)期在常量范圍內(nèi)計(jì)算和思考，容易造成思維定式。而函數(shù)思想能讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法描述變量之間的關(guān)系，豐富學(xué)生對(duì)變量與變量之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

三、探尋：函數(shù)思想的滲透路徑

函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，從廣義的角度來(lái)講，小學(xué)數(shù)學(xué)中的公式、法則、性質(zhì)、規(guī)律、數(shù)量關(guān)系等都蘊(yùn)含著函數(shù)思想，因此，教師要激發(fā)學(xué)生在“變”中把握“不變”，進(jìn)而觸摸數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

1.規(guī)律探索：感知變化模式

“探索規(guī)律”是滲透函數(shù)思想的一個(gè)重要內(nèi)容，在第一學(xué)段，學(xué)生要能夠發(fā)現(xiàn)給定的事物（圖形、簡(jiǎn)單的數(shù)列）中隱含的簡(jiǎn)單規(guī)律;在第二學(xué)段，學(xué)生要能夠探究給定的事物中隱含的簡(jiǎn)單規(guī)律或變化趨勢(shì)。

（1）在數(shù)的規(guī)律中感知

學(xué)生在探索數(shù)的規(guī)律中，要能夠感知等差變化、等比變化、和一定的變化、積一定的變化等簡(jiǎn)單的模式。如一年級(jí)下冊(cè)的 “百數(shù)表”，可以從不同的維度探索變化規(guī)律，通過(guò)橫著、豎著、斜著觀察，發(fā)現(xiàn)不同的等差變化模式;通過(guò)觀察每行或每列相鄰的兩個(gè)數(shù)，或每?jī)尚小⒚績(jī)闪邢噜彽乃膫€(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)差為10的變化模式，進(jìn)而在不同的變化模式中感知數(shù)的排列規(guī)律。

（2）在形的規(guī)律中感知

學(xué)生在探索形的規(guī)律中，要能夠感知遞推、周期等變化模式，并溝通其與數(shù)的規(guī)律的聯(lián)系。如一年級(jí)上冊(cè)“根據(jù)排列規(guī)律畫(huà)滿10個(gè)”，學(xué)生要在每種圖形個(gè)數(shù)的不同變化中感知遞推模式。又如，四年級(jí)上冊(cè)的周期問(wèn)題，學(xué)生要感受到每組圖形呈周期性反復(fù)出現(xiàn)其實(shí)就是每個(gè)圖形所在位置的等差變化，從而在形的規(guī)律探索中清晰感受到變化規(guī)律。

（3）在算的規(guī)律中感知

在加減乘除的運(yùn)算中，學(xué)生不僅要掌握各種運(yùn)算法則，還要能夠探索運(yùn)算中的各種規(guī)律。比如乘法運(yùn)算，要在編口訣、背口訣的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“一個(gè)因數(shù)不變，積隨著另一個(gè)因數(shù)的變化而變化”。四年級(jí)上冊(cè)專(zhuān)門(mén)設(shè)置了“積的變化規(guī)律和積不變的規(guī)律”，學(xué)生要能夠從倍數(shù)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)積的變化規(guī)律：兩數(shù)相乘，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘或除以幾，商就乘或除以幾。

2.多元表征：體驗(yàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系

函數(shù)反映的是變量之間的關(guān)系，需要用數(shù)字以外的符號(hào)來(lái)表示，常見(jiàn)的有列表法、圖像法和解析法三種方法。教師要在第一學(xué)段的教學(xué)中關(guān)注語(yǔ)言描述和列表法，在第二學(xué)段的教學(xué)中關(guān)注圖像法和解析法。

（1）在列表法中體驗(yàn)

表格作為學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要工具，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位十分突出。在規(guī)律探索、公式推導(dǎo)、圖形變化規(guī)律的探索、數(shù)量關(guān)系的尋找等內(nèi)容當(dāng)中，可以借助列表法分析變化規(guī)律、挖掘知識(shí)本質(zhì)。如長(zhǎng)方形的面積公式“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”實(shí)際上是一個(gè)二元一次函數(shù)的關(guān)系式，為了讓學(xué)生深刻理解“長(zhǎng)方形的面積由長(zhǎng)、寬共同決定”，可以讓學(xué)生估一估、算一算、列一列，觀察和分析表格后歸納出長(zhǎng)方形的面積公式。

（2）在解析法中體驗(yàn)

一般函數(shù)的解析式都是用字母來(lái)表示的。從用數(shù)表示數(shù)到用字母表示數(shù)是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，學(xué)生需要在活動(dòng)中積累豐富的符號(hào)化經(jīng)驗(yàn)。如一、二年級(jí)學(xué)生要能夠用“□”“○”等符號(hào)表示未知數(shù)（此時(shí)表示的還是確定的數(shù)）;三年級(jí)學(xué)生要能夠用長(zhǎng)和寬的文字式表示出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積;四年級(jí)學(xué)生要能夠用字母表示一些運(yùn)算律;五年級(jí)正式學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)后，學(xué)生要能夠用字母表示未知數(shù)列方程、用字母表示計(jì)算公式、用字母表示正反比例的概念等。這些都是函數(shù)解析式的雛形。

（3）在圖像法中體驗(yàn)

圖像有利于學(xué)生理解變量之間的關(guān)系，它具有直觀性，讓變量之間的關(guān)系和變化情況能夠看得見(jiàn)。四年級(jí)的折線統(tǒng)計(jì)圖是學(xué)生第一次遇到函數(shù)圖像，學(xué)生要能夠透過(guò)統(tǒng)計(jì)圖直觀形象地看出變量變化的過(guò)程;六年級(jí)正比例的圖像的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感受兩個(gè)量之間的變化是連續(xù)的（任意兩點(diǎn)之間還有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)值），感受到變量的取值范圍的價(jià)值。當(dāng)然，小學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖形與真正的函數(shù)圖形是有差別的，只有第一象限的圖像的橫軸和縱軸單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，但并不影響學(xué)生觀察變化規(guī)律。

3.著眼融合：接近函數(shù)本質(zhì)

函數(shù)思想在小學(xué)階段的滲透是呈螺旋上升態(tài)勢(shì)的，而小學(xué)生的整體建構(gòu)能力是比較弱的，導(dǎo)致他們對(duì)函數(shù)思想的感悟不清晰、不深刻。為此，可以將函數(shù)思想與生活、游戲、其他學(xué)科有機(jī)融合，不斷接近函數(shù)本質(zhì)。

（1）與生活融合

變化是永恒的，一切事物都在發(fā)生著變化，如物價(jià)的變化、溫度的變化、季節(jié)的變化、年齡的變化、體重的變化等。教師要引導(dǎo)學(xué)生從生活中這些熟悉的素材入手，從數(shù)學(xué)的角度研究這些變量和變量之間的變化關(guān)系，從看似雜亂的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而充分感知函數(shù)思想，深刻認(rèn)識(shí)事物變化的本質(zhì)，更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，預(yù)測(cè)未來(lái)。

（2）與游戲融合

數(shù)學(xué)與游戲的關(guān)系源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，很多數(shù)學(xué)知識(shí)就存在于游戲當(dāng)中，很多游戲當(dāng)中也蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想。比如有名的“世界末日問(wèn)題”，學(xué)生可以邊玩“漢諾塔”邊探索，把挪動(dòng)的次數(shù)寫(xiě)成數(shù)表，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)2n-1的模型。這樣學(xué)生不但在趣味游戲中快樂(lè)學(xué)習(xí)，還在潛移默化中感受著游戲問(wèn)題當(dāng)中的“變”與 “不變”。

（3）與學(xué)科融合

其他學(xué)科中的很多知識(shí)內(nèi)容也反映了變量和變量的關(guān)系，如科學(xué)學(xué)科中的杠桿平衡原理，反映了質(zhì)量和距離之間的變化關(guān)系;體育學(xué)科中的體重指數(shù)（BMI），反映了體重與身高之間的變化關(guān)系。教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度研究這些變量和變量之間的關(guān)系，在變與不變中觸摸學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)，在數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合中激起函數(shù)思想的火花。

函數(shù)思想不僅是解決問(wèn)題的一種基本思想，更是認(rèn)識(shí)世界的一種思維方式。小學(xué)階段的函數(shù)思想的主要教學(xué)形態(tài)是“滲透”，因此，教師應(yīng)站在整體的高度綜合考慮，有機(jī)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里地感悟函數(shù)思想，學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看生活、看世界。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 張景中.感悟小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[2] 克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

[3] 劉加霞.函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透（下）[J].小學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)版，2008（3）：40-42.

（責(zé)編 金 鈴）