吳必潛

在解題時，我們常常會遇到一些較為復雜的與導數(shù)有關的不等式問題.由于此類問題中一般含有導數(shù)，我們很難快速求得函數(shù)的解析式，此時可考慮根據(jù)導數(shù)的運算法則構造函數(shù)來進行求解.其中，特殊指數(shù)函數(shù)y=e x在導數(shù)運算中有一個特殊的性質(zhì)：（e x）y=e x，在解答與導數(shù)有關的不等式問題時，我們可以巧借這一性質(zhì)來構造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的運算法則來解題.

例1.設函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意x∈R，f'（x）+f（x）>0，則對任意正數(shù)a，必有（

）.

A.f（a）>e a f（0）

B.f （a）

c.f（a）

D.f（a）>f（0）/fe a

解：構造函數(shù)g（x）=e xf （x），

因為f'（x）+f（x）>0，所以g'（x）=e x[f'（x）+f（x）]>0，

所以g（x）在R上單調(diào)遞增.

又a>0，所以g（a>g（0），即ea f（a）> eo f（0），

所以f（a）>f（0）/e a故選D.

當遇到形如af'（x）+bf（x）的不等式問題時，可巧借指數(shù)函數(shù)y= ex的性質(zhì)，并結合導數(shù)“積”的運算法則（uv）'=u'v+uv'，構造函數(shù)ke xf（x），利用函數(shù)的單調(diào)性解題.本題就是借助指數(shù)函數(shù)y=e x的性質(zhì)來構造函數(shù)g（x）=e xf（x），在判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性后，結合a與0之間的大小關系，得出結論.

例2.已知定義在（0，+∞上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），若礦xf'（x）一（1+x）f（x）>0，且f（1）=e，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則不等式f（lnx）

）.

A.（0，e）B.（e，+∞）

C.（1，e）

D.（0，1）

解：由xf'（x）-（l+x）f（x）>0構造函數(shù)g（x）=f（x）/xe x

（x>0）

則g'（x）=

所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

因為由函數(shù)f（x）的定義域可知Inx>0，即x>l，

由不等式.f（Inx）

<1，

則

，即g（lnx）

于是可得O

當遇到形如af'（x） - bf （x）的不等式問題時，可巧借指數(shù)函數(shù)y=e x的性質(zhì)，并結合導數(shù)“商”的運算法則

，靈活構造函數(shù)

，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

例3.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），當x<0時，f（x）滿足2f（x）+xf'（x）

A.0

B.1

C.2

D.3

解：當x<0時，不等式2f（x）+xf'（x） X2f（X），也等價于[2xf（x）+x 2f'（x）].e x- x2f（x）·（ex）'>0.于是想到導數(shù)“商”的運算法則，構造函數(shù)g（x）=，

當x<0時，g'（x）：

>0.

所以函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增;

當x<0時，g（x）

根據(jù)f （x）是R上的奇函數(shù)知：當x>0時，由-x<0得f（-x）<0，此時f（x）=-f（-x）>0.

又廠（0）=0，故f（x）在R上只有一個零點.故選B.

利用構造函數(shù)法求解本題，需要先對不等式2f（x）+xf'（x）

綜上所述，借助指數(shù)函數(shù)y=e x的性質(zhì)來構造函數(shù)解答不等式問題的關鍵在于：（l）明確指數(shù)函數(shù)y=e x的性質(zhì);（2）靈活運用導數(shù)的運算法則;（3）巧妙利用新函數(shù)的單調(diào)性.

（作者單位：寧夏石嘴山市第一中學）