謝 軍，李 星，汪文帥

(寧夏大學數(shù)學統(tǒng)計學院，銀川 750021)

功能梯度材料(FGM)作為一種新型智能復合材料，最早是由日本科學家平井敏雄于1984 年提出，其特點是連續(xù)改變材料微觀組成，即材料內(nèi)部成分呈一定比例，宏觀性能表現(xiàn)為連續(xù)且平穩(wěn)變化，可最大限度緩和由機械作用引起的應力不均，降低結(jié)構(gòu)內(nèi)部應力集中、能夠提高材料的斷裂韌性，延長器件的壽命[1-2]。自從功能梯度材料被提出，由于其良好的性能，受到社會各界的關(guān)注。此外，壓電壓磁材料是智能材料系統(tǒng)中的一類主要材料，具有電磁彈多場耦合效應，應用前景極其廣泛[3-5]。由于工程技術(shù)的需求，壓電壓磁器件被制成各種形狀。球形、柱形壓電壓磁殼作為壓電壓磁器件的重要一類，在降低器件密度和放大其傳感和制動特性方面優(yōu)于其他結(jié)構(gòu)的器件[6-7]。將功能梯度材料與壓電壓磁材料進行結(jié)合，可發(fā)揮各自的優(yōu)勢，極大地優(yōu)化材料的性能，對新型智能材料性能的設計與利用有著重要的意義。

在功能梯度純彈性材料的研究方面學者們進行了深入研究。Gao 等[8-9]采用了Frobenius 方法、同倫分析法求解功能梯度材料板中的聲表面波問題。球形、柱形作為典型的結(jié)構(gòu)，假設彈性模量按特定的函數(shù)變化，學者可用特殊函數(shù)法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的力學響應分析。最常見梯度特性假設形式有冪函數(shù)形式[10-11]和指數(shù)函數(shù)形式[12]，基于這樣的假設，學者們通過歐拉方程、超幾何函數(shù)以及級數(shù)等方法得到功能梯度材料圓柱、球殼應力分布解析解。目前單一熱/電/磁場載荷下的功能梯度材料的力學相應問題已有系列研究成果。Li等[13-14]分析得到功能梯度壓電柱型/球殼的靜態(tài)響應的解析解；并針對任意徑向非均質(zhì)特性的材料，借助積分方程方法實現(xiàn)了電勢與應力的分布數(shù)值求解。Chen 等[15]通過引入新的位移函數(shù)和應力函數(shù)，對靜態(tài)壓電疊層空心球的電彈性耦合問題進行研究。Yildirim[16]基于球?qū)ΨQ假設，得到了冪函數(shù)梯度變化的球殼在穩(wěn)態(tài)熱載荷和內(nèi)外壓力載荷作用下彈性場的解析解。趙偉東等[17]應用虛功原理和變分法推導了均勻變溫場中的功能梯度圓底扁球殼在均布外側(cè)壓力作用下的位移型幾何非線性控制方程，運用打靶法計算獲得了球殼軸對稱變形的數(shù)值結(jié)果。對于功能梯度壓電/壓磁材料，Wang 等[18]通過引入新的因變量，采用分離變量技術(shù)，將非均勻的磁彈性空心圓柱的瞬態(tài)響應轉(zhuǎn)化為Volterra 積分方程，得到了位移、應力以及磁勢的完全解。Nemtollah 等[19]得到了功能梯度厚壁旋轉(zhuǎn)球形壓力容器在均勻的磁場內(nèi)承受軸對稱的機械載荷和熱載荷下位移、應變和應力的解析解。此外，文獻[20 - 21]假設材料特性是特殊函數(shù)，研究功能梯度壓電/壓磁材料中梯度系數(shù)對波的色散曲線，電磁耦合系數(shù)的影響。Shi 等[22]研究了正交異性功能梯度環(huán)形雙材料結(jié)構(gòu)中弧形界面裂紋的動力學行為。

以上文獻研究的是單場載荷下的功能梯度材料的力學響應，對于功能梯度電磁彈材料的多物理場響應問題，時朋朋等[23]基于材料參數(shù)按冪函數(shù)梯度變化，研究多種不同場作用下功能梯度壓電壓磁空心球殼的耦合問題，但是多種不同場作用下功能梯度壓電壓磁空心圓柱的耦合問題沒有研究?；谙嗤膬绾瘮?shù)梯度特性假設，本文研究彈性、電勢、磁勢等多種物理場載荷作用下功能梯度壓電壓磁空心圓柱的多場耦合靜力響應，得到了功能梯度壓電壓磁空心圓柱內(nèi)位移、應力、電勢、磁勢物理量的解析解。數(shù)值驗證了不同邊界條件作用下，功能梯度壓電壓磁空心柱體會產(chǎn)生正(逆)壓電，正(逆)壓磁，以及正(逆)磁電效應。同時發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)整梯度參數(shù)及圓柱尺寸大小可使功能梯度壓電壓磁器件達到最優(yōu)性能。并通過與功能梯度壓電壓磁空心球殼響應的比較，分析球殼與空心圓柱幾何結(jié)構(gòu)特點對應力、電勢、磁勢物理量分布的影響規(guī)律。

1 基本方程

考慮功能梯度壓電壓磁空心圓柱，引入柱坐標 (r,θ,z)，其中z軸為空心圓柱的軸，圓柱厚度為b-a，這里a為空心圓柱的內(nèi)半徑，b為外半徑。本文假設圓柱足夠長，只考慮徑向加載的情況，即位移、電勢和磁勢僅僅是關(guān)于r的函數(shù)。這種情況下，功能梯度壓電壓磁空心圓柱本構(gòu)方程為[24]：

式中： σrr(εr)、σθθ(εθ)分別為空心圓柱徑向應力(應變)、環(huán)向應力(應變)分量；Dr為電位移分量；Er、Hr、Br分別代表電場、磁場以及磁感應強度；cij、ei j、ε33、hij、d33、μ33依次為彈性、壓電、介電、壓磁、磁電耦合和磁導率系數(shù)。本文假設這些材料參數(shù)以冪函數(shù)梯度變化[25]：

2 邊界條件

對于壓電壓磁材料而言，一般有多種邊界條件，最常見的有力載荷邊界條件、電場邊界條件和磁場邊界條件以及含以上兩(三)種物理場的混合邊界條件。本文考慮了三種邊界條件，分別如下：空心圓柱內(nèi)表面承受壓力作用 (Case A)，空心圓柱內(nèi)外表面存在電勢差 (Case B)，以及空心圓柱內(nèi)外表面存在磁勢差 (Case C)。對應邊界條件表示為：

這里Case A 對應傳感器模型，即對壓電壓磁材料來說，施加載荷產(chǎn)生電場和磁場，Case B 和Case C 分別對應電場和磁場作動器模型，即電勢差作用產(chǎn)生應力和磁場，以及磁勢差作用產(chǎn)生應力和電場。

3 問題通解

4 數(shù)值算例分析

首先，這里對本文得到的解析解進行驗證。令式(1)～式(4)中h33=h31=d33=0，并采用與文獻[13]相同的其他材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)，則本文的解析解退化為文獻[13]中給出的功能梯度壓電空心圓柱的解析解。

圖1 與圖2 給出本文解析解的退化結(jié)果與前人的解析解的對比?？梢钥闯觯瑑煞N解析解得到的圓柱應力、電勢的結(jié)果完全一致，即基于本文解析解的退化解與前人解[13]完全吻合。

圖1 功能梯度壓電空心圓柱沿厚度方向的應力、電勢分布：p=c33×10-4 MPa, a/b=0.6Fig. 1 Stress and electric distributions along thickness direction of FGPE hollow cylinder: p= c33×10-4 MPa, a/b=0.6

圖2 功能梯度壓電空心圓柱沿厚度方向的應力、電勢分布：V=(106×a)V, a/b=0.6Fig. 2 Stress and electric distributions along thickness direction of FGPE hollow cylinder:V =(106× a )V, a/b=0.6

下面，選擇常見的復合材料BaTiO3-CoFeO4進行數(shù)值分析，材料參數(shù)見表1。

表1 BaTiO3-CoFeO4 材料參數(shù)Table 1 Material parameters of BaTiO3-CoFeO4

對于空心圓柱，其應力、電勢和磁勢的數(shù)值模擬結(jié)果如下所述。

圖3 給出功能梯度壓電壓磁空心圓柱傳感器內(nèi)部受壓(Case A)作用下，應力、電勢以及磁勢沿徑向分布。由圖3(a)及圖3(b)看出，徑向應力受梯度參數(shù) β的變化影響較小，而環(huán)向應力受影響要大的多，所以環(huán)向應力過大會引起此類傳感器的破壞。圖3(a)可看出，當參數(shù) β增大時，徑向應力也逐漸增大。圖3(b)發(fā)現(xiàn) β對環(huán)向應力變化趨勢影響很大，無論梯度參數(shù) β的正負，環(huán)向應力絕對值都隨厚度r增大而遞減，且環(huán)向應力隨著 β增大而逐漸平緩。這也說明，在設計此類傳感器過程中，注意選擇恰當?shù)奶荻葏?shù)不僅有效降低結(jié)構(gòu)內(nèi)部的環(huán)向應力，也可以讓變化趨勢趨于平緩，從而避免因過高環(huán)向應力而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)破壞。圖3(c)和圖3(d)給出了 β ∈[-0.5,1]下壓電壓磁空心圓柱傳感器的電勢、磁勢分布。當空心圓柱傳感器受到載荷時，內(nèi)部產(chǎn)生應變，在內(nèi)外表面上產(chǎn)生符號相反的電荷，進而引起內(nèi)部電勢變化；同時也引起內(nèi)部磁勢和磁場的變化，這稱為壓電效應與壓磁效應。傳感器受力變形所產(chǎn)生的電勢差與所受載荷大小成正比。相對非功能梯度壓電壓磁( β =0的情況)材料，梯度參數(shù)大于零相當于整體彈性系數(shù)增大，這樣相同載荷下的形變減小，因此 β逐漸增大時，電勢會減小。從圖中發(fā)現(xiàn)，在r/b=0.7附近，電勢以及磁勢絕對值均達到極大值，這也經(jīng)常導致結(jié)構(gòu)的破壞。這些響應結(jié)果由純載荷作用產(chǎn)生。同時看出梯度參數(shù)對磁響應影響很大，這意味著磁勢曲線對 β很敏感。簡要總結(jié)，這些結(jié)果表明，適當調(diào)整梯度系數(shù)，可以獲得所需的電磁力耦合性能。

圖4 給出作為作動器的空心圓柱內(nèi)部受到電激勵時(Case B 內(nèi)外部存在電勢差)，空心圓柱各個物理量沿徑向的變化情形。將電信號輸入壓電壓磁圓柱作動器，從圖4(a)、圖4(b)以及圖4(d)發(fā)現(xiàn)，圓柱內(nèi)部存在非零的力學響應和磁勢響應，即逆壓電效應、正磁電效應。從圖4(a)、圖4(b)中發(fā)現(xiàn)，與Case A 不同，當此類作動器輸入電信號時，結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生的環(huán)向應力要比徑向應力敏感的多，且隨 β的增大，環(huán)向應力絕對值也增大，這是引起器件破壞的重要因素。圖4(c)可以看出，空心圓柱內(nèi)部電勢隨 β增大而減小。圖4(d)在無量綱位置r/b=0.7附近，磁勢絕對值均達到最大值。類似于圖3，從圖4 中同樣發(fā)現(xiàn)通過調(diào)節(jié) β有效的防止因環(huán)向應力過大引起柱體破壞，提高器件壽命。

圖3 功能梯度壓電壓磁空心圓柱體傳感器內(nèi)受機械載荷下磁電彈響應的徑向分布(Case A)：p=1×106 MPa, a/b=0.5Fig. 3 Radial distribution of magneto-electro-elastic sensor under mechanical load inside FGPEPM hollow cylinder(Case A): p=1×106 MPa, a/b=0.5

圖5 給出作為作動器的空心圓柱內(nèi)部受到磁勵時(Case C 內(nèi)外部存在磁勢差)，空心圓柱的各個物理量沿徑向的分布規(guī)律。類似于圖4，當存在磁信號時，由圖5(a)、圖5(b)以及圖5(c)發(fā)現(xiàn)，作動器內(nèi)部產(chǎn)生非零力學響應及電勢響應，稱之為逆壓磁效應和逆磁電效應。從圖5(a)看出，在無量綱位置 0.65 ＜r/b＜0.7附近，徑向應力達到最大。由圖5(c)看出，結(jié)構(gòu)內(nèi)部電勢絕對值隨 β的增大而先增大，在無量綱位置r/b=0.7處，電勢有最大值，后隨之減小，從圖5(d)可知磁勢隨 β的增大而減小。當圓柱輸入電或相關(guān)磁載荷時，由式(1)～式(4)知電磁參數(shù)在問題求解過程中的地位是對立的，因此，圖4(a)～圖4(d)中的結(jié)果在形態(tài)上分別與圖5(a)～圖5(d)幾乎一致。圖5 結(jié)果同樣表明 β對此類復合材料的多場耦合性能產(chǎn)生巨大影響。

圖4 內(nèi)外表面電勢差下功能梯度壓電壓磁空心圓柱體的磁電彈力響應分布(Case B)：V=100 V, a/b=0.5Fig. 4 Distribution of magneto-electro-elastic response value of FGPEPM hollow cylinder under potential difference between inner and outer surfaces (Case B): V=100 V, a/b=0.5

圖5 內(nèi)外表面磁勢差下功能梯度壓電壓磁空心圓柱體的磁電彈力響應分布(Case C)：Q=100 A, a/b=0.5Fig. 5 Distribution of magneto-electro-elastic response value of FGPEPM hollow cylinder under magnetic potential difference between inner and outer surfaces(Case C): Q=100 A, a/b=0.5

圖6～圖8 給出空心圓柱傳感器內(nèi)部受機械載荷、電激勵、磁激勵時不同空心圓柱尺寸(即厚度)對逆壓電、逆壓磁、逆壓磁以及逆壓電效應響應的影響。這里梯度參數(shù)β 分別取-1 和1，比較圖6發(fā)現(xiàn)，在不同尺寸下電勢與磁勢都有峰值，從圖7發(fā)現(xiàn)，當 β取-1 與1 時，電勢與磁勢的變化趨勢相同，且不同尺寸下應力與磁勢都有峰值。同時發(fā)現(xiàn)，隨著無量綱尺寸的增大，其峰值向右平移且峰值的大小都逐漸減小。比較圖8(a)與圖8(c)、圖8(b)與圖8(d)發(fā)現(xiàn)，梯度參數(shù) β值的正負不影響徑向應力與電勢變化趨勢，只影響其取值的大小，且對其值的影響較大。從圖6～圖8 看到，不同邊界條件下，不同厚度對功能梯度空心圓柱的力場、電場以及磁場有較為明顯的影響，這也表明給定梯度參數(shù)時，調(diào)整圓柱尺寸可得到最優(yōu)的電磁力耦合性能。

圖6 空心圓柱尺寸對壓電和壓磁效應響應的影響(Case A)：p=1×107 MPaFig. 6 Influence of hollow cylinder size on response of piezoelectric and piezomagnetic effects (Case A): p=1×107 MPa

圖7 空心圓柱尺寸對應力和磁電效應的影響(Case B)：V=100 VFig. 7 Influence of hollow cylinder size on stress effect and magnetoelectric effect (Case B): V=100 V

圖8 空心圓柱尺寸對應力和逆磁電效應的影響(Case C)：Q=100 AFig. 8 Influence of hollow cylinder size on stress effect and piezoelectricity effect (Case C): Q=100 A

下面給出文獻[23]情況A 中壓電壓磁空心球殼的應力、電勢與磁勢分布圖，并與圖3 壓電壓磁空心圓柱的應力、電勢與磁勢分布進行對比。比較圖3 和圖9，可以發(fā)現(xiàn)，當對壓電壓磁材料施加機械載荷時，對于徑向應力的大小和變化規(guī)律而言，空心圓柱與球殼保持基本一致。圖3(b)和圖9(b)表明，空心圓柱的環(huán)向應力的絕對值幾乎是球形殼的兩倍。此外，隨著梯度參數(shù) β增加，空心圓柱/球殼的環(huán)向應力沿厚度趨于均勻。從圖3(c)和圖9(c)可以看出，在相同的梯度參數(shù) β參數(shù)下，空心圓柱的電勢絕對值大于球殼中的絕對值，其極值出現(xiàn)在r/b=0.65 附近；隨著梯度參數(shù) β增加，電勢絕對值的最大值將減小。從圖3(d)和圖9(d)可以看出，在磁勢分布中，梯度參數(shù)對壓電壓磁空心圓柱磁勢分布有很大影響，對球殼磁勢分布的影響較小。

圖9 功能梯度壓電壓磁空心球殼傳感器內(nèi)受純機械載荷下磁電彈響應的徑向分布(Case A)：p=1×107 MPa, a/b=0.5Fig. 9 Radial distribution of magneto-electro-elastic sensor under pure mechanical load inside FGPEPM spherical shell(Case A): p=1×107 MPa, a/b=0.5

5 結(jié)論

基于經(jīng)典彈性理論，本文假設功能梯度空心圓柱的物理參數(shù)沿徑向呈冪函數(shù)變化，研究了功能梯度壓電壓磁空心柱體在三種邊界條件作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部電磁力多場耦合響應，得到應力、電勢和磁勢等物理量的解析解，最后分析了梯度參數(shù)和空心圓柱厚度對應力、電勢和磁勢分布的影響。文章的結(jié)果可以退化到均勻壓電壓磁空心柱體的解析解以及彈性材料空心圓柱的解析解。通過數(shù)值算例，對BaTiO3-CoFeO4復合材料進行了數(shù)值計算與模擬，圖解得到了應力分量、電響應、磁響應的分布。從數(shù)值結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，為了能更好地避免由應力過大而引起的柱體的開裂，提高壓電壓磁器件的準確性和使用壽命，建議通過調(diào)整梯度參數(shù)，這樣可降低環(huán)向應力分布，使之趨于穩(wěn)定，同時發(fā)現(xiàn)當功能梯度空心圓柱梯度參數(shù)給定時，通過調(diào)節(jié)尺寸可減小應力的峰值，也起到相同作用。總而言之，對于功能梯度壓電壓磁空心圓柱，選擇不同的梯度參數(shù)以及不同尺寸大小都會大大影響壓電壓磁空心柱體的電磁力耦合性能，因此調(diào)整梯度參數(shù)與尺寸可使功能梯度壓電壓磁器件達到最優(yōu)的磁電彈多場耦合性能，同時提高材料的力學性能。

附錄：