劉曉英

【摘要】新課標(biāo)背景下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)不但要傳授給學(xué)生一定的數(shù)學(xué)知識，更重要的是讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)知識提高數(shù)學(xué)思維和解決生活問題的能力.因此，作為一線數(shù)學(xué)老師就要重視在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，尤其是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想，因為它可將復(fù)雜問題簡單化，將抽象問題具體化，從而大大提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

【關(guān)鍵詞】化歸思想;初中數(shù)學(xué);滲透策略

【基金項目】本文系甘肅省教育科學(xué)規(guī)劃“十三五”規(guī)劃課題《“化歸思想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略研究》（立項號：[2020]GHB2809）的階段性研究成果.

一、認(rèn)識化歸思想及其意義

在數(shù)學(xué)思想中，化歸思想是一種重要的思想，它可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向高階發(fā)展.所謂化歸思想就是在解決數(shù)學(xué)問題時運用科學(xué)的手段轉(zhuǎn)化問題，從而獲得更好的解決問題的方式.運用化歸思想可將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，將抽象問題形象化，真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的化繁為簡，從而取得最優(yōu)的解決問題的方法.化歸思想也是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想，它是分析、解決數(shù)學(xué)問題最常用的手段之一，是解決生活中數(shù)學(xué)問題的主要途徑.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸思想隨處可見，比如在求解復(fù)雜方程的過程中可運用化歸思想分析解題的思路，將復(fù)雜的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化之后會變得非常簡單，最后化為常見的方程進(jìn)行求解，使解答變得容易.再如，在四邊形、多邊形等幾何圖形中也能運用化歸思想，即將圖形劃分為三角形進(jìn)行求解，這就是運用化歸思想的過程.

化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著非常重要的意義，教師認(rèn)識并運用好化歸思想對于提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意義重大.

1.化歸思想可以化抽象為具象

抽象是數(shù)學(xué)最主要的特點，對于初中學(xué)生而言，他們的抽象思維還沒有完全成熟，借助化歸思想能夠?qū)⒊橄髥栴}形象化，降低問題的難度.目前，初中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)引進(jìn)了函數(shù)的內(nèi)容，初中學(xué)生初步認(rèn)知函數(shù)的時候會覺得非常抽象，難以理解，這時老師可借助化歸思想創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜、抽象的函數(shù)問題形象化.如：同學(xué)們，手機(jī)是一種非常普遍的通信工具，你們觀察過手機(jī)繳費的方式嗎？通過情境將數(shù)學(xué)問題與生活建立聯(lián)系之后，老師巧妙地引入化歸思想，以生活中常見的幾種繳費方式為例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，最后總結(jié)出最便宜的繳費方式.在這樣的情境中，學(xué)生潛移默化地受到了化歸思想的熏陶，數(shù)學(xué)思維得到了提高.

2.化歸思想可以化復(fù)雜為簡單

對于初中學(xué)生而言，他們掌握的數(shù)學(xué)知識有限，往往會遇到一些陌生且復(fù)雜的問題，這時借助化歸思想可將復(fù)雜問題簡單化，讓舊知與新知之間建立聯(lián)系，提高解決問題的能力.比如，在解決下面例題的過程中便可很好地運用化歸思想.

如圖1，△ABC是一個等腰三角形，如果它以每秒1米的速度沿直線l向正方形移動 ，直到AB與CD重合，假設(shè)移動x秒時，正方形和三角形重合部分的面積是y平方米，那么請求出x與y的關(guān)系式.

對于初中學(xué)生來說，這是一個比較復(fù)雜的問題，涉及的是動態(tài)問題，這時老師可引導(dǎo)學(xué)生 “化動為靜”，以圖2、圖3為例，用它可以看出，這是某一時間點上的圖形，可以將動態(tài)點上的所有線段都用含x的式子進(jìn)行表達(dá).

在這里很好地運用了靜態(tài)的方法來解決動態(tài)的問題，把一個復(fù)雜的問題通過轉(zhuǎn)化簡單化，讓學(xué)生探究了通過轉(zhuǎn)化解決問題的方法，加深了學(xué)生對化歸思想的認(rèn)知.

二、把握化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用原則

其實，在整個初中數(shù)學(xué)知識中貫穿著諸多數(shù)學(xué)思想，但運用最多的還是化歸思想.運用好化歸思想對于初中生而言可以有效提升學(xué)習(xí)效率，提高解決實際問題的能力.所謂“化歸”，從字面意思上來解釋就是轉(zhuǎn)化和歸納總結(jié)，也就是通過一個轉(zhuǎn)化的過程將復(fù)雜問題簡單化，是一種提高解決問題效率的方式.比如，學(xué)生掌握了矩形面積求法之后就可求解平行四邊形、三角形、多邊形的面積，那么具體怎么去求它們的面積呢？這時可用割補(bǔ)的方法把一個平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，也可用拼接的方法把一個三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，這樣就實現(xiàn)了圖形的轉(zhuǎn)化，將未知轉(zhuǎn)化為已知，降低了解決問題的難度.具體而言，老師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用化歸思想時要注意以下幾個原則.

一是“熟悉化”原則.一般來說，當(dāng)學(xué)生遇到非常生疏的問題時，就可運用化歸思想將陌生問題轉(zhuǎn)化成自己比較熟悉的問題進(jìn)行解答，這樣就會容易得多，而且實現(xiàn)了舊知與新知之間的聯(lián)系，提高了解決問題的能力.

二是“簡單化”原則.數(shù)學(xué)問題往往比較復(fù)雜，如果單純依靠一種思路或者一個方面的知識解決起來會很難，這時可運用化歸思想中的簡單化原則，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的程序性的問題，從而使問題得到解決.

三是“具體化”原則.數(shù)學(xué)本質(zhì)是抽象的，但是學(xué)生在解決問題時要盡量讓抽象問題具體化，使其變得形象、直觀，這樣問題就很容易得到解決，而這一過程中就會運用到化歸思想.

四是“極端化”原則.“極端”通常是一個貶義詞，但是在數(shù)學(xué)世界中它是一種有效解決問題的方法.所謂極端化就是先讓問題處于極端的位置再去思考，從而得到一般化中的狀態(tài)，得到解答的思路.比如，數(shù)學(xué)中認(rèn)為點是圓的半徑為零的一種極端情形，還把三角形看成梯形的上底長度變?yōu)榱阒蟮臉O端情形.

三、化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略

哲學(xué)家認(rèn)為人們對世界的認(rèn)知就是由一般到特殊再由特殊到一般的過程，這也是化歸思想中的一條普遍的規(guī)律.初中數(shù)學(xué)教學(xué)也呈現(xiàn)了這個特性.化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略有以下幾個.

1.化歸思想中的“特殊化法”

所謂“特殊化法”就是當(dāng)面對一個比較難解決的問題時，可運用化歸思想實現(xiàn)由一般到特殊的轉(zhuǎn)化，從而找到容易解決的形式，這一轉(zhuǎn)化過程就非常符合人們對世界的普遍認(rèn)知規(guī)律.“特殊化法”有兩種常見的方式：一是從比較簡單的形式去思考，尋找解決問題的途徑，二是將特殊對象轉(zhuǎn)化為一般問題進(jìn)行思考.

比如，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系里，對于方程組的求解常常就采用這種特殊化法.例如，推導(dǎo)一元二次方程的常見解法時，首先要對其特殊形式下的一元二次方程（x2=m（m≥0））進(jìn)行討論，然后對一般形式下的一元二次方程（ax2+bx+c=0，a≠0，b2-4ac≥0）進(jìn)行特殊化法求解，從而得出結(jié)果.

例1解方程式：（x2-2）2-3（x2-2）+2=0.

解這一方程時要先進(jìn)行分析，如果把原來的方程式展開進(jìn)行求解，會得到一個高次的方程，但是對原方程進(jìn)行觀察之后，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，若令y=x2-2，就可把原方程的次數(shù)降低，也就是把原來的方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程y2-3y+2=0，先解出y值，再解出x值，使用這樣的特殊化法之后，原方程就很容易求解.

其實在初中的平面幾何教學(xué)中也常常會用到化歸思想，一般來說，就是將圖形通過畫輔助線的方式進(jìn)行化歸，把特殊化為一般，轉(zhuǎn)化為簡單的圖形.

例2求證一個n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°.

在求證之前還要先進(jìn)行一番分析，因為三角形的三個內(nèi)角之和是180°，所以可以把一個多邊形以添加對角線的方式轉(zhuǎn)化成多個三角形，然后利用三角形的三個內(nèi)角的和等于180°的結(jié)果進(jìn)行求證.（求證過程略）

2.化歸思想中的“一般化法”

化歸思想中除了運用到“特殊化法”之外，還經(jīng)常會用“一般化法”，它同樣能夠化復(fù)雜為簡單，達(dá)到解決問題的目的.比如，比較兩個數(shù)20202021與20212020的大小，就會運用到化歸思想中的“一般化法”.

例3請觀察下列各算式：

1×2×3×4+1=52，

2×3×4×5+1=112，

3×4×5×6+1=192.

問題1：觀察算式得出一個一般性的結(jié)論，并給出證明的過程.

問題2：根據(jù)問題1用一個最簡算的方法算出2006×2007×2008×2009+1的結(jié)果.

同樣，在進(jìn)行計算之前先要進(jìn)行分析：首先要考慮一般式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的結(jié)果到底是一個什么樣的式子，進(jìn)行化簡之后可得出結(jié)果為（n2+3n+1）2，而要計算問題2 中的結(jié)果，只需令n=2006即可，然后代入算式進(jìn)行計算，就很容易地得到了答案.

這里很明顯地運用到了化歸思想中的“一般化法”，實現(xiàn)了讓復(fù)雜問題簡單化的目的，讓計算變得簡單容易.

3.化歸思想中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”

在初中數(shù)學(xué)知識中，有些問題如果單純地運用數(shù)學(xué)知識去解決往往會比較復(fù)雜，解法也不一定是最優(yōu)的，但是如果轉(zhuǎn)變一下思路，運用化歸思想，用其他數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解，也許會變得簡單容易，讓解題方法最優(yōu)化，而化歸思想中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”就是這種方法.我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過一段話：數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非.這里很形象地講出數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的重要性.在初中數(shù)學(xué)函數(shù)這一部分內(nèi)容中，常常會用函數(shù)解析式來分析函數(shù)圖像，或者用函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì)，其實，這就是巧妙地運用到了化歸思想中“數(shù)形轉(zhuǎn)化”.

例4方程-x2+5x-2=2x的根中正根的個數(shù)有（）個.

A.0B.1C.2D.3

同樣地，在進(jìn)行解答之前先要進(jìn)行分析，如果運用去掉分母的方式計算就會把方程化成一個三次方程，這超出了初中學(xué)生的知識范圍，但是，如果換一個思路，運用化歸思想中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”，那么這個問題就輕而易舉地得到了解答，也就是將這個數(shù)學(xué)方程式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分解為一個雙曲線和一個拋物線，分別畫出它們的圖形則可得到答案.

拋物線：y=-x2+5x-2，雙曲線y=2x.

如圖4所示，當(dāng)x>0時，這兩個函數(shù)出現(xiàn)了2個交點，這樣就可得知方程-x2+5x-2=2x的根中正根的個數(shù)有2個.

四、結(jié)語

總之，化歸思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要滲透的一種重要思想，它對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有著非常積極的作用.一線數(shù)學(xué)老師一定要立足于學(xué)生實際，借助化歸思想幫助學(xué)生建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，幫助學(xué)生解決生活中的實際問題.

【參考文獻(xiàn)】

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